第3章 图形的相似（复习讲义）数学湘教版九年级上册

第三章 图形的相似（复习讲义） 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3. 通过具体实例认识图形的相似，进一步积累认识图形性质的经验。了解相似多边形和相似比。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 比例的基本性质 如果 ，那么ad=bc 如果ad=bc，a，b，c，d为非零实数，那么 由乘积式得出比例式错误 比例线段 线段的比就是它们长度的比 在四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 成比例的线段有顺序 黄金分割 将一条线段AB分成不相等的两部分， 使较短线段CB与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比 比例关系混淆 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例 当直线上的点比较多时，不能灵活选用所需要的线段的比 相似多边形 对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的对应边的比叫做相似比 不能准确的找到对应角和对应边 相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似 不能灵活选用判定定理 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比相似三角形对应边上的中线的比等于相似比相似三角形的面积的比等于相似比的平方 相似三角形面积的比忘记把相似比平方 位似 取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G’上的点P’，且满足 ①直线PP’经过点O②，其中k是非零常数，当k＞0时，点P’在射线OP上，当k＜0时，点P’在射线OP的反向延长线上。那么称图形G与图形G’是位似图形，点O叫做位似中心，常数k叫做位似比。 作图时忘记两种情况 题型一 比例的基本性质 【例1】已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考察比例的基本性质：如果 ，那么ad=bc；如果ad=bc，a，b，c，d为非零实数，那么 解：由， 可得， 整理得， 所以的值为，故选D． 【变式1-1】已知，，则下列比例式成立的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据比例的基本性质：如果 ，那么ad=bc；如果ad=bc，a，b，c，d为非零实数，那么 A选项正确。B、C选项不能得出。D选项.故选A 【变式1-2】若：：，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由：：知， 所以． 所以由得到：， 解得． 所以． 所以． 故选：． 【变式1-3】若均不为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设， 则，，， 所以，， 故选． 本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更简便． 题型二 比例线段 【例2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】在四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 ∵线段，，，是成比例线段 ∴ ∵，， ∴d=10m 【变式2-1】在比例尺为的地图上，相距的，两地的实际距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，两地的实际距离时xcm 根据图上距离：实际距离=比例尺 得x=100000×15=1500000（cm）=15（km）故选C 【变式2-2】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”如图，为的黄金分割点，若，则的长为          结果保留根号 【答案】  【解析】∵为的黄金分割点 ∴ 设BC的长为xcm. 解得x= 即BC长为 cm 题型三 平行线分线段成比例 【例3】如图，直线，若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ∵AC=3，AE=7 ∴CE=AE-AC=4 ∵ ∴ 【变式3-1】如图，在中，点在边上，过点作，交于点若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例 ， 故选A． 【变式3-2】如图，在中，点分别是边上的点，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查平行线分线段成比例．由得，故，再根据得． 解： ． 故选：． 题型四 相似多边形的性质和判定 【例4】34.如图，在边长为的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】相似多边形的对应边的比叫做相似比。 解：由题意得，，，，，，，，， ， 四边形和四边形的相似比是， 故选；． 【变式4-1】（2025甘肃平凉中考）15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和 为 ． 【答案】195 【解析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3：1， ∴大风筝两条对角线的长分别为30cm×3=90cm和35cm×3=105cm， ∴大风筝两条对角线长的和为195cm， 故答案为：195． 【变式4-2】如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则          ． 【答案】  【解析】相似多边形的对应边成比例 解：矩形中，由折叠而得， 四边形是正方形． 又， ． 设，则． 四边形与矩形相似， ，即 解得（负值舍去． ． 故答案为 【变式4-3】如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似． 【答案】证明  四边形是正方形， ，． 又，， ，且，， ， 又， 四边形为正方形， 易证所有的正方形都相似， 四边形与四边形相似． 【解析】见答案 题型五 相似三角形的判定 【例5】如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意； D.两三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 【变式5-1】如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 四边形是平行四边形， 为的中点， ，∽， ，故选B． 【变式5-2】如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且． 求证：∽． 【答案】证明：四边形为正方形， ，． ， ， ， ∽． 【解析】本题考查了相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。 【变式5-3】如图，已知：，，，，． 求证：∽． 【答案】证明：，，，． ，， ， ， ∽．  【解析】本题考查了相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 【变式5-4】如图，已知点D，E，F分别是ABC三边的中点，求证：EDF∽ACB A F E D C B 【答案】∵点D，E，F分别是ABC三边的中点 ∴DE=AC，DF=BC，EF=AB ∴ ∴EDF∽ACB 【解析】本题考查了相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似。 题型六 相似三角形的性质 【例6】如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。相似三角形的对应边成比例。 先判断四边形为平行四边形得到，再利用相似三角形的判定与性质，得到，然后利用比例性质得到，从而可得到的长． 解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ∽ ， ：：， ：：， ， ． 故选：． 【变式6-1】如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】相似三角形的面积的比等于相似比的平方 解：， ∽， ， ． ，即， ． 故选：． 【变式6-2】如图，在中，点和点分别为，上的点，且，，平分，平分，若，则           ． 【答案】  【解析】相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 ， ∽， 又为的角平分线，为的角平分线， ，即， ． 【变式6-3】如图，∽，，分别为，的中点已知，，，求的长． 【答案】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 解：∽，，分别为，的中点， ． ． ．  【解析】见答案． 【变式6-4】如果两个相似三角形的对应高的比为，较小三角形的面积为平方米，那么较大三角形的面积为          平方米． 【答案】  【解析】相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 由题意可知两个相似三角形的相似比是， 两个相似三角形的面积比是， 又较小三角形的面积为平方米， 所以较大三角形的面积为平方米． 题型七 相似三角形的判定和性质综合题 【例7】如图，在矩形中，已知在边上取点，连接过点作，与边的延长线交于点． 求证：∽ 若，，，求的长． 【答案】证明：四边形是矩形， ， ． ， ， F. ∽． ∽， ． ，，， ， ． 【解析】本题考查相似的判定和性质。 【变式7-1】如图，▱中，，交于点． 求证：∽ 求与的周长之比 如果的面积为，求的面积． 【答案】解：证明：四边形是平行四边形， ． ∽． 四边形是平行四边形， ． ， 设，则，． ∽， ． 与周长之比为． ∽， ． ， 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质 【变式7-2】如图，在中，平分交于点，过点作交于点． 求证： 若，，，求的长． 【答案】解：证明：平分， ． ， ， ， ． ， ∽， ， ， ． ，， ， ∽， ， 即， ． 【解析】见答案． 题型八 位似 【例8】如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是或， 即或． 故选：． 【变式8-1】（2025广东中考）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】 【解析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案。解：把放大后得到，则与位似， ∴与的相似比为， 故答案为： 【变式8-2】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D  【解析】连接图形中两组对应点所在直线的交点即为位似中心， 故选D． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． 向左平移个单位，向上平移个单位，请画出平移后的； 以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为：； 若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． 如图所示，点即为所求，其坐标为．  【解析】本题主要考查作图平移变换、位似变换作图，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质． 将三个顶点分别向左平移个单位，向上平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； 延长、到、，使，，连接即可； 直线、、的交点即为所求． 题型九 相似的实际应用 【例9】如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为，光源到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为  A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图所示，， ∽，， 设屏幕上的图形高是，则， 解得． 故屏幕上图形的高度为． 【变式9-1】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，，且测得，，，那么该古城墙的高度是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据题意得，，，， ∽，，即，解得：． 答：该古城墙的高度为故选：． 【变式9-2】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下处前进米到达处时，测得影子长为米，已知小明身高米，他若继续往前走米到达处，此时影子长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B  【解析】解：如图，由题意，， ∽， ，即， 解得米， ， ∽， ，即， 解得米，且适合此方程． 故选B． 【变式9-3】如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果，且量得，则零件的厚度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，∽，，某零件的外径为，零件的厚度为故选B． 基础巩固通关测 一、选择题 1.下面几对图形中，相似的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】相似图形的形状相同． ，，三个选项中的图形形状不同，不相似，选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：． 2.如果，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】、两边同除以得，此项正确，不符题意； B、两边同除以得，此项正确，不符题意； C、由两边同加以得，此项正确，不符题意； D、由得，与已知等式不符，此项不正确，符合题意； 故选：． 3.下列四组线段中，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D  【解析】，故选D 4.如图，为线段的黄金分割点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】为线段的黄金分割点，，故选：． 5.已知，直线和分别交于点、、和点、、若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，故选B． 6.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则的值为            【答案】  【解析】由两个枫叶图案相似，可得，解得，故答案为． 7.小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形阴影部分与相似的依据是(    ) A. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B. 三边成比例的两个三角形相似 C. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D. 相似三角形的三个角分别相等 【答案】C  【解析】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：． 8.如图，在中，，于点，，，，则的长是 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，， ， ，， ，， 又， ∽，， 即， 解得：． 9.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则(    ) B1 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ：：， 又：：， ：：． 10．（2025河北中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定MAE∽DCN，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、∵∠B+∠4=180°，∴CD∥BM，∴∠CDN=∠AME， ∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND， ∴MAE∽DCN，故A不符合题意； B、∵CD∥AB，∴∠CDN=∠AME， ∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND， ∴MAE∽DCN，故B不符合题意； C、∵AE∥BC，∴∠1+∠B=180°，∵∠1=∠4，∴∠B+∠4=180°， ∴CD∥BM，∴∠CDN=∠AME， ∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND， ∴MAE∽DCN，故C不符合题意； D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明MAE∽DCN，故D符合题意； 故选：D． 11.如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为，则的周长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：和是位似图形，位似比为， 和的相似比为， 的周长的周长， 12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【解答】解：，，∽， ，即，解得：，， ，，即树高故选：． 二、填空题 13.若，则          ． 【答案】  【解析】设，则，，则． 14.如图，和相交于点，请你添加一个条件          ，使得∽． 【答案】答案不唯一 ） 【解析】，，∽故答案为答案不唯一． 15.如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，   ， ∽，   ， ，解得  四边形是平行四边形， ． 故选B． 16.如图，在▱中，点在上，且，则          ． 【答案】  【解析】设，则，． 四边形是平行四边形， ，， ∽， ， ，， ，， ， ， ． 17.已知矩形的两边长分别为和，把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则          ． 【答案】  【解析】原矩形的长为，宽为， 小矩形的长为，宽为． 小矩形与原矩形相似， ， 负值舍去． 三、解答题 18.如图，点，分别在正方形的边，上，，，求证：∽． 【答案】证明：，，，四边形是正方形，，，，∽．  【解析】略 19.如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且B. 求证：∽ 若，，，求的长． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，  ，  ，， ，  ∽． 四边形是平行四边形，  ， ∽， ，  ．  【解析】见答案 20.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． 画出关于轴对称的； 画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为：； 求以、、、四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，， 关于轴对称的如图所示； ，，，点为位似中心，位似比为： 位似变化对应点的坐标为，，， 作图，如图所示； 根据题意，得 ． 【解析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，分割法求图形的面积，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． 21.如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】解：四边形与四边形相似． 由已知条件知，， ，， ，且 ， 所以四边形与四边形相似．  【解析】见答案 22.求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”． 例：已知，求的值． 方法设，则，，所以． 方法由，得，代入，得． 方法取，，，则． 参考上面的资料解答下列问题：已知，，为的三条边，且，． 求，，的值 判断的形状． 【答案】解：设，，， 则 解得 ， ． ． ，，． ，， ． 是直角三角形．  【解析】见答案． 23.在中，为边上一点．               图                     图                            图 如图，若，求证： 若为的中点，． 如图，若，，求的长 如图，若，，直接写出的长． 【答案】证明：，， ∽． ． ． 作交的延长线于点． ． ， ． 又， ∽． ． ． 为的中点，， ． 设，则，， ， 解得，不合题意，舍去． ． ．  【解析】见答案． 能力提升进阶练 一、选择题 1.不为的四个实数，，，满足，改写成比例式错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据比的性质，可得：、，故A正确； B、，故B正确； C、，故C正确； D、，故D错误； 2.若，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】∵∴y=3x ∵2y=3z ∴z==2x ∴= 3.在和中，，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 A. ， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C  【解析】A.相似：，，，， ，∽； B.相似：，，，， ，，∽； C.有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； D.相似：由题意，，可得， ，， ，， ，∽． 4.如图，在中，，，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，∽，，，的值为，故选 B． 5.一个四边形各边长为，，，，另一个和它相似的四边形最短边为则四边形的最长边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设四边形最长边长为， 四边形相似四边形， ， 解得， 故选：． 6.如图，∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【解答】解：∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，，，，，，解得：故选：． 7.如图，六边形与六边形是位似图形，为位似中心，，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】六边形与六边形是位似图形， 六边形∽六边形，， ∽， ， ， ． 故选D． 8.已知，是线段上的点，且，那么：的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】设为，为，则为，，解得，舍去：故选：． 9.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A  【解析】解：由题意知，点是的黄金分割点， 且，，则， ， ， 故选：． 10.如图，中，、在边上，、在边上，，且，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 11.如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由，可以假设，则，． 四边形是平行四边形， ，，， ，． 平分，， ， ，， ． ，∽， 故选C． 12.如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ，． ． 是的高， ，． 四边形是矩形． ． ， 相似三角形对应边上的高的比等于相似比． ， ． ， 解得． ． 故选：． 二、填空题 13.已知，则的值为 。 【答案】 【解析】， ，  ， ， 14.已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 。 【答案】12 【解析】解：两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为， 较大的一个多边形的周长为， 15.如图，在中，是边上的一点，若，，，的面积为，则的面积为 。 【答案】3 【解析】，， ∽， ． ， ， 16.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 。 【答案】 【解析】与是位似图形，点的对应点为，与的相似比为，点的对应点的坐标为，即 17.图中的两个四边形相似，则          ，          ． 【答案】 【解析】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以：：：， 解得，， 则． ． 故答案为，． 18.（2025山东烟台中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】（-2，） 【解析】本题考查了位似的性质，位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比． 解：依题意，， ∴A2P=2A1P=5，A3P=2A2P=10， 设直线AP的解析式为y=kx+b（k≠0），代入（6，），（4，3） ∴解得： ∴y=- 设 ∴ 解得： ∴（-2，） 故答案为：（-2，） 三、解答题 19.如图，在平面直角坐标系中，四边形的坐标分别为，，，． 画出一个四边形，使四边形与四边形是以原点为位似中心，位似比为的位似图形 直接写出点的坐标：          ，          ，          ，          ． 【答案】解：如图所示，四边形即为所求作． ．         【解析】见答案． 20.如图，在中，在上，，． 求证： 若，求的值． 【答案】证明：，， ，，， ， ． ， ． ． 【解析】见答案 21.如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】解：四边形与四边形相似、 理由：点，分别是，的中点， ，． ，． 同理，，． ，． 同理，，，，， 四边形与四边形相似．  【解析】见答案 22.如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点． 请根据以上材料，回答下列问题： 如图，若，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则          ； 如图，若数轴上有，，，四个点，它们分别对应的实数为，，，，且，，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值． 【答案】解： 点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，， ， ， ． 由题意可知，，， 在数轴上，，， ，，，且 当时，， ， ， 同理，可求得， 当时，， ， ， 同理，可求得， ． 的值为或． 【解析】见答案 23.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． 当点在线段上时，如图，求证：∽ 当点在线段的延长线上时，如图，和是否相似说明理由 在的条件下，若，，求的长． 【答案】证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ． ， 即， ， ， 又， ∽． ∽． 理由如下： ， 即， ， ． 又， ∽． ∽， ． 的顶点与的斜边的中点重合， ， ， 负值舍去， ， 在中， ，，， ， ， ， 在中， ． 【解析】见答案． 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似（复习讲义） 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3. 通过具体实例认识图形的相似，进一步积累认识图形性质的经验。了解相似多边形和相似比。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 比例的基本性质 如果 ，那么ad=bc 如果ad=bc，a，b，c，d为非零实数，那么 由乘积式得出比例式错误 比例线段 线段的比就是它们长度的比 在四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 成比例的线段有顺序 黄金分割 将一条线段AB分成不相等的两部分， 使较短线段CB与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫做黄金分割比 比例关系混淆 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例 当直线上的点比较多时，不能灵活选用所需要的线段的比 相似多边形 对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的对应边的比叫做相似比 不能准确的找到对应角和对应边 相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似 不能灵活选用判定定理 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比相似三角形对应边上的中线的比等于相似比相似三角形的面积的比等于相似比的平方 相似三角形面积的比忘记把相似比平方 位似 取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G’上的点P’，且满足 ①直线PP’经过点O②，其中k是非零常数，当k＞0时，点P’在射线OP上，当k＜0时，点P’在射线OP的反向延长线上。那么称图形G与图形G’是位似图形，点O叫做位似中心，常数k叫做位似比。 作图时忘记两种情况 题型一 比例的基本性质 【例1】已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 【变式1-1】已知，，则下列比例式成立的是  (    ) A. B. C. D. 【变式1-2】若：：，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 【变式1-3】若均不为，则(    ) A. B. C. D. 题型二 比例线段 【例2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则(    ) A. B. C. D. 【变式2-1】在比例尺为的地图上，相距的，两地的实际距离是(    ) A. B. C. D. 【变式2-2】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”如图，为的黄金分割点，若，则的长为          结果保留根号 题型三 平行线分线段成比例 【例3】如图，直线，若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】如图，在中，点在边上，过点作，交于点若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【变式3-2】如图，在中，点分别是边上的点，，若，则等于(    ) A. B. C. D. 题型四 相似多边形的性质和判定 【例4】34.如图，在边长为的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是(    ) A. B. C. D. 【变式4-1】（2025甘肃平凉中考）15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和 为 ． 【变式4-2】如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则          ． 【变式4-3】如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似． 题型五 相似三角形的判定 【例5】如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 A. B. C. D. 【变式5-1】如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【变式5-2】如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且． 求证：∽． 【变式5-3】如图，已知：，，，，． 求证：∽． 【变式5-4】如图，已知点D，E，F分别是ABC三边的中点，求证：EDF∽ACB A F E D C B 题型六 相似三角形的性质 【例6】如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【变式6-1】如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【变式6-2】如图，在中，点和点分别为，上的点，且，，平分，平分，若，则           ． 【变式6-3】如图，∽，，分别为，的中点已知，，，求的长． 【变式6-4】如果两个相似三角形的对应高的比为，较小三角形的面积为平方米，那么较大三角形的面积为          平方米． 题型七 相似三角形的判定和性质综合题 【例7】如图，在矩形中，已知在边上取点，连接过点作，与边的延长线交于点． 求证：∽ 若，，，求的长． 【变式7-1】如图，▱中，，交于点． 求证：∽ 求与的周长之比 如果的面积为，求的面积． 【变式7-2】如图，在中，平分交于点，过点作交于点． 求证： 若，，，求的长． 题型八 位似 【例8】如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【变式8-1】（2025广东中考）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【变式8-2】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． 向左平移个单位，向上平移个单位，请画出平移后的； 以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为：； 若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 题型九 相似的实际应用 【例9】如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为，光源到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为  A. B. C. D. 【变式9-1】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，，且测得，，，那么该古城墙的高度是(    ) A. B. C. D. 【变式9-2】如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下处前进米到达处时，测得影子长为米，已知小明身高米，他若继续往前走米到达处，此时影子长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【变式9-3】如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果，且量得，则零件的厚度为(    ) A. B. C. D. 基础巩固通关测 一、选择题 1.下面几对图形中，相似的是(    ) A. B. C. D. 2.如果，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列四组线段中，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4.如图，为线段的黄金分割点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.已知，直线和分别交于点、、和点、、若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则的值为            7.小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形阴影部分与相似的依据是(    ) A. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B. 三边成比例的两个三角形相似 C. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D. 相似三角形的三个角分别相等 8.如图，在中，，于点，，，，则的长是 A. B. C. D. 9.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则(    ) B1 A. B. C. D. 10．（2025河北中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定MAE∽DCN，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 11.如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为，则的周长是(    ) A. B. C. D. 12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 13.若，则          ． 14.如图，和相交于点，请你添加一个条件          ，使得∽． 15.如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为          . 16.如图，在▱中，点在上，且，则          ． 17.已知矩形的两边长分别为和，把它按如图所示的方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则          ． 三、解答题 18.如图，点，分别在正方形的边，上，，，求证：∽． 19.如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且B. 求证：∽ 若，，，求的长． 20.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． 画出关于轴对称的； 画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为：； 求以、、、四个点为顶点构成的四边形的面积． 21.如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 22.求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”． 例：已知，求的值． 方法设，则，，所以． 方法由，得，代入，得． 方法取，，，则． 参考上面的资料解答下列问题：已知，，为的三条边，且，． 求，，的值 判断的形状． 23.在中，为边上一点．               图                     图                            图 如图，若，求证： 若为的中点，． 如图，若，，求的长 如图，若，，直接写出的长． 能力提升进阶练 一、选择题 1.不为的四个实数，，，满足，改写成比例式错误的是(    ) A. B. C. D. 2.若，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 3.在和中，，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 A. ， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4.如图，在中，，，，则的值是  (    ) A. B. C. D. 5.一个四边形各边长为，，，，另一个和它相似的四边形最短边为则四边形的最长边长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，六边形与六边形是位似图形，为位似中心，，则为(    ) A. B. C. D. 8.已知，是线段上的点，且，那么：的值是(    ) A. B. C. D. 9.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 10.如图，中，、在边上，、在边上，，且，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 12.如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 13.已知，则的值为 。 14.已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 。 15.如图，在中，是边上的一点，若，，，的面积为，则的面积为 。 16.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 。 17.图中的两个四边形相似，则          ，          ． 18.（2025山东烟台中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 三、解答题 19.如图，在平面直角坐标系中，四边形的坐标分别为，，，． 画出一个四边形，使四边形与四边形是以原点为位似中心，位似比为的位似图形 直接写出点的坐标：          ，          ，          ，          ． 20.如图，在中，在上，，． 求证： 若，求的值． 21.如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 22.如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点． 请根据以上材料，回答下列问题： 如图，若，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则          ； 如图，若数轴上有，，，四个点，它们分别对应的实数为，，，，且，，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值． 23.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． 当点在线段上时，如图，求证：∽ 当点在线段的延长线上时，如图，和是否相似说明理由 在的条件下，若，，求的长． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $