第3章 图形的相似（知识清单）数学湘教版九年级上册

第三章 图形的相似 【清单01】比例线段 1.定义：如果（或），那就说 。两条线段的 叫做两条线段的 . 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做 ，简称 ．这时，线段是 ，线段是 . 2.性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 【清单02】平行线分线段成比例 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【清单03】黄金分割 如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的 ，其中，，与的比叫做 ． 【清单04】相似三角形的定义 1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形． 如图，与相似，记作，符号读作 ． 2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比； 全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 【清单05】相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【清单06】相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于 ． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于 ． 3. 相似三角形对应中线的比等于 ． 4. 相似三角形的周长比等于 ． 5. 相似三角形的面积比等于 ． 【清单07】位似 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做 ，k就是这两个相似多边形的 ．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 【清单08】平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标 （或 ）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于 一、比例的性质 要点归纳： 1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．(反比定理)； 3．(或)(更比定理)； 4．(合比定理)； 5．(分比定理)； 6．(合分比定理)； 7．(等比定理). 【典例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 二、平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【典例1】如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 【变式1】如图，，，，则 ． 三、有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【典例1】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式1】如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【变式2】如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 四、图形的位似变换 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 【典例1】已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 【变式1】如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 重难点01 比例的性质 1．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 4．如果，那么 ． 5．已知：，则 ， ； 6．若，则的值是 ． 7．若，则 ． 8．（1）如果，求； （2）如果，求的值． 9．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 重难点02 成比例线段 10．在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 11．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 12．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 13．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（   ） A． B． C．，，， D． 15．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 16．已知线段c是线段a、b的比例中项，且，则 17．线段是成比例线段，且，则 ． 18．如图，在中，，垂足为D．已知，线段是不是线段的比例中项？请说明理由． 重难点03 黄金分割 19．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 20．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 21．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 22．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 23．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 24．若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 25．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 26．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 27．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 重难点04 平行线分线段成比例 28．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 29．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 32．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 33．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 34．如图，已知，如果，那么的长为 ． 35．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 36如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 37．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 重难点05 相似多边形及相似的性质 38．下列两个图形一定相似的是（    ）． A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个等腰三角形 D．两个矩形 39．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 40．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 41．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 43．已知四边形与四边形相似，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的最短边为4，则四边形的最短边为（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 44．如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 45．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 46．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 重难点06 相似三角形的判定 47．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 48．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 49．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 50．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 51．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 52．在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 53．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 54．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 55．如图，在和中，，．求证：； 重难点07 相似三角形的性质 56．如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是 ． 58．如图，在中，点D、E分别在、边上，连接，，，，则的长为 ． 59．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 60．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 61．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 62．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 重难点08 相似三角形的应用 63．如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 64．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 65．如图，已知，若，，则 . 66．如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 67．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 68．某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 重难点09 图形的位似 69．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 70．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 71．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为 ． 72．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 73．如图，已知线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为 ． 74．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； (2)以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 75．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 76．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 【清单01】比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2.性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 【清单02】平行线分线段成比例 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【清单03】黄金分割 如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比． 