4.3.1 ～4.3.2等比数列的概念及通项公式（七大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.3.1 ~4.3.2等比数列的概念及通项公式 题型一：等比数列的定义 1．已知等比数列的公比为则“0<<1"是“<0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 3．（22-23高二上·江苏盐城·期末）对于数列，若集合为有限集，则称数列为“好数列”.若“好数列”满足，则 ． 题型二：等比中项及其应用 4．（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知公差为负数的等差数列的前项和为，若，，是等比数列，则当取最大值时，（    ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等比数列满足，，则 . 8．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 10．（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 11．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 题型三：等比数列通项公式的基本量计算 12．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C．16 D．32 13．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）记为数列的前项和．若，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列是等比数列，若，，则 ． 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则 ． 题型四：等比数列下标和性质及应用 20．（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 22．（22-23高二上·江苏南京·期末）等比数列中，则 . 23．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列满足，则 . 24．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 题型五：等比数列与函数关系 25.（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 26．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 27．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．若数列为等差数列，则数列也是等差数列 D．若，则数列是等差数列 题型六：求等比数列的通项公式 29．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，，，，按照此规律，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 32．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ． 33．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．求数列的通项公式； 题型七：综合解答题 34．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在数列中，， (1)求证是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 35．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 36．（24-25高二上·江苏南通·期末）设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 37．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 38．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 39．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．81 D． 2．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ） A．180 B．198 C．189 D．168 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列首项不为0，，则下列叙述正确的有（   ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等比数列 C．若且，则数列前10项和为5 D．不存在实数m，使得恒成立 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为 . 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 11．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则 ． 四、解答题 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 14．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是以2为公差的等差数列，且成等比数列，记数列的前n项和为． (1)求； (2)设数列对，有，求； 15．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”. (1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式； (2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 ~4.3.2等比数列的概念及通项公式 题型一：等比数列的定义 1．已知等比数列的公比为则“0<<1"是“<0”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：，即， 若，则， 推不出0<<1，充分性不成立， 必要性：当0<<1时，则， 若，则，推不出，即， 所以既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（多选）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 3．（22-23高二上·江苏盐城·期末）对于数列，若集合为有限集，则称数列为“好数列”.若“好数列”满足，则 ． 【答案】0,1,2 【详解】由可得， 当即时，所以，，， 此时，满足，故此时数列为“好数列”； 当即，则，，， 由可得， 当时，有， 而， 若即即或，此时， 故即，此时数列为“好数列”； 若，此时，故， 故，因且， 故诸均相异，故此时数列不为“好数列”； 综上所述，， 故答案为：0,1,2. 题型二：等比中项及其应用 4．（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【详解】与的等比中项，即48与12的等比中项， 则与的等比中项为． 故选：C． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等差数列的公差为，所以， 因为，，成等比数列，所以，解得， 所以. 故选：B 6．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知公差为负数的等差数列的前项和为，若，，是等比数列，则当取最大值时，（    ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，，是等比数列， 即，得，解得， 则， 显然等差数列单调递减，当时，，当时，， 所以当取最大值时，. 故选：B 7．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知等比数列满足，，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，解得. 故答案为：. 8．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 【答案】 【详解】对于方程，， 设等比数列的公比为，则，即、同号， 由韦达定理可得，则、均为负数，，， 由等比中项的性质可得，. 故答案为：. 