第2章特殊三角形 同步练习题 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《第2章特殊三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．若的三边分别为，，，下列给出的条件能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列命题的逆命题中正确的是（   ） A．直角都相等 B．同旁内角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 4．如图，直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 7．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 10．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 11．如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是 （写出一个即可） 12．南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 13．如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 14．如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 15．如图，，，点D在上，，平分，若，则 ． 16．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 三、解答题 17．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 18．如图，在和中，，，，连接、交于点O，与交于点M，与交于点N． (1)试判断、之间的关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的值． 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 20．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 21．（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点A、D、E在同一条直线上，若，，求的长； （2）解决问题： 如图2，和均为等腰三角形，，求直线和的夹角．（请用含的式子表示） 22．【问题背景】如果一个三角形一边的中线长等于这边的长度，那么把这个三角形称为“等边中线三角形”，这条中线称为“等边中线”． 【概念理解】（1）如图，在与中，为的中点，，，，，则________“等边中线三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式运用】（2）如图，在中，，是的“等边中线”．求的面积． 【拓展创新】（3）如图，在中，，，，为的中点．判断是否是的“等边中线”，并说明理由． 23．问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：_____（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 参考答案 1．解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 3．D 【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对A进行判断；根据平行线的判定方法对B、D进行判断；根据全等三角形的性质对C进行判断；首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，错误，不符合题意； B、同旁内角相等的逆命题是：相等的角是同旁内角，错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质并作出辅助线是解题的关键．过点作，得出，再得出，则，结合，可求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图：过点作， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确， ∵和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴线段被直线垂直平分， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵和关于直线对称， ∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定．①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合，那么这个三角形是等腰三角形． 根据题中条件，结合图形可得共7个等腰三角形． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 7．B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 8．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，由等边三角形的性质可得，，，证明得出，，即可判断①；证明，得出，即可判断②；得出为等边三角形，即可判断⑤；作于，于，求出，即可判断③；由三角形外角的定义及性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，，故⑥正确； ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴为等边三角形，故⑤正确； 如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，，, ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②③⑤⑥，共个， 故选：C． 9．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 10．等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 11．（答案不唯一） 【分析】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 13．/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．/40度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．由等边对等角，可得，，结合，可得，利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得，结合，求出，进而可得，再证，推出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 设， ， ， 平分， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得 ，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合 的对应角相等 ，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 18．(1)且 (2)2024 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）利用证明，得，，根据，得，即，即可得； （2）连接，，在中，，则，在中，，则，在中，，则在中，则，即可得，根据即可得． 【详解】（1）解：且，理由如下： ∵， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 且； （2）解：如图所示，连接，， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， ， 即， ， ． 19．(1)的长为； (2)滑块B向左滑动的距离为． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）如图2，，，， 故 由物体C升高，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 20．(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 21．（1）13；（2）直线和的夹角为 【分析】（1）根据等腰直角三角形得，和，即，进一步得．即可证明，有和，可求得，利用勾股定理即可求得； （2）延长交于点G，同理证明，有，结合三角形内角和得，有，那么，． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形，， ，，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）如图，延长交于点G， 和均为等腰三角形， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即直线和的夹角为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定和勾股定理，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键． 22．（1）是； （2）； （3）不是的“等边中线”，理由见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理、“等边中线”、等腰三角形的性质，解决本题的关键是读懂材料中“等边中线”和“等边中线三角形”的定义，根据定义解答即可． （1）根据勾股定理可得：，根据定义可知是“等边中线三角形”； （2）根据“等边中线三角形”的定义，可知，设，则有，根据等腰三角形的三线合一定理可得：，根据勾股定理可得：，从而可得：，根据三角形的面积公式可得； （3）过点作，垂足为，设，则，根据勾股定理可得：，解方程即可求出，，利用勾股定理求出，因为，所以可知，所以不是的“等边中线”． 【详解】解：（1） ，，， ， ， 是“等边中线三角形”， 故答案为：是； （2）是的“等边中线”， 设，则， ，为的中点， ， ， 即， 解得：， ； （3）不是的“等边中线”， 理由如下： 如下图所示，过点作，垂足为， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 不是的“等边中线”． 23．（1），理由见解析（2）（3）（4），理由见解析 【分析】（1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $