11.3.2 两数和(差)的平方 教学设计2025－2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“两数和(差)的平方”公式，通过“糖果分配”情境导入，引导学生比较(a+b)²与a²+b²的关系，承上多项式乘法法则，启下因式分解等知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于情境导入激发兴趣，探究过程从特殊多项式计算归纳公式培养抽象能力，几何图形面积验证渗透数形结合发展几何直观，例题分层设计提升推理意识，助力学生理解公式本质，方便教师实施差异化教学。

第十一章 整式的乘除 11.3 乘法公式 11.3.2 两数和(差)的平方 一、教材分析 本节课内容是华师大版义务教育教科书数学八年级上册的重要部分,是在学习了有理数运算、列简单代数式、一元一次方程及不等式、整式的加减、整式乘法及平方差公式等知识的基础上,进一步探究的第二个特殊形式的多项式乘法公式.它具有承上启下的作用,既是对多项式乘法法则的深化和拓展,又为后续学习因式分解、解一元二次方程、配方法等知识奠定基础. 二、教学目标 1.理解两数和(差)的平方公式,掌握完全平方公式的结构特征、几何解释,并能正确地应用公式进行计算; 2.经历探索两数和(差)的平方公式的过程,并能灵活运用公式准确无误地进行简单的代数运算; 3.通过两数和(差)的平方公式的得出,培养学生探索能力和概括能力,体会数形结合的思想,进一步发展学生的符号感和推理能力. 三、教学重难点 重点:理解两数和(差)的平方公式,掌握完全平方公式的结构特征、几何解释,并能正确地应用公式进行计算. 难点:经历探索两数和(差)的平方公式的过程,并能灵活运用公式准确无误地进行简单的代数运算. 四、教学过程 情境导入 有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块…… 第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子a2块糖;第二天有b个女孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子b2块糖;第三天这(a +b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖. 思考:这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多,多多少呢? 师生活动:教师讲解故事并引导学生思考这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多,多多少. 设计意图:通过故事创设问题情境,让学探究(a + b) 与a + b 的关系,从而引出两数和的平方公式(a + b) = a + 2ab +b . 探究新知 活动一:探究两数和的平方公式 计算下列多项式的积,看谁算的又快又准! (1) (a+1)2 =(a+1)(a+1)= ; (2) (m+2n)2=(m+2n)(m+2n)= ; (3) (2x+3y)2=(2x+3y)(2x+3y)= . 答:(1)a2+4a+4;(2)m2+4mn+4n2;(3)4x2+12xy+9y2; 思考:(1)它们的积有什么特点?(2)等式有什么特点? 师生活动:教师提问引导学生观察:式子的左边和右边具有什么共同特征?它们的结果有什么特征?学生通过自主探究、合作交流,发现规律. 答:(1)二次三项式(2)等式左边:两个数的和的平方.等式右边:是二次三项式,它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍. 思考:你能用一个数学式子来反映这种规律吗? 答:(a+b)2=a2+2ab+b2 符号语言:(a+b)2=(a+b)(a+b)= a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2 文字语言:两数和的平方,等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 简记为:“首平方,尾平方,积的2倍夹中央” 这个公式叫做两数和的平方公式. 利用这个公式,可以直接计算两数和的平方. 设计意图:让学生通过具体的计算和观察,从特殊到一般,归纳出两数和的平方公式,培养学生的观察、归纳和推理能力,同时让学生体验数学知识的形成过程. 想一想:你能用几何法验证两数和的平方公式吗? 观察图形,指出它包含哪些长方形和正方形,并用等式表示下图中图形面积的运算: 师生活动:教师展示图片并提问:你能根据图形的面积关系验证两数和的平方公式吗?学生小组合作,认真观察,思考,讨论,然后再讲解.通过此探究活动突出本节课的重点,让学生理解公式的特征,并抓住公式的本质. 答:(a+b)2=a2+2ab+b2 设计意图:通过图形的剪拼,从几何角度验证两数和的平方公式,渗透数形结合的思想,让学生体会代数与几何的内在联系,进一步加深对两数和的平方公式的理解. 活动二:探究两数差的平方公式 试一试:推导两数差的平方公式(a-b)2: 师生活动:学生先独立思考,再小组交流,合作展示探究过程,得出(a-b)2=a2-2ab+b2.教师总结出用统一的方式表达一类事物,这里的(a-b)2其实也可以表示成[a+(-b)]2. -b还能不能用其他的式子来替代?这里的a和b可以代表任何一个单项式或多项式. 分析:我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2.注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算. (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 多项式多项式 (a-b)2=[a+(-b)]2 =a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2 两数和的平方 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方,等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 设计意图:在教学中渗透整体思想和转化思想,让学生进一步理解知识的形成过程,掌握整体的数学思想方法. 想一想:观察图形,指出它包含哪些长方形和正方形,你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗? 答:(a-b)2=a2-2ab+b2 设计意图:类比研究(a+b)2的过程探究(a-b)2.引导学生多角度思考问题.再现本节课的探究过程,提升观察、分析及抽象概括能力. 归纳:两数和(差)的平方公式的结构特征: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 ①等号的左边是一个二项式的完全平方; ②右边是一个二次三项式,其中有两项是等号左边二项式中每一项的平方,另一项是左边两项乘积的2倍,简述为“首平方,尾平方,积的2倍夹中央”; ③公式中的a和b既可以表示数、单项式,也可以表示多项式. 注意:公式也可以逆用:a2 2ab +b =(a b)2. 设计意图:通过剖析公式的结构特征,让学生明确公式的本质,掌握公式的使用条件,为正确运用公式进行计算奠定基础. 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么? 师生活动:学生先独立完成,再思考回答教师问题,最后教师给出答案. 答:(-a-b)2=(-a)2-2 (-a) b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-2ab+b2,与a2-b2不一定相等.若(a-b)2=a2-b2,则ab=b2,b(b-a)=0, 故当b=0或a=b时,(a-b)2=a2-b2. 归纳:常见两数和(差)的平方公式的五种变形 ①a2+b2=(a+b)2-2ab; ②a2+b2=(a-b)2+2ab; ③(a+b)2=(a-b)2+4ab; ④(a-b)2=(a+b)2-4ab; ⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab. 设计意图:通过用字母表示规律,抽象出公式的本质,体会从具体到一般的研究思路,让学生对公式认识更清楚.培养学生观察,归纳,总结基本能力. 应用新知 【教材例题】 师生活动:教师讲解教材中的例题,让学生观察题目是否符合两数和(差)的平方公式的结构特征,确定公式中的a和b,然后进行计算. 学生练习,教师巡视指导,及时纠正学生出现的错误. 例1 计算: (1)(2x+3y)2 ; (2) . 解:(1) (2x+3y)2 =(2x)2+2 2x 3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2 (2)=(2a)2+2 2a + ()2=4a2+2ab+ 总结:使用公式时,先把要计算的式子与两数和(差)的平方公式对照,明确个是a,哪个是b. 例2 计算: (1)(3x-2y)2 ; (2) (m+1)2 . 解:(1)(3x-2y)2=(3x)2-2 3x 2y + (2y)2=9x2-12xy+4y2 (2) ( m+1)2= (m)2+2 (m) 1 + 12=m2-m+1 追问一:你还有其他解法吗? 方法二:(2) ( m+1)2=(m)2= 12-2 1 m+ (m)2=1-m+ m2 追问二:还能想到什么方法? 方法三:(2) ( m+1)2=[-(m-1)]2=(m-1)2= (m)2-2 m 1+12=m2-m+1 归纳:应用两数和(差)的平方公式的注意事项 ①在应用公式(a b)2=a2 2ab+b2时,关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a,哪一个相当于公式中的b; ②注意两个数乘积的符号与运算符号的关系. 设计意图:给学生充足的时间去观察,思考,讨论,然后再讲解.通过这几个例题突出本节课的重点,让学生理解公式的特征,并抓住公式的本质. 【经典例题】 例3 运用两数和(或差)平方公式计算: (1) 1032; (2) 972. 分析:把103变成(100+3),97变成(100-3),然后利用两数和(或差)平方公式进行计算. 解:(1)原式 = (100 + 3)2= 10000 + 600 + 9= 10609. (2)原式 = (100-3)2= 10000-600 + 9= 9409. 例4 运用乘法公式计算: (1)(m + n - 2)(m - n + 2); (2)(m+ n -p)2 分析:第(1)题先分组,再用平方差公式进行计算,分组方法是“符号相同的为一组,符号相反的为另一组”,最后再用两数差的平方公式计算. 第(2)题要把其中两项看成一个整体,再按照两数和(或差)平方公式进行计算. 解:(1)原式 = [m + (n - 2)][m - (n - 2)] 平方差公式 = m2 - (n – 2)2 两数差的平方公式 = m2 - (n2 – 4n + 4) = m2 - n2 + 4n – 4. 去括号要注意变号. (2)原式=[(m+n)-p]2=(m+n)2-2 (m+n) p+p2= m2+2mn+n2-2mp-2np+p2 也可以 原式=[m+(n-p)]2=m2+2 m (n-p)+(n-p)2= m2+2mn-2mp+n2-2np+p2 归纳:运用整体思想求解 ①对于平方式中底数是三项的多项式,通过添括号将其中任意两项视为一个整体,就符合完全平方公式的特点; ②对于两个乘积式中的三项或四项的多项式,可将符号相同的项及符号相反的项分别添括号视为一个整体,化成平方差公式的形式,通过平方差公式展开,再利用两数和(差)的平方公式展开,最后合并可得结果. 师生活动:学生先独立思考再作答. 设计意图:通过详细的例题讲解,培养学生灵活运用公式的能力,提高学生的思维能力和解决问题的能力,让学生体会公式变形的巧妙之处. 课堂练习 【教材练习】 1.计算: (1)(x+3)2 (2)(2x+y)2 解:(1)(x+3)2=x2+2 x 3+32=x2+6x+9 (2)(2x+y)2=(2x)2+2 2x y+y2=4x2+4xy+y2 2.计算: (1)(x-3)2 (2)(2m-3n)2 解:(1)(x-3)2=x2-2 x 3+32=x2-6x+9 (2)(2m-3n)2=(2m)2-2 2m 3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2 3.计算: (1)(-2m+n)2 (2)(-2m-n)2 解:(1)(-2m+n)2=(-2m)2+2 (-2m) n+n2=4m2-4mn+n2 (2)(-2m-n)2=[-(2m+n)]2= (2m+n)2=(2m)2+2 2m n+n2=4m2+4mn+n2 设计意图:通过练习,让学生巩固两数和(差)的平方公式的应用,提高学生的运算能力,让学生在练习中进一步理解公式的结构特征和使用条件,及时发现和解决学生在应用公式过程中出现的问题. 【自选练习】 4.若(x+3)2=x2+ax+9,则a的值为( ) A.3 B. 3 C.6 D. 6 分析:(x+3)2=x2+2 x 3+9=x2+6x+9 故选:C. 5.若计算(x+a)(x-)的结果中不含x项,则(a+2)2-(1-a)(-a-1)的值为 . 分析:不含x项,即x项系数为0,依此求出参数a的值;然后先化简代数式,再直接代入求解. 解:(x+a)(x-)=x2+(a-)x-a. 因为其结果中不含x项,所以a-=0,所以a=. 所以(a+2)2-(1-a)(-a-1)=a2+4a+4+1-a2=4a+5 当a=时,原式=4 +5=11. 6.已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值. 解:(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2 =x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2 =x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2 =-4xy+3y2. 当4x=3y时,原式=-3y2+3y2=0. 先化简代数式,然后根据条件代入求值. 7.试说明不论x,y取什么有理数,多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数; 分析:先化简多项式,观察式子特征,然后判断其正负. 解:x2+y2-2x+2y+3 =x2-2x+1+y2+2y+1+1 =(x-1)2+(y+1)2+1, 因为(x-1)2≥0,(y+1)2≥0, 所以(x-1)2+(y+1)2+1的最小值为1. 所以不论x,y取什么有理数,多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数. 设计意图:题目设计由浅入深,由易到难,层层深入.满足不同层次学生的学习需求,让每个学生都能在自己的能力范围内得到发展和提高. 归纳总结 师生活动:教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么? 2.两数和(差)的平方公式内容是什么?如何用字母表示? 3.在运用公式时有什么注意事项? 设计意图:通过课堂小结,让学生对本节课的知识有一个系统的梳理和总结,培养学生的反思和归纳能力.同时,通过师生互动,教师也能及时了解学生的学习情况,为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网(北京)股份有限公司 $