2.8直线与圆锥曲线的位置关系（第一课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教案聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，通过复习直线与圆的位置关系搭建学习支架，引导学生迁移知识，从方程组解的问题过渡到直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的探究，梳理判定逻辑。 资料以例题为载体，采用讲练结合与案例分析，通过例2归纳位置关系定义，例3辨析直线与双曲线“一个公共点是否相切”，培养逻辑推理与直观想象。师生互动中强化代数法与几何法应用，提升学生数学运算能力，为教师提供清晰教学流程与核心素养培养路径。

课题 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第一课时 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第二章第八部分 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标与教学重难点 教学目标： 1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题. 3.加强数形结合思想的训练与应用. 教学重点：1、位置关系的定义与分类 2、 判断方法的讲解； 3、 应用实例的解析 教学难点：1、代数法与几何法的灵活应用 2、 判别式Δ的理解与应用 3、 复杂问题的分析与解决，几何直观的培养 核心素养 · 数学抽象：在直线与圆锥曲线的位置关系判断中，学生需要理解并抽象出直线与圆锥曲线的几何特征，如直线的斜率、截距，圆锥曲线的形状、大小、位置等。 · 逻辑推理：在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，学生需要运用逻辑推理能力。无论是使用代数法（联立方程求解判别式Δ）还是几何法（比较距离），都需要学生根据已知条件进行逻辑推理，得出正确的结论。 · 数学建模：在直线与圆锥曲线的位置关系判断中，数学建模是一个重要的核心素养。学生需要将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，如联立直线与圆锥曲线的方程，求解判别式Δ等。 · 直观想象：直观想象在直线与圆锥曲线的位置关系判断中起着重要作用。学生需要通过图形展示和动态演示等方式，直观地理解直线与圆锥曲线的位置关系。同时，学生还需要通过直观想象，预测问题的解决方向，提高解题效率。 · 数据分析：在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，学生可能需要处理和分析大量的数据。通过数据分析，学生能够更好地理解问题的本质和规律，找到解决问题的有效方法。 · 数学运算：在直线与圆锥曲线的位置关系判断中，数学运算是必不可少的。学生需要掌握代数运算、方程求解等基本技能，并能够熟练地进行运算。通过数学运算，学生能够得出正确的结论，验证自己的推理过程。 教材分析 本节课选自《人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系。 直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，内容包括直线与圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线相交时弦长的计算，弦的中点及与之相关的问题，等等。本节内容的重点是利用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，难点是几何图形和代数方程的相互转化。本节内容体现了解析几何的主要思想和方法，通过本节的学习，学生可以巩国前面所学圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的能为以及化归的思想等. 教学方法和手段 教学方法：讲练结合法、案例分析法等。 教学手段：教科书、粉笔、黑板以及现代的电子视听设备和多媒体网络技术等。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 【新课引入】 【复习回顾】 教师带领学生通过表格复习直线与圆的位置关系： 过渡：我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题.类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题。 巩固与加深理解、促进知识系统化、提升数学思维，为后续学习做准备等方面。 【讲授新课】 问 例1、判断直线与椭圆是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 【师生活动】教师展示例1，学生通过对具体方程组的求解以及对具体点坐标的计算，得出现场的本质实际就是两点间的距离公式的变形。 例2、已知直线与椭圆，分别求直线与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围. 【师生活动】教师展示例2，学生自行阅读题目列方程组进行求解，教师在此基础上引导学生归纳总结直线与椭圆相交、相切、相离的定义，教师给出直线与椭圆位置关系的判断方法。 例3、判断直线与双曲线是否有公共点.如果有，求出公共点坐标. 【师生活动】教师展示例3，学生独立完成。 教师提问：直线与双曲线有一个公共点，那么它们是否相切呢？ 学生作图判断： 直线与双曲线 不“相切”. 教师追问：如何判断直线与双曲线的位置关系？ 【师生活动】教师展示例3的变式，引导学生从图象和方程根两个角度进行辨析与总结，之后师生共同总结直线与双曲线位置关系的判定方法。 例4、已知直线与抛物线，分别求直线与抛物线有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围. 【师生活动】教师展示例4，学生独立完成。 教师提问：直线与抛物线只有一个交点时，它们一定是相切吗？ 学生作图判断： 不相切 相切 教师总结：一解不一定相切，相交不一定两解. 直线与圆锥曲线的位置关系判断方法： (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断. 设直线的方程为,圆锥曲线方程为 由消元， 如消去后得 引导学生深入理解位置关系的概念、培养学生的几何直观能力、强化学生的代数运算能力、培养学生的逻辑思维和推理能力以及为后续学习打下坚实基础等方面。通过本节课的学习，学生能够全面掌握判断直线与圆锥曲线位置关系的基本方法和技能，为后续学习奠定坚实基础。 【课堂小结】 回顾本节知识，总结概括. 巩固知识要点、强化方法技能、促进知识系统化、提升自我反思能力以及激发学习兴趣和动力。通过课堂小结的实施，学生能够更好地掌握所学内容，提高学习效果，并为后续学习打下坚实基础。 【课堂练习】 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 即时检验学习效果、巩固与加深理解、提升解题技巧与速度、培养数学思维能力、激发学习兴趣和动力以及促进知识的迁移与应用。这些设计意图共同作用于学生，旨在帮助他们更好地掌握所学内容，提高数学学习的效果和质量。 板书设计 一、标题 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第一课时 二、复习引入 通过复习直线与圆的位置关系引出直线与圆锥曲线的位置关系 三、知识讲解 1.直线与椭圆的位置关系 2.直线与双曲线的位置关系 3.直线与抛物线的位置关系 4.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 四、例题与练习 五、课堂小结 六、课堂练习 教学反思 注重基础：在今后的教学中，我将更加注重学生对基础知识的掌握和理解。通过更加详细的讲解和示范，确保学生 能够熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法。 强化练习：我将设计更加具有针对性和有效性的练习题目，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力和技巧。同时， 我也会更加注重学生的练习反馈，及时发现问题并进行调整。 拓展应用：为了培养学生的数学应用能力和创新思维，我将适当增加一些拓展性的题目和应用实例，让学生在解决 问题的过程中感受到数学的魅力和价值。 加强互动：我将更加注重与学生的互动和交流，鼓励学生提出问题和建议，促进师生之间的共同学习和进步。 学科网（北京）股份有限公司 $