15.2线段的垂直平分线(教学课件)数学沪科版2024八年级上册

该初中数学课件围绕线段垂直平分线展开，系统讲解作图方法（度量法、尺规作图）、性质定理（垂直平分线上的点到两端距离相等）及判定定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上），通过问题驱动导入，从作图操作到原理探究再到性质验证，构建完整知识脉络。 其亮点在于以探究活动贯穿始终，如引导学生思考尺规作图原理、验证性质定理，培养数学眼光中的探究意识。通过严谨的全等推理（如SAS证性质、HL证判定）发展数学思维中的推理能力，结合几何语言规范表达与实际应用（如停靠站选址），提升数学语言的精确性与应用意识。学生能深化理解，教师可高效教学。

15.2 线段的垂直平分线 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 沪科版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题; 能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题. 通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力. 使线段AA'的两个端点互相重合， A’ 问题：怎样作出线段的垂直平分线？ A (A') 折叠法 方法一： 就是线段AA'的垂直平分线. 通过折纸， 得到的折痕 探究新知 画垂线的方法 度量法 方法二： 用刻度尺量出线段的中点， 再用三角尺过中点 作出线段的垂直平分线 . 探究新知 问题：怎样作出线段的垂直平分线？ 大于 AB为半径 用尺规作图法，作出线段AB的垂直平分线 方法三： A B E F 作法： 1、分别以点A，B为圆心， 2、过E，F 两点作直线。 则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线. 1 2 ( 为什么？) 画弧交于E，F. 探究新知 问题：怎样作出线段的垂直平分线？ 大于 AB为半径 思考：为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交于AB于点O，你能给出证明吗？ A B E F O 作法： 1、分别以点A，B为圆心， 2、过E，F 两点作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 1 2 ( 为什么？) 画弧交于E，F. 探究新知 知识拓展：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，交点为 O，点 P 是直线 MN 上的任意一点，连接 PA，PB， 量一量：PA、PB 的长，你能发现什么？ 探究 1 M B P P P (P) O A N PA=PB 由此你能得到什么规律？ 到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线上的点 你能验证这一结论吗？ P A B M O 已知：如图，直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB， P 是 MN 上任意一点 . 求证：PA =PB． 验证结论 N 证明： ∵ MN⊥AB ∴ AO=OB 在 △AOP和△BOP 中， AO=OB ∠AOP= ∠BOP PO=PO ∴ △AOP ≌ △BOP ∴ PA=PB ∵ (SAS) (垂直的定义) (已知) (已证) (已证) (公共边) (全等三角形的对应边相等) ∵ 点 O 是线段 AB 的中点 ∴ ∠AOP= ∠BOP=90º (中点的定义) 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 定理： 垂直平分线的性质： 知识拓展： 条件： 点在线段的垂直平分线上. 结论： 这个点到线段两端点的距离相等. M B P A N 归纳总结 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 定理： 垂直平分线的性质： M B P A N 几何语言： ∴ PA=PB ∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 (线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等.) 归纳总结 知识拓展： 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 提醒：见垂直平分线，得线段相等 1、如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点.若 PA+PB=16，则线段 PB 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 B P A B C D 对应练习 2、如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线 DM 交 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线 EN 交 BC 于点 E． （1）已知 △ADE 的周长 7cm，求 BC 的长； （2）若 ∠ABC=30°，∠ACB=40°，求 ∠DAE 的度数． 解：(1) ∵DM 是 AB 的垂直平分线 ∴ DA=DB ∵ EN 是 AC 的垂直平分线 ∴ EA=EC ∵ △ADE 的周长 7cm ∴ AD+DE+AE=7cm ∴ BD+DE+EC=7cm ∴ BC=7cm 即 BC 的长为 7cm (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 2、如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线 DM 交 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线 EN 交 BC 于点 E． （1）已知 △ADE 的周长 7cm，求 BC 的长； （2）若 ∠ABC=30°，∠ACB=40°，求 ∠DAE 的度数． 变式：如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，若 AE=3，△ABD 的周长为 13，则 △ABC 的周长为（　　） A.19 B.20 C.16 D.21 A 3、如图，在 △ABC 中，DE 是边 BC 的垂直平分线，分别交边AC，BC 于点 D，E，BF⊥AC，且 F 为线段 AD 的中点． 求证：AB=CD； 证明：连接 BD ∵ BF⊥AC，F 为线段 AD 的中点 ∴ BF 垂直平分 AD ∴ AB=BD ∵ DE 是边 BC 的垂直平分线 ∴ BD=CD ∴ AB=CD 逆 命 题 它是真命题吗？你能证明吗？ 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 定理： 垂直平分线的性质： 探究新知 已知：如图，PA=PB， 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. A B P C 证明： ∴ ∠ACP=∠BCP=90° 在 Rt△ACP 和 Rt△BCP 中 ∴ Rt△ACP≌Rt△BCP ∴ AC=BC ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB 过 P 点作 PC⊥AB，垂足为 C ∵ (HL) (全等三角形对应边相等) PC=PC (公共边） ∴ PC 是线段AB的垂直平分线 验证结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 定理： 线段垂直平分线的判定 A B P 知识拓展： 条件： 点到线段两个端点的距离相等. 结论： 这个点在线段的垂直平分线上. (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵ PA =PB ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 归纳总结 (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等) 例 如图，已知 △ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上. (到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） A B C P 证明： 连接 PA，PB，PC. ∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上 ∴ PA=PB，PA=PC ∴ PB=PC (等量代换) ∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线 这点到三角形三个顶点的距离相等. 相交于一点， 三角形三边的垂直平分线的性质： 对应练习 1、在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA=PB=PC，则点 P 是 △ABC ( ) A .三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D ① 定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段. A B C D M 2、如图，AB =AC，MB =MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 解： ∵ AB =AC，MB =MC ∴ 点 A、M 在BC 的垂直平分线上 ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线． (与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 判断线段垂直平分线的两种方法： 知识拓展： ② 判定定理 ——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点 的距离相等，根据两点确定一条直线. 3、如图，AD 与 BC 相交于点 O，连接 AB、CD 并延长，相交于点 E，连接 OE、BD，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 这点到三角形三个顶点的距离相等. 归纳总结 线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. ① 性质定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ② 判定定理： A B P PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ① 定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段. 判断线段垂直平分线的两种方法： ② 判定定理 ——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点 的距离相等，根据两点确定一条直线. 三角形三边的垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线 相交于一点， 提醒：见垂直平分线，得线段相等 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 1、如图，已知 AB＝AD，BC＝DC，E 是 AC 上一点， 求证：(1) BE＝DE；(2) ∠ABE＝∠ADE. 证明： (1) 连接BD ∵ AB＝AD， ∴ 点A，C都在线段BD的垂直平分线上 ∴ AC 是线段BD的垂直平分线 又∵ 点 E 是 AC 上一点 ∴ BE＝DE BC＝CD (2) 在△ABE和△ADE中 ∵ (公共边） AE＝AE BE＝DE AB＝AD ∴ △ABE≌△ADE (SSS) ∴ ∠ABE＝∠ADE 2、已知：如图，AB=CD，线段 AC 的垂直平分线与线段 BD的垂直平分线相交于点 E. 求证：∠ABE=∠CDE． 交直线 于点C， 3、公路 同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置. 解：作AB的垂直平分线， l A村 B村 C 则点C就是停靠站的位置. 分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF， A C B 4、如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 解： 连接AB，BC， 两直线交于点M， 则点M就是所要确定的购物中心的位置. D E G F M 本节课你有什么收获？ 这点到三角形三个顶点的距离相等. 归纳总结 线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. ① 性质定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. ② 判定定理： A B P PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ① 定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段. 判断线段垂直平分线的两种方法： ② 判定定理 ——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点 的距离相等，根据两点确定一条直线. 三角形三边的垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线 相交于一点， 提醒：见垂直平分线，得线段相等 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 感谢聆听! $