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 .. 【答案】 【详解】设双曲线的焦距为，由题意得，即， 所以，两边同除以， 得，解得，又，所以. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 【答案】96 【详解】令的公差为，由题设， 且为等差数列且公差为，则， 由成等比数列，则， 所以且m为正整数，，可得，，则， 所以. 故答案为：96 11．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 【答案】5 【详解】因为，所以是与的等比中项，则， 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 综上所述：. 故答案为：5. 题型三：等比数列通项公式的基本量计算 12．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【详解】由可得，故，故， 故选：D 13．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 【答案】B 【详解】由题意得. 故选：B. 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）记为数列的前项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，解得， 对于，由和，相减得：， 故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：， 因此，. 故选：C. 16．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列是等比数列，若，，则 ． 【答案】8 【详解】设等比数列的公比为， 由题意，解得，所以． 故答案为：8 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 故答案为：512 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则 ． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 因为为等比数列，且各项都是正数，设公比为， 所以，即， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 题型四：等比数列下标和性质及应用 20．（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【详解】由等比数列的性质知. 故选：C 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】D 【详解】由等比数列性质可得，即，解得. 故选：D 22．（22-23高二上·江苏南京·期末）等比数列中，则 . 【答案】4 【详解】由题可得，， 所以. 故答案为：4. 23．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，由， 所以，， 由，，知均为负数， 所以等比数列中偶数项均为负，即 故答案为：. 24．（24-25高二上·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【答案】 【详解】 等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 题型五：等比数列与函数关系 25.（22-23高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为各项为正数，且，所以，即， 所以为递增数列，充分性成立， 若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立. 故选：C 26．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【详解】，故，故A错误. 因为，或， 而，且，结合可得， 故，故B错误. 因为，，故，故的无最大值，故C错误. 因为，，，故， 故，，故最大值，故D正确. 故选：D. 27．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】等比数列的各项均为正数，，， ， ，若，则一定有，不符合， 由题意得，，，故AB正确， ，， ，，故C正确，D错误， 故选：ABC． 28．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．若数列为等差数列，则数列也是等差数列 D．若，则数列是等差数列 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则当时，，当时，， 所以数列的前5项和最大，A正确； 对于B，当时，数列是等比数列，并且是递减数列， 但其公比，不满足，所以B错误； 对于C，若数列为等差数列，则，其中为常数， 即，所以当时，， 当时，， 综合得：， 因为常数，所以数列也是等差数列，C正确； 对于D，若，则， 当时，，两式相减得： ，即①， 于是②， 由②-①，得：， 因为，所以， 因此，数列是等差数列，D正确. 故选： 题型六：求等比数列的通项公式 29．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，则，且， 所以，又， 因为， 当且仅当即时，等号成立，此时， 所以数列的通项公式为． 故选：B 30．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，，，，按照此规律，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以， 所以， 故选：A. 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 32．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列的公比不为，，且，，成等差数列，则 ． 【答案】 【详解】根据题意得 ，， 且， 解得，，； 故答案为： . 33．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．求数列的通项公式； 【详解】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. 题型七：综合解答题 34．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在数列中，， (1)求证是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 【详解】（1）因为，所以， 且，， 故数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 可得，即. （2）由上问知， 所以 35．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. （2）令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 36．（24-25高二上·江苏南通·期末）设数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项; (3)是否存在正整数p，q，且，使得，，成等差数列?若存在，求p，若不存在，说明理由. 【详解】（1）①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由，解得， 所以， 所以数列的最大项为 （3）由，，成等差数列，得 因为，所以，所以 又，， 显然，不成立， ，不成立， 所以，若p存在，或 当时，，即， 当时，，即 而， 根据数列的单调性，当时，，所以q无解. 综上，存在，，使得，，成等差数列. 37．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【详解】（1）当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． （2）当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3）由（2）得：，所以. 38．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：. 【详解】（1）依题意得，且，化简得， 解得； （2）， 则 39．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．81 D． 【答案】A 【分析】利用该性质找到与、的关系，再结合等比数列奇数项或偶数项符号相同来确定的值. 【详解】在等比数列中，根据等比数列性质，即. 已知，，那么. 由，可得. 因在等比数列中，偶数项的符号相同，，，所以，故. 故选：A. 2．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ） A．180 B．198 C．189 D．168 【答案】A 【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和. 【详解】设递增等差数列的公差为，则， 且是，的等比中项， ， 解得， 第4项到第11项的和为 所以， 即数列的第4项到第11项的和为180. 故选：A． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】由于，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘“1”法和均值不等式得到不能取等号，然后设，构造函数结合对勾函数的单调性以及和求的结果； 【详解】由题意，结合等比数列的性质可得， 则， 当且仅当时等号成立，又，所以， 因为，所以等号取不到， 设，则， 设函数，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由以上可得不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时， 以及，此时， ，， 因为，所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列首项不为0，，则下列叙述正确的有（   ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则数列是等比数列 C．若且，则数列前10项和为5 D．不存在实数m，使得恒成立 【答案】AC 【分析】根据等差数列的概念判断A的真假；根据等比数列的概念判断B的真假；利用分组求和法判断C的真假，研究成立的条件判断D的真假. 【详解】对A：当时，，，则， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，故A正确； 对B：当时，， （，则） 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 但是这是在的条件下成立的，而条件并没有，故B不正确； 对C：当时，，则， 所以，所以，故C正确； 对D：因为， 所以， ， 所以. 若恒成立，且，则存在，使得恒成立， 因为的值变化，所以， 即当时，恒成立，故D错误. 故选：AC 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的首项，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是以5为首项，4为公差的等差数列 B．若是公差为2的等差数列，则是以9为首项，3为公比的等比数列 C．若是公比为3的等比数列，则是以8为首项，3为公比的等比数列 D．若是公比为3的等比数列，则是以为首项，1为公差的等差数列 【答案】AD 【分析】由等差数列，等比数列的通项公式逐项判断即可； 【详解】对于A：易得，所以，即以5为首项，4为公差的等差数列，正确； 对于B：易得，所以，是以9为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于C：易得，所以，是以12为首项，9为公比的等比数列，错误； 对于D，易得，所以，以为首项，1为公差的等差数列，正确； 故选：AD 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】BCD 【分析】举出反例可得A；设出公比，借助等比数列性质计算可得B；借助等差数列的性质及等比数列的定义即可得C、D. 【详解】对A：假设，则， 此时不是等差数列，故A错误； 对B：设数列的公比为，则， ，故， 故是等比数列，故B正确； 对C：由题意可得，又，， 故，故是等比数列，故C正确； 对D：由题意可得，即，即， 又，，故， 故是等比数列，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）若将公比不为1的等比数列，，调整顺序后为等差数列，则的一个值为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据等比数列的通项公式列出调整顺序后的数列满足等差数列的等式，进而求出公比的值. 【详解】设等比数列为，调整顺序后为等差数列有以下几种可能情况： 情况一：为等差数列， 根据等差数列性质，， 因为（等比数列首项不为），得到， 解得或，因为，所以， 情况二：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 情况三：为等差数列， 则，得，解得或，因为，所以， 综上所得，的一个值为或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的基本性质可得出，要使得取最小值，则，从而得出，对的取值进行分类讨论，验证是否为整数，求出的值，即可求得的最小值. 【详解】因为是各项均为整数的等比数列，且， 即，即，故， 设等比数列的公比为，则，则、同号，同理可知、同号， 要使得取最小值，则，所以， 因为，则有，此时，不合乎题意； 或，此时，合乎题意，此时； 或，此时，合乎题意，此时. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，求出、，根据题意可得出，可得出、的等量关系，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 因为、、成等比数列，则，则， 所以，，可得， 又因为，则，则，则， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 12．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【答案】(1), (2)11302 【分析】（1）根据数列是公比为4的等比数列，满足，，成等比数列，得到，根据题意得到，计算， （2）设，得到，数列的前105项中有5项需要剔除，计算得到答案. 【详解】（1）数列是公比为4的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足. 故. （2）令，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 故数列的前100项和为. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）先将绝对值数列分类讨论拆分，再求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 14．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是以2为公差的等差数列，且成等比数列，记数列的前n项和为． (1)求； (2)设数列对，有，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项结合等差数列基本量的求解即可得首项，由等差求和公式即可求解， （2）根据作差法可得时，即可利用裂项相消法求解和. 【详解】（1）由题意可得，所以，解得， 所以， （2）， 由得：当时，， 两式相减可得，所以， 当时，， 从而 15．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”. (1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式； (2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题干所给不等式可求出的范围，在根据，得出，进而求出 （2）通过判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出， 同理判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出的范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由，得. 由题意得，对均成立， 当时，上式成立.当时，，又， 等差数列的通项公式为. （2）等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，， . 在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知， 要对恒成立，只需.又，即. ，，，，，. 当，时，，则. 令. 数列为递增数列，即. 若数列是“数列”，则对任意的都有， 即对任意的恒成立 ，即，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $