精品解析：天津市和平区益中学校2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2025-2026-1九年级阶段性学情调研数学学科 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 3. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 5. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 6. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 8. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：， 故选：B． 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可． 【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m， ∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q， ∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1 解得m＜1， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，继而得到的关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∴，得不到，故④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A． 12. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件求出二次函数的表达式，并结合实际情况判断各结论即可． 【详解】解：根据函数图象，设抛物线的表达式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，故①错误； ∵拱桥的跨度为， ∴抛物线中的取值范围为：， 当水面宽度为时，即，不在抛物线中的取值范围内，且当水面宽度为时，大于拱桥的跨度，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故②错误； 当水面下降时，即， 把代入得：， 解得，此时水面宽度为， ∵大于拱桥的跨度，且不在抛物线中的取值范围内， ∴当水面下降时，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故③错误． 综上，正确结论共个． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题3分） 13. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 14. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 15. 我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格．某种药经过两次降价，由每盒60元调至48.6元．则每次降价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，则两次降价后的价格为，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得，（不舍题意，舍去）， 故每次降价的百分率为． 故答案为：． 16. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 17. 已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解∶直线中，当时，， 关于轴的对称点始终在直线的上方， 当时，， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为∶ ． 18. 当时，的最小值是，最大值是，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得出抛物线开口向下和顶点坐标，进而可得在对称轴左侧，函数值单调递增，可得，，将代入求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴函数抛物线开口向下，对称轴为， ∴， ∴顶点坐标为， ∵最大值是， ∴， ∴， ∴在对称轴左侧，此时函数值单调递增， ∴，， ∴当时， ， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握因式分解和公式法求解是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开，移项因式分解求解即可； （2）根据求根公式求解即可． 【小问1详解】 ， ， 即, 解得：，． 【小问2详解】 ， ， ， 方程有两个不同的根，则根为， 所以方程的解为，． 20. 已知关于的方程：的一个根是，求的值以及方程的另一个根． 【答案】的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系，根据已知根，先求出另一根，再结合两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵方程的一个根为， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 21. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的．（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） （1）梯形的中位线长是______m； （2）甬道的宽应是多少米？ 【答案】（1）70 （2）甬道的宽度为5米． 【解析】 【分析】本题考查梯形的中位线、梯形的面积、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键： （1）根据梯形的中位线的计算方法求解即可； （2）设甬道的宽度为x，根据题意，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵花坛上底的长为，下底长为， ∴梯形的中位线为：． 故答案为：70． 【小问2详解】 解：设甬道的宽度为x，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：甬道的宽度为5米． 22. 在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点A，抛物线恰好经过“A、C”两点． （1）判断点B是否在直线上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 【答案】（1） 点B在直线上， 理由：直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ∴点B在直线上； （2）， （3）平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）将点代入，求出一次函数解析式，再将代入判断即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，根据题意得：，由抛物线为与轴交点纵坐标为，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把，代入得： ， 解得：，； 【小问3详解】 由（2）知，抛物线为， 设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为， 顶点仍在直线上， ， ， 抛物线为与轴交点纵坐标为， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 23. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】（1） （2） 行人会被洒水车淋到水， 理由：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【小问1详解】 解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 【小问2详解】 略 24. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 【答案】（1）； （2）每件文具售价为元，最大利润元； （3）元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式即可； （）由（）得，再结合二次函数的性质即可求求解； （）由（）的关系式，然后得方程，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵每件文具的售价不超过元，且是整数， ∴当时，有最大值，为（元）， 答：每件文具售价为元，最大利润元； 【小问3详解】 解：要使当天销售利润不低于元，即， 令，整理得， 解得：，， ∵， ∴当天销售单价所在的范围是． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、轴对称，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的交点式进行解题； （2）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，此时最小，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为：， 代入，， 有：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ，为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴交于点， 则，， 故当取得最大值时，取得最大值， 设点，则， 则， ∴当时，取得最大值， 此时点，， 则轴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴也为的中线， ∴为的中点， ∴，即； 作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点， 根据点的对称性，，， 则， 此时、、、四点共线，最小， 最小值为； 综上所述，当取得最大值时，，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1九年级阶段性学情调研数学学科 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题3分） 13. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 14. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 15. 我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格．某种药经过两次降价，由每盒60元调至48.6元．则每次降价的百分率为_____． 16. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 17. 已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 18. 当时，的最小值是，最大值是，则m的值是______． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于的方程：的一个根是，求的值以及方程的另一个根． 21. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的．（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） （1）梯形的中位线长是______m； （2）甬道的宽应是多少米？ 22. 在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点A，抛物线恰好经过“A、C”两点． （1）判断点B是否在直线上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 23. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 24. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达与x轴交于点和点，与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $