精品解析：重庆市复旦中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

重庆复旦中学教育集团2025-2026学年度上期第一次月考 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和II卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3. 已知一元二次方程的其中一个实数根为则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的是（ ） A. B. C. （为全体实数） D. 若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为． 12. 对于两个代数式，记，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为6； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每题的答案填在答题卡中对应的横线上 13. 方程的解是________． 14. 二次函数与轴的交点坐标是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为________． 16. 对于二次函数，点和在函数图象上，则________（填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为____________． 17. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵，∴792是“十全数”；又如：四位数3418，∵，3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为_________，若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是_________． 三、解答题：（本大题2个小题，第19题10分，第20题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … （1）补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （2）抛物线的顶点的坐标是___________； （3）当___________时，随的增大而减小； （4）当时，的取值范围是___________． 21. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求的值： （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 22. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23. 小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 24. 如图，在中，，，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿方向向C点运动，其中一个点到达终点C，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设P点运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出关于的函数关系式及对应的的取值范围； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质． 25. 如图，抛物线过，，三点，点是抛物线上动点． （1）试求抛物线的表达式； （2）如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； （3）当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2025-2026学年度上期第一次月考 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和II卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个特征，逐一判断选项是否符合定义． 先明确一元二次方程的核心特征：①只含一个未知数；②未知数最高次数是2；③为整式方程（分母不含未知数）；再对照特征分析每个选项，排除不符合的选项，确定正确答案． 【详解】解：根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义分析： A、方程含和两个未知数，不符合“只含一个未知数”的特征，此选项不符合题意； B、方程只含未知数，的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程定义，此选项符合题意； C、方程分母含未知数，属于分式方程，不符合“整式方程”的特征，此选项不符合题意； D、方程整理后为，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合“最高次数为2”的特征，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一般形式为（），需通过移项将所有项移到等号左边，且按未知数次数从高到低排列，移项时注意符号变化． 先明确一元二次方程一般形式的结构（等号右边为0，左边按项、项、常数项顺序排列）；再对原方程进行移项，将右边的移到左边并变号；最后整理左边各项顺序，对比选项确定正确答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），需将所有项移至等号左边，按项、项、常数项排序． 对原方程移项（右边3x移到左边变号），得． A、方程未按项、项、常数项顺序排列，不符合一般形式规范，此选项不符合题意； B、常数项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； C、方程符合一般形式定义，此选项符合题意； D、项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 已知一元二次方程的其中一个实数根为则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入一元二次方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的其中一个实数根为， ∴， 解得，， 故选：D 4. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的平移，解题的关键是：熟记平移规律，根据平移规则“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为． 故选：C． 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的核心步骤：先移项将常数项移至等号右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方形式． 先将方程中的常数项移到等号右边，得；再计算一次项系数一半的平方（即），在等式两边同时加凑完全平方；最后整理为，对比选项确定答案． 【详解】解：用配方法解方程，步骤如下： 移项，将常数项移至等号右边：； 配方，两边同时加一次项系数一半的平方：； 整理为完全平方形式：，与选项C匹配． 故选：C． 6. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 8. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意； B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意； C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意； D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 10. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 11. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的是（ ） A. B. C. （为全体实数） D. 若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）、系数、、的关系、不等式恒成立判断及函数对称性的应用，解题的关键是根据图象信息确定、、的符号与数量关系，结合对称性和不等式性质逐一验证选项正误． 由抛物线开口向下得，对称轴得，与轴交于负半轴得；分析A：，错误；分析B：符号不确定，错误；分析C：不等式仅成立，非全体实数，错误；分析D：利用对称点，结合区间范围得且，即可判断． 【详解】解： 抛物线开口向下，故； 对称轴，化简得， 因，故； 抛物线与轴交于负半轴，故 A、，因、，故，此选项不符合题意； B、，因则，，（负数加正数）结果不确定（如时为，时为），此选项不符合题意； C、将代入不等式： 左边， 右边， 不等式化为，两边除以得，即，仅 成立，此选项不符合题意； D、因，故、关于对称轴对称，得，即由得： ，即，解得； 由且，即且，解得， 此时需同时满足和，即的取值范围为． 其中“” 表示的是取n和这两个数中的较大值． 要存在这样的，需满足，对n分类讨论如下： 当时，即，， 此时，需满足，结合前提，得； 当时，即，， 此时，需满足，解得，即，结合前提，得． 合并两种情况的范围，最终得，此选项符合题意； 故选：D． 12. 对于两个代数式，记，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为6； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、非负数的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 将代入代数式，利用数形结合、根的判别式等知识来判断其正确性． 【详解】解：①已知，将其代入， 可得：，即， 整理得， 两边同时除以3得到．解得：或，故说法①错误； ②方程即， ∵若、是方程的解， ∴，． ∴，即②正确； ③方程可化为，即, 当时，或， ∴函数与x轴的交点坐标为， 根据题意画出函数图象如下： 当直线过点A时，两函数图象有1个交点，则，解得：； 当直线过点B时，两函数图象有3个交点，则，解得：； 当直线与函数只有一个交点C，函数与有3个交点， 由题意可得：，即， 所以，解得：， 综上，当或时，关于的方程有两个不相等的实数根，即③错误． 综上，正确的只有1个，故选B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每题的答案填在答题卡中对应的横线上 13. 方程的解是________． 【答案】1或-1 【解析】 【分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 14. 二次函数与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与y轴交点坐标的求法，解题的关键是明确y轴上所有点的横坐标为0，将其代入二次函数解析式计算对应的纵坐标． 根据y轴上点的横坐标为0的特征，将代入二次函数中，计算出对应的值，该值与值组成的有序数对即为交点坐标． 【详解】解：∵y轴上任意一点的横坐标为0， ∴将代入二次函数， 得， ∴二次函数与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出，从而得出的纵坐标为8，设点坐标为，将点坐标代入解析式求解． 【详解】解：把代入中得， 解得， ， 点，四边形为正方形， ， 设点横坐标为，则， 代入得， 解得或（舍去）． ． 故答案为 【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质． 16. 对于二次函数，点和在函数图象上，则________（填“>”，“=”或“<”）；当时，函数的最小值为1，则的值为____________． 【答案】 ①. > ②. 0或3． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把点和代入进行计算，即可判断和；结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵二次函数，点和在函数图象上， ∴，， ∴； ∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：>，0或3． 17. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十全数”．例如：四位数7923，∵，∴792是“十全数”；又如：四位数3418，∵，3418不是“十全数”．若一个“十全数”为，则这个数为_________，若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是_________． 【答案】 ①. 3527 ②. 9362 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算等知识，理解新定义，正确进行各种变形是解题的关键． （1）根据“十全数”的意义即可求解； （2）由题意得，，则被9除余1，确定出最大为47，最小取13，故只能为19，28，37，46；由得：，确定是9的倍数，然后确定的取值范围后得，从而得，，则消去c得，然后就四个数的取值列表即可求解． 【详解】解：由“十全数”的含义得：， 解得：， 则这个数为3527； 由题意得：， 即， 上式被9除余1，则被9除余1， 由题意的和最大为取，b，c的和最大为17，其和最小为，b，c的和最小为3，则最大为47，最小取13； 故只能为19，28，37，46； 由得：， 即是9的倍数； ∵的各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∴， ∴，即； 由得，； ∵只能为19，28，37，46； ∴只能为9，18，27，36； ∵为偶数， ∴，36， 即，18； 但b，c不相等，故其和不可能为18， ∴； 显然a只能为奇数； 当取1，3，5，7，9时， a 1 3 5 7 9 b 5 6 7 8 9 c 4 3 2 1 0 d 9 7 5 3 1 综上，“十全数”为1549，7813，其和为9362； 故答案为：3527，9362． 三、解答题：（本大题2个小题，第19题10分，第20题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 ， ， 或， 解得． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； 【小问2详解】 把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … （1）补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （2）抛物线的顶点的坐标是___________； （3）当___________时，随的增大而减小； （4）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） 补全表格： … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 函数图像： （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：用配方法变形函数表达式： ， 二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由可知，抛物线开口向下； 由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． 【小问4详解】 解：当时，，解得，； 当时，，化简得，解得，； 结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 21. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求的值： （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1），， （2）的面积为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、三角形面积的计算以及根据函数图象比较函数值大小，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，并结合数形结合思想解决函数值比较问题． （1）先将点代入二次函数求；再将点代入二次函数求，得到点完整坐标；最后将、代入一次函数，列方程组分别求、的值． （2）先求一次函数与轴交点的坐标；将分割为和，以为公共底，分别用点、的横坐标绝对值作高，再用三角形面积公式计算总和． （3）根据两函数图象的交点横坐标，结合图象中一次函数图象在二次函数图象上方的区域，直接确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点在上， ∴，即，解得； ∵点在上， ∴，即； ∵点、在上， ∴， 用第一个方程减第二个方程：，解得； 将代入，得，解得； 故，， 【小问2详解】 解：∵，令，则， ∴点，即；， ∵，， ∴． 答：的面积为． 【小问3详解】 解：由两函数图象交点为、，观察图象可知，当时，的取值范围是． 22. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 23. 小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 （3）想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 即； 【小问2详解】 对于函数 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 【小问3详解】 取得， 解这个方程得：，． 当时，． 当时，． 设每月的成本为元，由题意，得： 当时，的值最小，． 答：想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元． 24. 如图，在中，，，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿方向向C点运动，其中一个点到达终点C，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设P点运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出关于的函数关系式及对应的的取值范围； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质． 【答案】（1） （2） 函数图像如下： 当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 【分析】题主要考查了三角形上的动点问题，动点的函数图像和性质等相关知识． （1）分两种情况当点P在上时和当点P在上时，过点P作交于点H，利用含30度直角三角形的性质得出的高，进而根据三角形的面积公式即可得出y关于x的函数关系． （2）由（1）得到的y关于x的函数关系画出函数图像即可． 【小问1详解】 解：当点P在上时，， 此时， 过点P作交于点H， ∵， ∴， ∴． 当点P在上时，此时，， 过点P作交于点H，如下图： ∵， ∴， ∴， 综上分析可知：y关于x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据（1）可知， 当时，y随着x的增大而增大． 25. 如图，抛物线过，，三点，点是抛物线上动点． （1）试求抛物线的表达式； （2）如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； （3）当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，，由得到关于m的方程，解方程即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点，，关于的对称点，，，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ，在上， ， 解得， 直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点， 则设，且， 轴，轴， ，， ， 当时，， ， ， 解得，（舍去）， 当时，， 点P的坐标为； 当时，， ， ， 解得（舍去）， 当时，， 点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，，，， 、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ， 解得， 点关于直线的对称点为， 、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接，，， 与关于直线成轴对称， ， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ，，， ，， ， 平分交抛物线于点，交于点， ，， ，， ，即， 设直线为：， 直线过，， ， 解得， 直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ； 同理，作点，，关于轴的对称点，，， ，，，， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $