第一章 特殊平行四边形折叠及面积问题证明题训练（期中专题训练）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形折叠及面积问题证明题训练 目录概览 题型1 菱形相关折叠问题 题型2 矩形相关折叠问题 题型3 正方形相关折叠问题 题型4 菱形的面积问题 题型5矩形的面积问题 题型6正方形的面积问题 题型演练 题型1 菱形相关折叠问题 1．如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)补充图形见解析， (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，即，由折叠的性质可得，即，再根据四边形的内角和定理求解即可； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点O． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴，，，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 2．如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． (1)连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，， 求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据菱形的性质得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 3．如图，若将四边形沿折叠，则点与点重合，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若四边形的周长为14，面积为，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由折叠的性质可得出，，再证明，由全等三角形的性质可得出，进一步即可证明． （2）由菱形的性质可得出，设，，由菱形的面积可得出，由勾股定理可得出，进一步即可得出． 【详解】（1）证明∶∵四边形沿折叠，则点与点重合， ∴四边形关于直线对称， ∴为的垂直平分线，交点为O，， 即，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形 又∵， ∴四边形是菱形 （2）解：∵四边形为菱形，且周长为14， 则， 设，， ∴四边形的面积：， 在中， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，折叠的性质，勾股定理的应用等知识，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．操作建模：在一次数学实践探究活动中，某兴趣小组将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1，2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． 探究发现：（1）如图1，当点F恰好落在边上时，四边形的形状是___________； 思考求解：（2）如图2，当点E恰好是边的中点时，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）菱形；（2） 【分析】（1）利用对称的性质得到，，，利用平行四边形的性质得到，证明，据此即可证明结论； （2）证明且，设，则，在和中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图，由折叠可知，与关于对称， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E在边上，点F落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于点H， ∵F与B关于对称， ∴是的中垂线， 又∵E是的中点， ∴且， 若设， 由，得， 又，， 在和中，由勾股定理得： ， 则， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②线段的长为2或18或或5． 【分析】（1）由题意可得，，，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证； （2）①利用菱形的面积的两种求解方式：对角线乘积的一半，底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面积；②分三种情况讨论，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、，即；以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于，即；，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的定义是解决问题的关键． 题型2 矩形相关折叠问题 6．矩形中，，点E是线段上一动点．点F在线段上． (1)沿折叠，使A落在边上的G处（如图），若，求的长； (2)若按折叠后，点A落在矩形的边上，求的长度范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过G作于H，根据矩形性质判断四边形是矩形，得设，则，．在中，由勾股定理求得，即得； （2）当点F与点D重合时，，取得最大值6；当E与B重合时，可得，由勾股定理求出，得，的最小值为2；即得． 【详解】（1）解：如图，过G作于H． 则． ∵矩形中，， ∴四边形是矩形． ∴． 设， 则， 由折叠知，， ∴． ∵在中，， ∴． 解得． ∴． （2）解：观察图形可知，当点F与点D重合时，． ∴． ∴的最大值为6． 当E与B重合时，． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为2． 综上所述：． 【点睛】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 7．如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时， ①求证：． ②求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键． （1）根据翻折的性质可得，然后用表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）①根据翻折的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可； ②根据翻折的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴， ∵长方形纸片的边， ∴， ∴， ∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴． 8．如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的长为，的面积 【分析】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是掌握图形翻折前后边长和角度不变． （1）根据矩形的性质可知，，可得，再由图形折叠的性质，可得，由此可得，即可证明； （2）设边长，则可得，在中使用勾股定理求解即可，再根据三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即，解得， ∴的长为； ∵是由折叠得到， ∴，， ∴． 9．如图，在矩形中，点E是边的中点，点F在上，连接交对角线于点M，将沿直线折叠，点C恰好与点M重合． (1)求证：是等腰三角形； (2)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由折叠的性质和矩形的性质求得，推出，即可得到是等腰三角形； （2）设，求得，，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设， 由（1）得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 10．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)四边形是矩形，理由见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，解决本题的关键是得到是的中点． （1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）根据翻折的性质和矩形性质证明，，所以，得F是的中点，证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点是的中点， ， 沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ， ，则是等腰三角形， ， ，即， ， 的度数为． （2）四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， 由翻折可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 题型3 正方形相关折叠问题 11．如图，E、F分别是正方形的边、的中点，连结、，将正方形沿折叠，使点A落在点Q处，延长交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识； （1）根据正方形的性质和线段中点的定义可得出，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明．得出．设，则，．在中，根据勾股定理，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明∶四边形是正方形， ，． 、F分别是正方形的边、的中点， ，． ． 在和中，， ， ． （2）解：连结BG． 由折叠，可知，， ，． 在和中，， ． ． ，， 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即，解得． ． ． 12．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是关键． （1）根据折叠得到，即，由正方形的性质得到，则，由此即可求解； （2）如图，过点作交于点，可证，，，且，由此即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， ， 即， 正方形中，， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ，且， ． 13．如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图2，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②线段的长为． 【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可； （2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形是正方形， ，， 沿折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：如图2所示： 沿折叠得到，为的中点， ，， ， ， ， ， 即， ； ②解：设，则，， 正方形边长为4，为的中点， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 即线段的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 14．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)6． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 15．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点． (1)当点F运动到与点B重合时（如图1），线段与的数量关系是 ． (2)若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用证明全等即可得到结论； （2）过点F作，垂足为M，利用证明，即可得到结论； （3）过点Q作于H，根据翻折变换的性质可得，然后求出，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由是： 过点F作，垂足为M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点Q作于H，则四边形中，， 由翻折变换的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 题型4 菱形的面积问题 16．如图，在四边形中，，对角线平分，且，平分交于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)请直接写出图中与面积相等的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)与面积相等的三角形为：、、、 【分析】本题考查了角平分线的应用、直线平行的性质、菱形的判定与性质： （1）通过直线平行的性质，并结合角平分线证明即可； （2）证明，结合可得与面积相等的三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴图中与面积相等的三角形为：、、、． 17．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形； ∴，， ， ∴ ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 18．在等边与等边中，点，分别在、边上，连接，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接、、、，当时，请直接写出图中面积等于面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的三角形的面积相等，掌握并灵活运用这些知识是解题的关键． （1）先证是等边三角形，利用等边三角形的性质证明即可； （2）利用等高的三角形的面积的比等于底边之比可得，，再根据菱形的性质和等边三角形的性质证，可得，根据平行线间的距离处处相等可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 综上分析可得，面积等于面积3倍的三角形有：，，，． 19．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）证明可得，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到四边形是菱形，再由勾股定理求出，再由菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【详解】（1） 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型5矩形的面积问题 21．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 22．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②四边形的面积 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行四边形的性质证明，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和勾股定理即可解决问题； ②四边形的面积，代入值求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①∵，点M为的中点，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形中，，； ②∵在矩形中，， ∴ ． 23．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先证明，得到，进而得到四边形是平行四边形，再根据，即可得证； （2）勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可。 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， 平行四边形的面积， ∴四边形的面积平行四边形的面积的面积． 24．如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行四边形的性质和条件，证明四边形是平行四边形，再根据垂直得到直角，即可证明出矩形； （2）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据勾股定理求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，. 为延长线上的点，， ，， 四边形是平行四边形. 又， ， 四边形是矩形. （2）解：由（1）知四边形是矩形，， . 为的中点， . 四边形是平行四边形， . ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 25．如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，． 如图②，将沿着的方向以每秒的速度平移得到；设运动时间为t秒，连接． (1)四边形的形状为 ； (2)当t为何值时，四边形是菱形？请说明你的理由； (3)四边形能是矩形吗？若能，求出t的值及此时矩形的面积；若不能，说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)，见解析 (3)能，，面积为 【分析】（1）根据平移和平行四边形的性质证明，，即可求证； （2）当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形； （3）根据矩形的性质可得，，在根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，，从而得出． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， 根据平移的性质得到：，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当秒时，四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （3）解：能．∵是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型6正方形的面积问题 26．如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）过作于点，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积，结合三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形的面积． 27．四边形为正方形，点P在直线上，连接，过点A作的垂线交直线于点Q． (1)如图1，点P在的延长线上，求证：； (2)如图2，点P在上，直接写出，，之间的数量关系；连接，若，直接写出四边形的面积．(不需要写具体过程) 【答案】(1)详见解析 (2)，12 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用正方形的性质得，，，证明，得，根据，等量代换即可的结论； （2）证明得，根据，等量代换即可得，四边形的面积正方形的面积，然后根据正方形面积等于对角线乘积的一半，即可求出答案． 【详解】（1）四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2） 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积正方形的面积， 四边形为正方形，为对角线， ， 四边形的面积正方形的面积． 28．已知点是正方形的对角线上一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线，交边于点，求证：是等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为1，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟记各性质并正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据四边形的内角和等于求出，然后求出，再根据等角的余角相等求出，从而得到，再根据等角对等边证明即可； （3）过点作于，作于，根据正方形性质求出、的值，再求出的值，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为一条对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图，过点作于，作于， ∵正方形的边长为1，为对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴的面积． 29．在正方形中，E、F分别为的中点，连接和交于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，作关于对称的，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于正方形面积的． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）依据正方形的性质，即可得到，进而得出，依据，即可得到； （2）依据E、F分别为的中点，即可得到的面积都等于正方形面积的． 【详解】（1）∵正方形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，的面积都等于正方形面积的． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 30．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求正方形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)由ABCD是正方形得到，，由得到，进一步得到，再根据“边角边”即可证明； (2)由及得到，进而得到，由(1)中全等得到，最后由即可证明； (3)过点B作交AE的延长线于点F，证明为等腰直角三角形，求出，在中由勾股定理求出即可得到正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴． ∴， 即． ∵， ∴． （2）证明：如下图： ∵，， ∴· ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点B作交AE的延长线于点F． ∵，， ∴由勾股定理得：． 由(2)知，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题借助正方形的性质考查了三角形全等的判定方法、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理求线段长等知识点；本题中第(3)问的关键点是过点B作交AE的延长线于点F，进而构造等腰直角三角形，利用其性质求解． 试卷第40页，共48页 试卷第39页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形折叠及面积问题证明题训练 目录概览 题型1菱形相关折叠问题 题型2矩形相关折叠问题 题型3正方形相关折叠问题 题型4菱形的面积问题 题型5矩形的面积问题 题型6正方形的面积问题 题型演练 题型1菱形相关析叠问题 1.如图①，有一张菱形纸片ABCD,∠A=45°，折叠该纸片，使得点A,C均与点D重合，折痕分别为 EG,FH,设两条折痕的延长线交于点O. D B H 图① 图② (I)请在图②中将图形补充完整，并求LE0F的度数； (2)四边形DGOH是菱形吗？请说明理由. 2.如图，一张四边形纸片ABCD,其中AD∥BC,CD⊥BC,沿对角线BD折叠，点A恰好落在BC边 上的点E处 A B E (I)连接DE,试判断四边形ABED的形状，并说明理由： 第1页，共16页 (2)若∠CDE=30°，CD=6,求四边形ABED的面积. 3.如图，若将四边形ABCD沿AC折叠，则点B与点D重合，过点B作BE‖CD交AC于点E,连接DE. D (I)求证：四边形BCDE为菱形； 连接BD,若四边形BCDE的周长为14，面积为，求BD+CE的 4.操作建模：在一次数学实践探究活动中，某兴趣小组将一张平行四边形纸片ABCD进行折叠（如图1,2 所示)，折痕为AE,点E在BC边上，点B落在点F处 第2页，共16页 E E 图1 图2 探究发现：(1)如图1，当点F恰好落在AD边上时，四边形ABEF的形状是 思考求解：(2)如图2，当点E恰好是BC边的中点时，连接CF,若AE=AB=9,BC=12,求线段CF的 长 5.如图，将平行四边形DBEC沿BD折叠，点C恰好落在EB的延长线上点A处，连接AC,BD交于点O, D E B (I)证明：四边形ABCD是菱形； (2)若AC=6,BD=8. ①求△ACE的面积； ②若直线AE上有一点F,当△FCE为等腰三角形时，直接写出线段为AF的长. 题型2矩形相关折叠问题 第1页，共16页 6.矩形ABCD中，AB=10,BC=6,点E是线段AB上一动点.点F在线段AD上. G B E (I)沿EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG=3,求AE的长； (②)若按EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，求DG的长度范围. 7.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点 在边BC上. E A: B G G 图(1) 图(2) (I)如图(1)，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长. (2)如图(2)，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时， ①求证：EF=EG. ②求AF的长. 8.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F. 第2页，共16页 D B C (I)求证：BF=DF; (2)若AB=6,AD=8,求BF的长和△BFD的面积. 9.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，点F在CD上，连接AE交对角线BD于点M,将△ECF 沿直线EF折叠，点C恰好与点M重合. D B (I)求证：△ADM是等腰三角形： (②)求AD与AB的数量关系. IO.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C,D的对应点分 第1页，共16页 别为C,D,连接AD交BC'于点F, D (I)若LDED'=70°，求∠DAD的度数； (②)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由. 题型3正方形相关折叠问题 11.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连结EC、BF,将正方形ABCD沿BF折叠， 使点A落在点Q处，延长FQ交DC于点G. D B (I)求证：BF=CE; (2)若AB=4,求FG的长. 12.如图，将正方形ABCD纸片折叠，使点D落在AB边上的点E处，将纸片压平并展开，得到折痕FG, 第2页，共16页 设DC的对应边EK交BC于点H,连接DE交FG于点M,连接DH交FG于点N. D B K (I)求证：∠AED=∠DEH; (②)若正方形的边长为4，求△BEH的周长. 13.如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE,把aDEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF 交AB于G,连接DG. D D G E B E 图1 图2 (I)求LEDG的度数. (2)如图2，E为BC的中点，连接BF. ①求证：BF∥DE; ②若正方形边长为4，求线段AG的长. 14.实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，得 到折痕DE,然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点A恰 第1页，共16页 好落在CD上的点A处，得到折痕EF,BC交A'B'于点M,再把纸片展平.问题解决： B M 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形CDC'E是正方形 (2)如图2，若CA'=3,DA'=6,求△A'CM的面积. 15.在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H,交直线AD于 点E. F A B(F) 图1 图2 图3 (I)当点F运动到与点B重合时（如图1），线段EF与AG的数量关系是_ (②)若点F运动到如图2所示的位置时，(1)探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由 (3)如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ,点P、Q分别 在边AD、BC上，请直接写出折痕PQ的长. 题型4菱形的面积问题 第2页，共16页 16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,且BD⊥CD,AE平分∠BAD交BC于 点E,连接DE· D B E (I)求证：四边形ABED是菱形： (2)请直接写出图中与△CDE面积相等的三角形. 17.如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD. E (I)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若OC=3,AB=5,求四边形ABCD的面积. 18.在等边ABC与等边△CDE中，点E,F分别在AC、BC边上，连接EF,EF∥AB. 第1页，共16页 图1 图2 (I)如图1，求证：四边形EFCD是菱形： (2)如图2，连接AD、AF、BD、BE,当AE=2CE时，请直接写出图中面积等于△CDE面积3倍的所有三 角形. 19.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上，满足LEAO=∠DCO. D E (I)求证：四边形AECD是平行四边形： (②)若AB=BC,CD=10,AC=16,求四边形AECD的面积. 2O.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF,连接AE,CF,AC. 第2页，共16页