11.3乘法公式 (两数和乘以这两数的差与两数和差的平方)专项练习 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

平方差、完全平方式专项练习 知识点1 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【知识点1】平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²; (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³ 练习 1.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 ( ) A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(-3a+4b)(-4b-3a) C.(a+1)(-a-1) D.(a²-b)(a+b²) 2.计算： 3.如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形. (1) 在图2中的阴影部分面积 可表示为 (写成多项式乘法的形式)；在图3中的阴影部分的面积S可表示为 （写成两数平方差的形式)； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是( ) A. B. (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知 则2m-n= ; ②计算( 的值，并直接写出该值的个位数字是多少. ③计算： 4.如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形. (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 (多项式乘积的形式) (2)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式 (3)结合(2)的公式,计算: (4)拓展: 1 学科网（北京）股份有限公司 知识点2 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． ab 之间的互化技巧 ; ③(a+b)²=(a-b)²+4ab;④(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²);⑤a²+b²±2ab=(a±b)². 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 练习 1.填空:(1)已知a+b=5, ab=-2,则 的值为 ； (2)已知 则 的值为 ； (3)已知 则 的值为 ； (4)已知 则 的值为 ；ab的值为 . 2.已知 求下列各式的值： （3） 则 （4） 3.关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则m= . 4.【教材变式1】已知a-b=5, ab=6,则 的值为 . 【教材变式2】已知 求 xy的值. 【教材变式3】已知 求 ab 与a-b的值 【教材变式4】已知 求a+b与a-b的值. 【教材变式5】已知 则 的值是 . 【教材变式6】已知 则 的值是 . 【教材变式7】已知 求 的值. 【教材变式8】 若(2024-x)(x-2021)+10=0,求4045-2x的值 5.(12分)【阅读理解】 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少观，形缺数时难入微.”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题.图1是一个边长为a+b的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为 ，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为a² 的正方形有1块，面积为b² 的正方形有1块，面积为 ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为 ，这两种方法都是表示同一个正方形的面积，于是得到 【直接应用】 (1) 已知 求 ab的值; 【解决问题】 (2) 如图2,四边形 ABCD 是长方形,分别以AD,DC 为边向两边作正方形ADEF 和正方形CGHD.若AH=8,两正方形的面积和为54，求长方形ABCD 的面积. 思路如下:设AD=a,DC=b,由AH=8可得,a+b= ，由两正方形的面积和为54可得， 运用上面的方法可求出长方形 ABCD 的面积为 ； (3)若(2 026-m)(m-2 027)=-6,求(m-2 027)²的值. 6.(9分)阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，一软时难入微”.例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式. (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； (2) 解决问题:如果a+b=10, ab=12,求 的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(9-x)和(x-2)， 且 求这个长方形的面积. 7.(10分) 【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用 这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法.配方法在今后的学习中有着广泛的应用. 例如：求 的最小值. 解： 所以当 时，即当a=-2时， 有最小值，最小值为1. 【问题解决】 (1) 当x为何值时，代数式 有最小值，最小值为多少? （2）多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． (3)如图1，是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S₁；图2是边长为a+6的正方形，面积为S₂，比较S₁与S₂的大小，并说明理由. 8.图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题.请你利用数形结合的思想解决以下数学问题. (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式 (2)如图2，将一张大长方形纸板按图中线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的全等的小长方形，且a>b. ①观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ； ②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图2中空白部分的面积. 答案 平方差公式练习 1. B 2.解：原式： =1. 3.解:(1)图2 中长方形的长为(a+b),宽为(a-b),因此面积为(a+b)(a-b),，图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 故答案为 (2)由(1)得( 故选 B. (3)①因为 所以(2m+n)(2m-n)=12. 又因为2m+n=4,所以2m-n=12÷4=3. 故答案为3. ②原式 而256,………,其个位数字分别为2,4,8,6,重复出现,而(64÷4=16,于是“2,4,8,6”经过16次循环,因此 的个位数字为6. ③原式 =(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+………+ (2+1)×(2-1) =5050. 4.(1) (2) (3)①解：原式 ②解：原式 =2 (4)解：原式 完全平方公式练习 1. (1)29(2)4(3)25(4)13，6 2.(1) =9-4=5 (2) (3)=14+2 =16 因为 所以 (4) =25+2 =27 3.6或-6 4. 【教材变式1】37 【教材变式2】 2=1-2xy 2xy=1-2 2xy=-1 【教材变式3】∵a+b= 2ab,. 【教材变式4】解： =5+4=9, a-b=±1. 【教材变式5】4 【教材变式6】20 【教材变式7】3或-3 【教材变式8】设a=2024-x,b=x-2021,则ab+10=0,a+b=3,所以ab=-10, 所以 所以4045-2x=2024-x-(x-2021)=a-b=±7。故答案为±7。 5. (2)8 54 5 (3) 设x=2024-m,y=m-2025.则x+y=2024-m+m-2025=-1,xy= )² 的值为13. 6.解：(1)由题意得： 故答案为： (3)设9-x=a,x-2=b,则a+b=9-x+x-2=7, ∴这个长方形的面积为17 7.（1）解： ∴当x=3时，代数式 有最小值，最小值为-2。 （2） 当且仅当 即x=-1时， +5取得最大值5。 （3）由题意得： 8.解： 2ac, 故答案为： c+2ac; (2)①(a+2b)(2a+b), 故答案为：(a+2b)(2a+b); ②图中阴影部分的面积为20平方厘米， ∵大长方形纸板的周长为24厘米， 即 ∴空白部分面积为5ab=15(平方厘米)。 $