【清单04】相似三角形的定义 1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形． 如图，与相似，记作，符号读作“相似于”． 2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比； 全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 【清单05】相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【清单06】相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【清单07】位似 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 【清单08】平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 一、比例的性质 要点归纳： 1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．(反比定理)； 3．(或)(更比定理)； 4．(合比定理)； 5．(分比定理)； 6．(合分比定理)； 7．(等比定理). 【典例1】把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 【变式1】．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 二、平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【典例1】如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E，则垂直于直线b，再由题意可得，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E， ∵，垂直于直线c， ∴垂直于直线b， ∵a与b的距离为3，b与c的距离为5， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【典例1】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【解析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式1】如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 四、图形的位似变换 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 【典例1】已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． (1)位似中心点P的坐标是 ； (2)以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）对应点连线的交点P即为所求的旋转中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P的坐标为 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 【变式1】如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 【答案】点的对应点的横坐标为 【分析】设点的横坐标为，然后表示出点和点间的水平距离，再根据位似比例式计算即可得解. 【详解】解：设点的横坐标为． 由题意，得点间的水平距离为，点间的水平距离为， 把放大到原来的2倍得到， ，解得， 即点的对应点的横坐标为． 重难点01 比例的性质 1．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质， 设，则，代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：B 2．已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可． 【详解】解： 即，故A选项变形正确； 左右两边同时乘以得，不能得出，故B选项变形错误，D选项变形正确； 将左右两边同时除以得，故C选项变形正确； 故选：B． 3．若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 4．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，先将变形成，然后求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．已知：，则 ， ； 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，将变形为，分别代入要求的式子进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴， 故答案为：；． 6．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，再代入所求式子进行计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设（），则，，， ∴， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键． 设，可得，再代入求值即可得到答案． 【详解】设，则， ∴． 故答案为：． 8．（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 9．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查的是比例的性质； （1）设，得出，再代入计算即可； （2）根据（1）得到，代入求出k的值，再代入求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 重难点02 成比例线段 10．在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 11．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，四条线段成比例，故本选项符合题意； C、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 12．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 13．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立． 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 14．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（   ） A． B． C．，，， D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 15．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16．已知线段c是线段a、b的比例中项，且，则 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 17．线段是成比例线段，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例线段的定义，掌握比例线段的定义是解题的关键； 利用比例线段的定义得到，进而得到，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴根据比例线段的定义得，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 18．如图，在中，，垂足为D．已知，线段是不是线段的比例中项？请说明理由． 【答案】线段CD是线段AD，BD的比例中项．理由见解析 【分析】本题主要考查比例中项的定义，利用勾股定理求线段长。熟练掌握比例中项的定义，也就是“成比例的四个量，如果内项相等，即比例式为时，则内项称为外项和的比例中项”是解题关键. 【详解】解：线段CD是线段AD，BD的比例中项，理由如下： 在中，， ． ， ． ， ∴在中，， ， ，， ， ∴线段CD是线段AD，BD的比例中项． 重难点03 黄金分割 19．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点是解题的关键．根据黄金分割点可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 故选：C． 20．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割比，解题的关键是利用概念建立等式进行求解即可，设他的肚脐到脚底的长度约为，建立等式，计算后记得单位换算． 【详解】解：设他的肚脐到脚底的长度约为，由题意得： 解得：， 故选：B． 21．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 22．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 23．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 24．若点是线段的黄金分割点，且，，则 （保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 25．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 26．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 27．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点04 平行线分线段成比例 28．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 29．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 30．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 31．如图，在中，，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例得到，，判断选项AB，再根据四边形为平行四边形，得到，则，判断CD选项． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，故A选项正确，B选项错误； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C，D选项错误； 故选：A． 32．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．先根据平行线分线段成比例可得，则可得的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 33．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 34．如图，已知，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，因为，故，结合，所以，再进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：5． 35．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 36如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例定理得出线段比例关系，利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比． ①利用和，结合平行线分线段成比例定理，逐步推导得出的比值； ②通过得到，再设，则，求出的比值． 【详解】解：① 即， ， 设，则， ②， ， 设，则． 梯形的面积． 因此，． 37．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）因为 所以 因为， 所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：． 重难点05 相似多边形及相似的性质 38．下列两个图形一定相似的是（    ）． A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个等腰三角形 D．两个矩形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判断． 根据相似图形的定义逐一判断即可． 【详解】A． 两个菱形的各边对应成比例，但各角不一定相等，故不一定相似； B． 两个正方形的所有角均为，且各边对应成比例，因此一定相似； C． 两个等腰三角形的顶角可能不等，对应边比例不一定一致，故不一定相似； D． 两个矩形的角均为，但长宽比例可能不同，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故选B． 39．下列说法不正确的是（    ） A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的定义，利用相似图形的定义逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、两三角形对应角相等，故相似； B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故不相似； C、所有边数相等的正多边形是相似的； D、所有的等边三角形都相似． 故选：B． 40．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 【答案】C 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 41．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 42．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 43．已知四边形与四边形相似，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的最短边为4，则四边形的最短边为（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似图形的性质，对应边的长度之比等于相似比求解即可． 【详解】解：已知四边形与四边形的相似比为，即四边形的边长是四边形对应边长的，四边形的最短边为4，则四边形的最短边为． 故选：D． 44．如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 45．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 46．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等），求的长度． 【答案】4厘米或9厘米 【分析】本题考查了相似多边形，解一元二次方程，掌握相似图形的对应边成比例是解题关键．根据相似的性质，得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形，厘米，厘米， ∴厘米，厘米， ∴，                ∵矩形矩形相似， ∴（相似图形的对应边成比例）， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4厘米或9厘米． 重难点06 相似三角形的判定 47．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等，即可得到，且相似比为1；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，且相似比为1；故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 48．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 49．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 50．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 51．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 52．在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 53．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 54．如图，在中，已知，，请在的边上找一点，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂直平分线，等边对等角；作的垂直平分线交于点，则，得出，进而证明． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，点即为所求， 证明：∵，， ∴， 根据作图可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 55．如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 重难点07 相似三角形的性质 56．如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到，由，得到，即可判断①；由勾股定理可得，证明，得到，可判断③；证明，得到，证得，可判断②；证明，得到，根据勾股定理求出，得到，证明，得到，可判断④；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上，结论正确的有①②③，共个． 故选：C． 57．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． 58．如图，在中，点D、E分别在、边上，连接，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的性质，先根据比例性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，解得， 故答案为：5． 59．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 60．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 61．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 62．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． (3)， 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∴． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：，． 重难点08 相似三角形的应用 63．如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 64．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D，根据A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，进而得到AC=2，BC=4，再证Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，设AE=x，则有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，则C点坐标可求，再根据AB扫过的面积为20，求得，可知△ABC向右平移了5个单位，则问题得解． 【详解】平移后的效果如图，连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D， 根据平移的性质可知AA1=BB1，且， 即有四边形是平行四边形． ∵CE⊥x轴，BD⊥CE， ∴∠D=∠CEA=90°， 根据对称的性质可知△AOB≌△ACB， ∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC， ∵A(-2，0)、B(0，4)， ∴OA=2，OB=4， ∴AO=AC=2，OB=BC=4， ∵∠ACB=90°=∠D， ∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°， ∴∠ACE=∠CBD， ∴Rt△DBC∽Rt△ECA， ∴， 设AE=x，则有CD=2x， ∴OE=AO+AE=2+x， ∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB， ∴四边形OBDE是矩形， ∴BD=OE，即BD=2+x， ∵， ∴， ∴在Rt△ACE中，， ∴有，解得，（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴C点坐标为， 根据平移的性质可知直线AB扫过的图形为是平行四边形， ∴根据题意有， ∵， ∴， ∴， ∴可知△ABC向右平移了5个单位， ∴C也向右平移了5个单位才得到C1， ∴即， ∴C1点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键． 65．如图，已知，若，，则 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 66．如图，小明想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，经测得落在地面上的影长为米，落在墙上的影高为米，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用物长：影长定值，构建方程解决问题，过作于，首先证明四边形为矩形，可得，，设，则，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于． ，， ， 四边形为矩形， ， ， 设 ， 则， 解得：． 故旗杆高 米．   答：旗杆的高度为米． 67．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学方面取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．求山高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知可知，即得，，得到，，进而可得，求出再代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 答：山高为． 68．某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 重难点09 图形的位似 69．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 70．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 71．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查求位似图形的位似比，根据位似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 72．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 73．如图，已知线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内的位似变换．掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可解答． 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为、且以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴点B与点D是对应点，且点D的坐标为，即． 故答案为． 74．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； (2)以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于x轴对称的点，，分，依次连接即可解答； （2）延长到，使，延长到，使，延长到，使，即可解答； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：点的坐标为． 75．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (2)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． （1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据相似比等于位似等于相应线段之比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的相似比是位似比为， 故答案为：． 76．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3)和是位似图形，理由详解，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； （2）解：如图所示，即为所求图形， ∵， ∴，即； （3）解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $