章末培优01 空间向量与立体几何全章31种题型汇总（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

培优01 空间向量与立体几何31种题型 ·题型导航· 一、基础概念运算类题型 题型01·空间向量基本概念 题型02·空间向量线性运算 题型03·空间向量数量积运算（含模、夹角） 题型04·空间向量中多向量模长计算 题型05·空间向量中投影与投影向量计算 题型06·有关直线方向向量与平面法向量运算 题型07·空间向量坐标表示及运算 二、空间向量定理类题型 题型08·空间向量基本定理及应用 题型09·空间向量共线定理及应用 题型10·空间向量共面定理及应用 题型11·空间向量含共线、共面定理综合 三、位置关系判定类题型 题型12·空间向量中直线间位置关系判断及应用 题型13·空间向量中线面间位置关系判断及应用 题型14·空间向量中面面间位置关系判断及应用 四、距离计算类题型 题型15·求点到直线的距离 题型16·求点到平面的距离 题型17·求线（或平面）到平面的距离 题型18·求异面直线间的距离 五、角度计算类题型 题型19·求异面直线所成角 题型20·求直线与平面所成角 题型21·求平面与平面所成角（含二面角） 五、最值范围类题型 题型22·求模长/线段的最值或范围 题型23·求数量积的最值或范围 题型24·求距离（体积）的最值或范围 题型25·求角度的最值或范围 题型26·求参数的最值或范围 七、综合类题型（重难点） 题型27·位置、角度、距离存在性问题 题型28·平面几何折叠、展开类问题 题型29·非常规几何题（切割、组合）问题 题型30·立体几何动点轨迹类问题 题型31·空间向量新定义问题 题型01 空间向量基本概念 与空间向量基本概念有关问题的解题策略 与空间向量基本概念相关的问题，本质是 “定义为纲、性质为用、表示为桥”： 1.遇到概念辨析，先回归定义（如 “相等” 需大小 + 方向，“共线” 需线性倍数）； 2.遇到计算或判定，优先用坐标表示（将几何问题代数化，降低抽象性）； 3.遇到基底与线性表示，紧扣 “不共面” 条件，通过分解或方程求系数。只要严格遵循概念属性，避免混淆 “向量与数量”“共线与共面” 等易混点，即可高效解题． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 3．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 4．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 题型02 空间向量线性运算 空间向量线性运算的解题策略 1.几何形式：用 “三角形 / 平行四边形法则” 分解向量，优先关联已知基底，结合模与夹角验证； 2.坐标形式：套准运算公式，先求向量坐标再计算，通过系数方程求参数； 3.结合共线 / 共面 / 几何位置：用线性运算将向量关系转化为定理条件（如共线→线性倍数，共面→线性组合），最终落实到几何结论。 5．（25-26高二上·河北·阶段练习）在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量数量积运算（含模、夹角） 空间向量数量积运算（含模、夹角）的解题策略 1.计算数量积：分几何 / 坐标形式选公式，未知向量先分解为已知向量； 2.求模：用 “模的平方 = 自身数量积”，线性组合先展开再代入； 3.求夹角：逆用数量积公式求cosθ，结合几何角范围调整； 4.证垂直：紧扣 “数量积为 0”，将几何垂直转化为向量数量积计算． 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 11．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 12．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 题型04 空间向量中多向量模长计算 空间向量中多向量模长计算的解题策略 1.转化形式：若含几何背景，先建坐标将向量代数化；若含基底，先将目标向量用基底表示；若直接给向量条件，直接进入下一步； 2.平方展开：对目标模长平方，按 “多项式乘法” 展开为 “单向量模长平方 + 两两向量数量积交叉项”，注意系数平方与交叉项系数； 3.代入计算：代入已知的模长、数量积（或由夹角 / 坐标计算），求和后开平方得模长。 13．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 14．（22-23高二下·四川成都·期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 15．（21-22高二上·全国·课后作业）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ）． A． B．97 C． D．61 16．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 题型05 空间向量中投影与投影向量计算 空间向量中投影与投影向量计算的解题策略 1.定方向：明确“投影到哪个向量/平面”（即确定投影的方向向量或平面法向量，这是计算的前提）； 2.选公式：根据已知条件（几何形式/坐标形式）选择对应公式； 3.算结果：区分“数量投影（标量）”与“投影向量（向量）”，几何背景问题需先转化为向量关系，再代入计算。 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．18 B． C．12 D． 19．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 题型06 有关直线方向向量与平面法向量运算 有关直线方向向量与平面法向量运算的解题策略 1. 建模：建立空间直角坐标系，将几何体的顶点、棱转化为坐标； 2. 求向量：根据定义精准求解直线方向向量和平面法向量（关键是叉乘运算和验证）； 3. 运算与转化：根据问题类型（位置判定或角求解）选择运算规则，将向量运算结果转化为几何结论。 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 23．（19-20高二·全国·课后作业）若直线l过点A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 题型07 空间向量坐标表示及运算 空间向量坐标表示及运算的解题策略 1. 算向量：根据坐标运算公式求解直线方向向量、平面法向量等关键向量； 2. 转化：将向量运算结果（如数量积、模、夹角）转化为几何结论（如平行垂直判定、角度距离计算）。 25．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·北京·阶段练习）如下图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D．或 28．（25-26高二上·河南·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型08 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理及应用的解题策略 1. 选基底：优先垂直、已知角，避开未知参数； 2. 表向量：起点统一、方向明确，用基底分解目标向量； 3. 算运算：点积求垂直 / 夹角，模长求长度 / 距离； 4. 验结果：位置关系看符号，角度范围定大小。 29．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 30．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设 ，则用表示为（　　） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（    ）    A．) B． C． D． 题型09 空间向量共线定理及应用 空间向量共线定理及应用的解题策略 1.找向量：目标相关（方向、分点），基准非零； 2.建关系：共线定理，符号定方向； 3.列方程：坐标 / 基底对应等，求解λ； 4.判结论：线看公共点，点看共起点，比例看绝对值。 33．（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 34．（2005·山东·高考真题）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 35．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 题型10 空间向量共面定理及应用 空间向量共面定理及应用的解题策略 选基底：两向量不共线，优先特殊点（原点、平面顶点）； 设关系：共面定理，推论系数； 列方程：坐标 / 基底对应等，求解； 判结论：四点看向量共面，线面看 “共面 + 点不在面”，向量看线性表示。 37．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江西宜春·阶段练习）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．7 C．6 D．5 39．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ） A．0 B．5 C．9 D． 40．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知，，，四点共面，则实数（    ） A． B． C． D． 题型11 空间向量含共线、共面定理综合 空间向量含共线、共面定理综合的解题策略 1.选基底：优先垂直、已知量，简化运算为第一； 2.定方向：共线定理表向量，分点比例找关系； 3.验共面：共面定理列方程，解存在性判位置； 4.联关系：线面平行看 “共面 + 点不在面”，面面平行看 “相交线 + 双平行”； 5.验结论：参数范围要合理，直线相交需确认。 41．（24-25高二上·湖南·期中）下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 42．（19-20高二下·安徽六安·开学考试）在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 43．（24-25高二上·重庆·期中）下列说法错误的是（   ） A．若空间中点满足，则三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点和不共线三点，若，则共面 44．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型12 空间向量中直线间位置关系判断及应用 空间向量中直线间位置关系判断及应用的解题策略 1.求向量：两点定向量； 2.判共线或垂直：坐标成比例，平行或重合；数量积为0，则垂直。 45.（21-22高二下·全国·单元测试）如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．   B．   C．   D．   46．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若不重合的直线的方向向量分别为,则与的位置关系是（   ） A． B．相交不垂直 C． D．不能确定 47．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 48．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 题型13 空间向量中线面间位置关系判断及应用 空间向量中线面间位置关系判断及应用的解题策略 1.求两向量：法向量定平面，方向向量定直线； 2.判垂直：点积为 0 共面（平行或在面内），点积非 0 相交（共线则垂直）； 49.（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）. A． B． C．或 D．与相交 50．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 51．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 52．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 题型14 空间向量中面面间位置关系判断及应用 空间向量中面面间位置关系判断及应用的解题策略 求法向量：平面方程系数定，或取向量联立求； 判关系：共线则平行或重合，垂直则相交垂直，不共不垂则相交； 53．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 54．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 55.（23-24高三下·浙江·开学考试）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面 平面 B．平面平面 C．平面 平面 D．平面平面 56．（2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 题型15 求点到直线的距离 空间向量求点到直线的距离的解题策略 1.取向量：直线方向v，点线向量AP（A在直线上）； 2.算关键：点积法算 “模长平方 投影平方”，开根号； 57.（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（   ）． A． B． C．2 D． 58．（25-26高二上·河北·阶段练习）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 60．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离. 题型16 求点到平面的距离 空间向量求点到平面的距离的解题策略 1.求法向：三点取两向量，联立垂直方程，取非零解； 2.找点面向量：求所求点与平面内一点的线段构成的向量； 3.代公式：代入距离公式，其中为法向量，为点面向量； 61．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； (2)设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 64．（25-26高二上·安徽合肥·阶段练习）如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．    (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． 题型17 求线（或平面）到平面的距离 空间向量求线（或平面）到平面的距离的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体特征，选取合适的原点（如顶点、中点），确定x、y、z轴，确保三轴两两垂直。 2.确定相关点的坐标：找出直线上任意一点，记录两点的空间坐标、。 3.求平面的法向量： 4.计算向量。 5.代入距离公式计算：线到平面的距离（即向量上的投影绝对值）。 65．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 66．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 67．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 68．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    题型18 求异面直线间的距离 空间向量求异面直线间的距离的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体的形状特征，选取合适的坐标原点（如顶点、棱的中点、对称中心等），确定轴，保证三轴两两垂直且符合右手定则。 2.确定相关点与方向向量： 在第一条异面直线，求其方向向量（可通过直线上两点坐标差计算）； 3.在第二条异面直线（同理通过直线上两点坐标差计算）。 4.求异面直线的公垂线方向向量 5.计算连接两直线上点的向量的坐标，计算向量。 6.代入距离公式计算：异面直线间的距离等于向量上的投影绝对值，公式为；其中为公垂线方向向量的模长。 69．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 71．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 72（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 题型19 求异面直线所成角 空间向量求异面直线所成角的解题策略 1.求两条异面直线的方向向量： 在第一条异面直线、，计算其方向向量； 2.在第二条异面直线，计算其方向向量。 3.计算两方向向量的夹角余弦值： 计算两方向向量的点乘： 4.计算两方向向量的模长：； 5.代入点乘公式求夹角余弦：（取绝对值保证结果非负，契合异面直线所成角范围）。 6.确定异面直线所成角，则； 73．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 74．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 75．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，设． (1)用表示； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 76．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系. (1)求球心的坐标； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 题型20 求直线与平面所成角 空间向量求直线与平面所成角的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体的结构特征，选取恰当的坐标原点（如顶点、棱的中点、对称中心等），确定轴，确保三轴两两垂直且遵循右手定则。 2.求直线的方向向量与平面的法向量： 在直线，计算直线方向向量； 3.在平面，设法向量，由列方程组，求解得平面法向量（取非零解）。 4.计算方向向量与法向量夹角的余弦值： 计算点乘：； 5.计算模长：； 6.代入公式：（取绝对值保证非负）。 77．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 78．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （    ） A． B． C． D． 79．（湖北省部分名校2025-2026学年高三上学期10月考试数学试题）如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 80．（25-26高二上·海南海口·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的度数. 题型21 求平面与平面所成角（含二面角） 空间向量求平面与平面所成角（含二面角）的解题策略 1.建系定坐标：根据几何体特征选取合适原点，确定x、y、z轴建立空间直角坐标系，读取两平面内关键点的坐标（用于求向量）。 2.求两平面法向量：在第一个平面内取两个不共线向量，列方程组求其法向量；同理在第二个平面内取两个不共线向量，求其法向量（均取非零解）。 3.算法向量夹角余弦值：计算及各自模长，代入公式得。 4.定二面角大小：若两法向量指向二面角内部、外部情况相反，二面角；若指向相同或均相反，，特殊角直接写对应度数或弧度。 81．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 82．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 83．（25-26高二上·吉林延边·阶段练习）如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值 84．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在三棱锥中，，且.    (1)若，证明：平面平面； (2)若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 题型22 求模长/线段的最值或范围 空间向量求模长/线段的最值或范围的解题策略 1.建系设向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设目标向量中动点的坐标（含参数，如，表示出目标向量的坐标（用参数表示）。 2.写模长表达式：根据向量模长公式，将关于参数的函数表达式（通常为二次函数，多元时可结合约束条件化简）。 3.求函数最值/范围：若为单参数二次函数，用配方法或顶点公式求最值；若为多元函数，结合动点约束条件（如直线的参数方程、平面的方程）消元，转化为单变量函数求解，或利用不等式（如柯西不等式）求范围。 4.验证并确定结果：结合参数的取值范围（由动点所在轨迹决定），验证求得的极值是否在定义域内，最终确定模长/线段的最值或取值范围。 85．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 86．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 87．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．，，求的最小值； 88．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知向量，， (1)求的值； (2)求； (3)求的最小值. 题型23 求数量积的最值或范围 空间向量求数量积的最值或范围的解题策略 1.建系表向量：根据几何体结构建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如，分别表示出两个目标向量的坐标（用参数表示）。 2.写数量积表达式：根据向量数量积公式，将两向量坐标代入，得到数量积关于参数的函数表达式（单参数或多参数）。 3.化函数求范围：若为单参数函数，结合参数取值范围（由动点约束条件确定），用函数单调性、二次函数性质等求最值；若为多参数，利用约束条件消元转化为单变量函数，或用不等式（如柯西不等式）、向量投影性质求范围。 4.验证定结果：结合参数的实际取值边界（如直线参数的取值、平面内变量的范围），验证求得的极值是否有效，最终确定数量积的最值或取值范围。 89．（24-25高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 90．（24-25高二上·北京·阶段练习）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 91．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 92．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型24 求距离（体积）的最值或范围 空间向量求距离（体积）的最值或范围的解题策略 1.建系表关键向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如，表示出距离（需法向量、连线向量）或体积（需棱向量、高向量）相关的关键向量坐标（用参数表示）。 2.写目标表达式：距离类代入对应公式（如线面距离，体积类代入公式，得到目标值关于参数的函数表达式。 3.化函数求范围：单参数函数用二次函数顶点公式、单调性求解；多参数函数结合动点约束（直线/平面方程）消元为单变量，或用不等式（柯西、均值）、几何意义（投影最值）求范围。 4.验证定结果：结合参数取值边界（由动点轨迹决定），验证极值有效性，排除超出几何实际的解，最终确定距离（体积）的最值或取值范围。 93．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 94．（22-23高二上·河南·阶段练习）在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 95．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 96．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 题型25 求角度的最值或范围 空间向量求角度的最值或范围的解题策略 1.建系表关联向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如），表示出目标角度关联的关键向量（如异面直线方向向量、平面法向量等）坐标（用参数表示）。 2.写角度三角函数表达式：根据角度类型，代入对应向量关系公式（如异面直线所成角、线面角，得到角度的三角函数关于参数的函数表达式。 3.求三角函数值域定角度范围：结合参数取值范围（由动点约束确定），求三角函数表达式的值域；再根据角度的取值范围（如异面直线所成角），结合三角函数单调性确定角度的最值或范围。 4.验证并确定结果：结合几何实际场景验证三角函数值域与角度范围的对应关系，排除因向量方向、参数边界导致的无效解，最终确定目标角度的最值或取值范围。 97．（19-20高三上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 98．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 99．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值的最大值． 100．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 题型26 求参数的最值或范围 空间向量求参数的最值或范围的解题策略 1.建系表含参向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，将含目标参数的几何元素转化为向量，写出含参数的向量坐标表达式（明确参数符号，如。 2.列参数约束方程：根据题目给出的向量关系条件（如垂直则数量积为0、平行则向量成比例、夹角固定则余弦值定值、模长固定则模长公式等式），列出关于目标参数的方程或不等式。 3.解不等式或分析函数值域：若为不等式，直接求解得到参数范围；若为含参数的函数关系（如由模长、数量积转化的函数），结合参数的几何意义（如点在线上、面上的坐标限制）确定自变量取值区间，进而求函数值域得到参数范围。 4.验证并确定参数范围：结合几何实际场景验证参数取值的合理性（如是否符合点、线、面的位置关系），排除超出几何约束的解，最终确定参数的最值或取值范围。 101．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 102．（19-20高二上·湖南长沙·阶段练习）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 103．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 104．（2011·江苏南京·二模）正三棱柱中，，，为的中点，线段上的点满足，若向量与的夹角小于，求实数的取值范围. 题型27 位置、角度、距离存在性问题 空间向量位置、角度、距离存在性问题的解题策略 1.建系设未知量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出待判断存在性的几何元素对应的未知量（如位置问题设动点坐标，表示出相关向量坐标。 2.列存在性约束方程：根据题目中位置、角度、距离的目标条件，转化为向量关系方程（位置：如向量垂直/平行等式；角度：余弦值定值等式；距离：距离公式等式），得到关于未知量的方程组/不等式。 3.求解方程判断可行性：解关于未知量的方程组，判断是否有解；若含参数，分析参数取值范围是否存在使方程成立的解（如二次方程看判别式，多元方程看消元后是否有符合几何意义的解）。 4.验证几何合理性：若方程有解，验证解对应的几何元素是否符合原几何体的位置约束（如点在线/面上、角度在取值范围内）；有符合条件的解则存在，无解或解不符合几何意义则不存在。 105．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 106．（24-25高二上·吉林·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 107．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 108．（23-24高二上·广东·阶段练习）图1是一个边长为的正方形为正方形的中心.把三角形沿翻折，使得二面角为（如图2），分别是的中点. (1)求翻折后的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为，若存在，请说出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型28 平面几何折叠展开类问题 空间向量平面几何折叠展开类问题的解题策略 1.建系定坐标：根据折叠/展开后的空间几何体特征，选取合适的坐标原点（通常选折叠棱的端点、垂直关系的交点等），建立空间直角坐标系；利用不变量（原平面图形中的边长）确定关键顶点的坐标，含折叠角参数时设出参数（如。 2.表关键向量：根据目标问题（如线面角、面面距离、向量数量积等），写出相关的关键向量坐标（如直线方向向量、平面法向量、两点连线向量等），若含参数则保留参数表达式。 3.代公式列关系：将关键向量代入对应公式（如角度用向量夹角公式、距离用投影公式、垂直用数量积为0等），结合折叠/展开后的几何约束（如某平面与折叠棱垂直等），列出目标问题对应的方程或表达式。 4.求解验证结果：求解方程得到目标值（如角度、距离）或判断存在性；若含参数，结合参数取值范围（如折叠角）分析结果合理性，验证解是否符合折叠/展开后的几何实际（如点是否在指定平面内）。 109．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 110．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 111．（24-25高三下·北京·开学考试）如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求长； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由. 112．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 题型29 非常规几何体（切割、组合）问题 空间向量非常规几何体（切割、组合）问题的解题策略 1.拆解建系定坐标：根据切割/组合的结构，以原常规几何体或拼接处的关键位置（如顶点、垂直交点、对称中心）为原点建立空间直角坐标系；利用常规几何体的边长、棱长等已知条件，结合切割后的剩余长度或组合后的位置关系，确定各关键顶点的坐标。 2.提取关键向量：针对目标问题（如线面角、面面距离、体积等），从非常规几何体中提取对应的几何元素（直线、平面、棱等），写出其方向向量、法向量或连线向量的坐标，明确向量与几何体拆解部分的对应关系。 3.结合结构列关系：将关键向量代入目标问题的对应公式（如角度用夹角公式、距离用投影公式、体积用向量标积公式），同时结合切割/组合的结构约束（如切割面与原几何体表面的交线关系、组合体拼接面的垂直/平行关系），列出方程或表达式。 4.求解验证合理性：求解方程得到目标结果，结合非常规几何体的实际结构（如切割后线段长度为正、组合后点面位置符合拼接要求）验证结果的几何合理性，确保结果与几何体的切割/组合特征一致。 113．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 114．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 115．（23-24高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 116．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点． (1)求证：∥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 题型30 立体几何动点轨迹类问题 空间向量立体几何动点轨迹类问题的解题策略 1.建系设动点坐标：根据立体几何体特征，选取合适原点（如顶点、垂直交点）建立空间直角坐标系；设动点坐标为，并写出已知定点、定直线方向向量、定平面法向量等关键元素的坐标。 2.转约束为向量方程：将动点的几何约束条件转化为向量关系方程（如到定点距离定值转化为向量模长等式，到平面距离定值转化为投影公式等式，与定直线夹角定值转化为方向向量夹角公式等式）。 3.化简得轨迹方程：将向量方程展开，代入坐标表达式并化简，消去冗余变量，得到动点坐标满足的等式（或不等式组），即空间轨迹的方程。 4.判断轨迹形状：根据化简后的轨迹方程，结合空间解析几何中常见轨迹的方程特征（如球面、平面、圆柱面、圆锥面等），判断出动点轨迹的具体形状，并结合几何体边界验证轨迹的有效性。 117．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 118．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥，底面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，点为三角形内（包括边界）的一个动点，且. (1)求点的轨迹长度； (2)当二面角正弦值大小为时，求与平面所成角的正弦值. 119．（23-24高三上·北京·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 120．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 题型31 空间向量新定义问题 空间向量新定义问题的解题策略 1.拆解新定义，明确规则：逐字分析新定义的表述，提取核心要素（如新运算的符号、参与运算的向量要求、结果的形式；新概念的判定条件等），将抽象定义转化为可量化的规则（如公式、不等式、等式等）。 2.建系设向量，转化表达式：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出相关向量的坐标（含已知向量和未知向量），依据新定义规则，将问题中的新定义关系转化为含向量坐标的具体表达式（如新运算转化为坐标运算式，新概念判定转化为坐标满足的条件式）。 3.结合目标，列方程求解：根据题目所求目标（如求参数值、判断存在性、求最值等），以转化后的坐标表达式为基础，列出方程、不等式或函数关系式，通过代数运算（如解方程、求函数值域、判断判别式等）求解。 4.回归定义，验证结果：将求解结果代入新定义的规则中验证，确保结果符合新定义的所有约束条件（如参与运算的向量是否满足前提、结果是否符合定义的形式要求），同时结合立体几何背景验证几何合理性，最终确定答案。 121．（11-12高二上·江西宜春·阶段练习）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若 ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作． （1）求证：向量为平面的法向量； （2）求证：以为边的平行四边形的面积等于； （3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小． 122．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积 .若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 123．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义其一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．在三棱锥中，已知，，，． (1)试计算，并指出向量的几何意义． (2)求三棱锥的高h． (3)求三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值． 124．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 课后联系 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平行六面体中，为与的交点，若，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22高二上·广东广州·期末）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 9．（24-25高二下·广西·开学考试）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·河北·阶段练习）在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江西·期中）在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二下·福建莆田·阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（21-22高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 22．（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 23．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·河北·阶段练习）若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 26．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（22-23高二上·云南·阶段练习）在正方体中，、分别是、的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面但不垂直 28．（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 29．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 30．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若 平面，则（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 32．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 33．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 34．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正三棱柱的棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到直线的距离. 36．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在正四棱柱中，为的中点.平面交棱于点.    (1)证明：点为中点. (2)若，求点与平面的距离. 37．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 38．（20-21高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 41．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 42．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 43．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 44．（18-19高二上·四川雅安·期末）已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是 A． B． C． D． 45．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 46．（2025高二·全国·专题练习）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的最大值是（    ） A． B． C． D． 47．（20-21高二上·湖北武汉·期中）设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·湖南·期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（2025高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 52．（20-21高二·全国·单元测试）已知，，则的最大值是 ． 53．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 54．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 55．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 56．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）如图，四棱柱中，底面四边形为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 57．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设为线段上一点（不包含端点），若直线与平面所成角的正弦值为，求． 58．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，且平面ABCD，E为线段BC上一点，且平面PDE将四棱锥分成体积比为3：1的两部分． (1)求证：平面平面PAE； (2)若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值． 59．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 60．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，设的二面角为.    (1)当时，求的体积； (2)设N为的中点，，求的取值范围. 61．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明： 平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 62．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 63．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 64．（2025高二上·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 65．（2022·江苏淮安·模拟预测）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点． (1)求证：DF∥平面PBE： (2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离． 66．（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． (1)在三棱锥中，证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 67．（22-23高三上·福建·阶段练习）如图，将两个三棱锥组合得到一个几何体，且平面平面. (1)证明：平面平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 68．（2022·广东茂名·模拟预测）某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由． 69．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中有两个定点，，已知动点M在平面中且M到A，B两点的斜率乘积为，点D为定点 (1)求动点M的轨迹方程 (2)如图，在空间中有一点C在平面上方，满足CA⊥平面，且，探究直线CD与CM的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由. (3)在平面上过点做直线l，交点M的轨迹于P，Q两点，设Q点关于y轴对称的点为H，连接HP，求当点C到直线HP距离最大时，直线HP与平面ABC夹角的正切值. 70．（24-25高二上·北京房山·期末）对于空间向量，定义：，．且． (1)若，求及； (2)是否存在？若存在，写出一个；若不存在，说明理由； (3)证明：对于任意，必存在，使． 71．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 72．（25-26高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为 的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 空间向量与立体几何31种题型 ·题型导航· 一、基础概念运算类题型 题型01·空间向量基本概念 题型02·空间向量线性运算 题型03·空间向量数量积运算（含模、夹角） 题型04·空间向量中多向量模长计算 题型05·空间向量中投影与投影向量计算 题型06·有关直线方向向量与平面法向量运算 题型07·空间向量坐标表示及运算 二、空间向量定理类题型 题型08·空间向量基本定理及应用 题型09·空间向量共线定理及应用 题型10·空间向量共面定理及应用 题型11·空间向量含共线、共面定理综合 三、位置关系判定类题型 题型12·空间向量中直线间位置关系判断及应用 题型13·空间向量中线面间位置关系判断及应用 题型14·空间向量中面面间位置关系判断及应用 四、距离计算类题型 题型15·求点到直线的距离 题型16·求点到平面的距离 题型17·求线（或平面）到平面的距离 题型18·求异面直线间的距离 五、角度计算类题型 题型19·求异面直线所成角 题型20·求直线与平面所成角 题型21·求平面与平面所成角（含二面角） 五、最值范围类题型 题型22·求模长/线段的最值或范围 题型23·求数量积的最值或范围 题型24·求距离（体积）的最值或范围 题型25·求角度的最值或范围 题型26·求参数的最值或范围 七、综合类题型（重难点） 题型27·位置、角度、距离存在性问题 题型28·平面几何折叠、展开类问题 题型29·非常规几何题（切割、组合）问题 题型30·立体几何动点轨迹类问题 题型31·空间向量新定义问题 题型01 空间向量基本概念 与空间向量基本概念有关问题的解题策略 与空间向量基本概念相关的问题，本质是 “定义为纲、性质为用、表示为桥”： 1.遇到概念辨析，先回归定义（如 “相等” 需大小 + 方向，“共线” 需线性倍数）； 2.遇到计算或判定，优先用坐标表示（将几何问题代数化，降低抽象性）； 3.遇到基底与线性表示，紧扣 “不共面” 条件，通过分解或方程求系数。只要严格遵循概念属性，避免混淆 “向量与数量”“共线与共面” 等易混点，即可高效解题． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 题型02 空间向量线性运算 空间向量线性运算的解题策略 1.几何形式：用 “三角形 / 平行四边形法则” 分解向量，优先关联已知基底，结合模与夹角验证； 2.坐标形式：套准运算公式，先求向量坐标再计算，通过系数方程求参数； 3.结合共线 / 共面 / 几何位置：用线性运算将向量关系转化为定理条件（如共线→线性倍数，共面→线性组合），最终落实到几何结论。 5．（25-26高二上·河北·阶段练习）在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，由平行四边形及三角形法则即可求解. 【详解】 如图，由题意与相交于点， 取的中点，连接，则， 则， 故选：C 6．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】因为 故选：B． 7．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行六面体的性质及向量运算可得答案. 【详解】因为几何体是一个平行六面体，所以, 所以. 故选：D 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 题型03 空间向量数量积运算（含模、夹角） 空间向量数量积运算（含模、夹角）的解题策略 1.计算数量积：分几何 / 坐标形式选公式，未知向量先分解为已知向量； 2.求模：用 “模的平方 = 自身数量积”，线性组合先展开再代入； 3.求夹角：逆用数量积公式求cosθ，结合几何角范围调整； 4.证垂直：紧扣 “数量积为 0”，将几何垂直转化为向量数量积计算． 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 10．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 11．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 12．（24-25高二下·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 题型04 空间向量中多向量模长计算 空间向量中多向量模长计算的解题策略 1.转化形式：若含几何背景，先建坐标将向量代数化；若含基底，先将目标向量用基底表示；若直接给向量条件，直接进入下一步； 2.平方展开：对目标模长平方，按 “多项式乘法” 展开为 “单向量模长平方 + 两两向量数量积交叉项”，注意系数平方与交叉项系数； 3.代入计算：代入已知的模长、数量积（或由夹角 / 坐标计算），求和后开平方得模长。 13．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：D. 14．（22-23高二下·四川成都·期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】 因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，， 所以 . 故选：C 15．（21-22高二上·全国·课后作业）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ）． A． B．97 C． D．61 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的定义可得，进而求出的值. 【详解】∵ ， ∴， 故选：C. 16．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 题型05 空间向量中投影与投影向量计算 空间向量中投影与投影向量计算的解题策略 1.定方向：明确“投影到哪个向量/平面”（即确定投影的方向向量或平面法向量，这是计算的前提）； 2.选公式：根据已知条件（几何形式/坐标形式）选择对应公式； 3.算结果：区分“数量投影（标量）”与“投影向量（向量）”，几何背景问题需先转化为向量关系，再代入计算。 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正三棱柱特点，选择基向量，分别表示出和，根据数量积得到投影向量. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面， ，， 令，则，而，， 于是 ， 因此，在上的投影向量为， 故选：B. 18．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．18 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】利用投影向量公式先求出投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量，，所以，， 则向量在向量上的投影向量为， 得到，由模长公式得到，故D正确. 故选：D 19．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 题型06 有关直线方向向量与平面法向量运算 有关直线方向向量与平面法向量运算的解题策略 1. 建模：建立空间直角坐标系，将几何体的顶点、棱转化为坐标； 2. 求向量：根据定义精准求解直线方向向量和平面法向量（关键是叉乘运算和验证）； 3. 运算与转化：根据问题类型（位置判定或角求解）选择运算规则，将向量运算结果转化为几何结论。 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 【详解】设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 22．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 于是得与同向的单位向量为， 与反向的单位向量为，D满足， 显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足. 故选：D 23．（19-20高二·全国·课后作业）若直线l过点A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量，再选出与其共线的向量即可； 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查直线方向向量，考查对概念的理解，属于基础题. 24．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 题型07 空间向量坐标表示及运算 空间向量坐标表示及运算的解题策略 1. 算向量：根据坐标运算公式求解直线方向向量、平面法向量等关键向量； 2. 转化：将向量运算结果（如数量积、模、夹角）转化为几何结论（如平行垂直判定、角度距离计算）。 25．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：D 26．（25-26高二上·北京·阶段练习）如下图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案. 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为长方体，所以， 所以. 故选：A. 27．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由向量坐标形式的模的公式、夹角余弦公式和数量积坐标表示即可计算求解. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 28．（25-26高二上·河南·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值. 【详解】，， 设直线所成角为， . 故选：B 题型08 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理及应用的解题策略 1. 选基底：优先垂直、已知角，避开未知参数； 2. 表向量：起点统一、方向明确，用基底分解目标向量； 3. 算运算：点积求垂直 / 夹角，模长求长度 / 距离； 4. 验结果：位置关系看符号，角度范围定大小。 29．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量分解为已知向量或可转化为已知向量的组合，再根据向量的线性运算规则进行计算即可. 【详解】由已知. 故选：D. 30．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设 ，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 31．（25-26高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在平行六面体中，设且点为棱的中点， 可得． 故选：D.    32．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（    ）    A．) B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为 . 故选：B 题型09 空间向量共线定理及应用 空间向量共线定理及应用的解题策略 1.找向量：目标相关（方向、分点），基准非零； 2.建关系：共线定理，符号定方向； 3.列方程：坐标 / 基底对应等，求解λ； 4.判结论：线看公共点，点看共起点，比例看绝对值。 33．（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 34．（2005·山东·高考真题）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 35．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用可求的值，故可得正确的选项. 【详解】由题设有非零向量共线，则存在实数，使得， 故，故，故． 故选：C． 36．（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 题型10 空间向量共面定理及应用 空间向量共面定理及应用的解题策略 选基底：两向量不共线，优先特殊点（原点、平面顶点）； 设关系：共面定理，推论系数； 列方程：坐标 / 基底对应等，求解； 判结论：四点看向量共面，线面看 “共面 + 点不在面”，向量看线性表示。 37．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由，可得， 即，因为，所以四点不共面. 故选：B 38．（25-26高二上·江西宜春·阶段练习）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】因为向量，，共面， 所以有， 于是有， 故选：B 39．（25-26高二上·四川南充·阶段练习）已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 若向量不能构成空间的一个基底，则为共面向量， 所以存在实数使得， 即， 可得，解得. 故选：D. 40．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知，，，四点共面，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算向量、、的坐标，再根据空间向量共面定理列出方程，最后解方程求出的取值. 【详解】根据题意，，，， 则，，， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 所以，解得，所以． 故选：D 题型11 空间向量含共线、共面定理综合 空间向量含共线、共面定理综合的解题策略 1.选基底：优先垂直、已知量，简化运算为第一； 2.定方向：共线定理表向量，分点比例找关系； 3.验共面：共面定理列方程，解存在性判位置； 4.联关系：线面平行看 “共面 + 点不在面”，面面平行看 “相交线 + 双平行”； 5.验结论：参数范围要合理，直线相交需确认。 41．（24-25高二上·湖南·期中）下列说法错误的是（    ） A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：根据四点共面的结论分析判断； 对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于选项B：因为， 可得，且， 所以，，，共面，故B正确； 对于选项C：若共线，则对任意，均有共面，故C正确； 对于选项D：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故D错误； 故选：D. 42．（19-20高二下·安徽六安·开学考试）在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由空间基底的定义知，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，故①正确； ②由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故②正确； ③由，根据共面向量定理知四点不共面，故③错误； ④由，当时，向量与向量，构成的平面共面，则不能构成空间的一个基底，故④错误； ⑤利用反证法：若不构成空间的一个基底， 设，整理得，即共面，又因为空间的一个基底，所以能构成空间的一个基底，故⑤正确. 综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题． 43．（24-25高二上·重庆·期中）下列说法错误的是（   ） A．若空间中点满足，则三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点和不共线三点，若，则共面 【答案】C 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：根据四点共面的结论分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点共线，故A正确； 对于选项B：由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于选项C：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故C错误； 对于选项D：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故D正确； 故选：C 44．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】对于（1），A，B，C，D是空间任意四点， 则成立，（1）正确； 对于（2），若两个非零向量与满足，即， 则，（2）正确； 对于（3），因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，（3）错误； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， 若xyz（x，y，）， 当且仅当时成立，则P，A，B，C四点共面，（4）正确， 所以正确命题的个数是3个． 故选：A 题型12 空间向量中直线间位置关系判断及应用 空间向量中直线间位置关系判断及应用的解题策略 1.求向量：两点定向量； 2.判共线或垂直：坐标成比例，平行或重合；数量积为0，则垂直。 45.（21-22高二下·全国·单元测试）如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，验证是否等于0即可. 【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2， 对于A，， 则，与不垂直，A不是；    对于B，， 则，B是；    对于C，， 则与不垂直，C不是；    对于D，， 则，与不垂直，D不是.    故选：B. 46．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若不重合的直线的方向向量分别为,则与的位置关系是（   ） A． B．相交不垂直 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量，判断直线的位置关系即可. 【详解】由可知，所以， 因为直线不重合，所以， 故选：C. 47．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 48．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直即可解题. 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 题型13 空间向量中线面间位置关系判断及应用 空间向量中线面间位置关系判断及应用的解题策略 1.求两向量：法向量定平面，方向向量定直线； 2.判垂直：点积为 0 共面（平行或在面内），点积非 0 相交（共线则垂直）； 49.（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）. A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】计算得出结合空间位置的向量表示即可判断. 【详解】由题意得，，则，则或. 故选：C. 50．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】分析平面法向量与直线方向向量的位置关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以与不平行，所以与不垂直； 因为，所以与不垂直，所以与不平行，也不在平面内. 所以与相交但不垂直. 故选：D 51．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 52．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ， ， ，根据空间向量的数量积运算可得 ，进而可得 平面 . 【详解】设 ， ， ， 则 为空间所有向量的一个基底，且 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ，又 ，平面， 平面 . 故选：C 题型14 空间向量中面面间位置关系判断及应用 空间向量中面面间位置关系判断及应用的解题策略 求法向量：平面方程系数定，或取向量联立求； 判关系：共线则平行或重合，垂直则相交垂直，不共不垂则相交； 53．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由得两个平面的法向量共线，再由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，则， 解得，故. 故选：C. 54．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 55.（23-24高三下·浙江·开学考试）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面 平面 B．平面平面 C．平面 平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】建系，分别求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2， 则， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量，平面的法向量为， 对A，因为，则可知与不平行，故A错误； 对B，因为，则与不垂直，故B错误； 对C，因为，所以与不平行，故C错误； 对D，因为，与垂直，故D正确； 故选：D. 56．（2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，， 设，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 同理可求平面的一个法向量为， ①当与重合即时设平面的一个法向量为， 此时，所以平面平面， 又平面的一个法向量为，满足，所以平面平面， 又，所以，显然直线与平面不平行，故C错误； 而直线平面，故D错误； ②当与不重合即时设平面的一个法向量为， 则，取， 此时，即平面平面， 又，所以平面与平面不垂直，故B错误； 综上可得若为线段上的点，均可满足平面平面，故A正确； 故选：A    题型15 求点到直线的距离 空间向量求点到直线的距离的解题策略 1.取向量：直线方向v，点线向量AP（A在直线上）； 2.算关键：点积法算 “模长平方 投影平方”，开根号； 57.（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求得，，利用点到直线的距离的向量公式求解即可求得点到直线的距离. 【详解】因为平面，所以为与平面所成的角， 所以，所以． 以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故选：B. 58．（25-26高二上·河北·阶段练习）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出与，即可得，与，根据点P到直线EF的距离为，即可求解. 【详解】因为，所以， .所以，， 点P到直线EF的距离为. 故选：B.. 59．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.    (1)证明：； (2)当时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出夹角的余弦，进而求出点到直线的距离. 【详解】（1）由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，由为正三角形，得， 过作与交于点，则，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此，， 所以点到直线的距离为.    60．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点. (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角余弦值； （2）根据（1）的空间直角坐标系，应用向量法求点线距离. 【详解】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 因为，则， 记直线所成角为， 故； （2）因为，则，故， 则点到直线的距离 题型16 求点到平面的距离 空间向量求点到平面的距离的解题策略 1.求法向：三点取两向量，联立垂直方程，取非零解； 2.找点面向量：求所求点与平面内一点的线段构成的向量； 3.代公式：代入距离公式，其中为法向量，为点面向量； 61．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点P到平面的距离即可. 【详解】如图，取棱的中点F，连接， 则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直， 则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，所以． 因为，所以， 所以，所以． 设平面的法向量为，则令，得， 故点P到平面的距离是． 故选：B 62．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间点到直线和点到面的距离公式计算可得. 【详解】， 所以点到直线的距离为； 设平面的一个法向量为，则， 即， 可取，所以， 而， 所以点到平面的距离为． 所以. 故选：C． 63．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：在线段上，存在一点使得平面，且这样的点是唯一的； (2)设线段和的中点分别为和，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可得； （2）求出平面法向量后利用空间向量中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】（1）由，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，有， 则， 则， 假设在线段上存在点使得平面， 令，则， 由平面，则， 则有，解得， 故在线段上，存在唯一一点使得平面，且； （2）由（1）及分别为线段的中点，得， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 又， 则点到平面的距离. 64．（25-26高二上·安徽合肥·阶段练习）如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．    (1)证明：平面． (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）空间直角坐标系，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）因为，，都垂直于平面，则. 取的中点，连接，， 则，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 可得， 且平面，平面，所以平面. （2）连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则， 取，得，，可得. 故点到平面的距离. 题型17 求线（或平面）到平面的距离 空间向量求线（或平面）到平面的距离的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体特征，选取合适的原点（如顶点、中点），确定x、y、z轴，确保三轴两两垂直。 2.确定相关点的坐标：找出直线上任意一点，记录两点的空间坐标、。 3.求平面的法向量： 4.计算向量。 5.代入距离公式计算：线到平面的距离（即向量上的投影绝对值）。 65．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      66．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 67．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 68．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 题型18 求异面直线间的距离 空间向量求异面直线间的距离的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体的形状特征，选取合适的坐标原点（如顶点、棱的中点、对称中心等），确定轴，保证三轴两两垂直且符合右手定则。 2.确定相关点与方向向量： 在第一条异面直线，求其方向向量（可通过直线上两点坐标差计算）； 3.在第二条异面直线（同理通过直线上两点坐标差计算）。 4.求异面直线的公垂线方向向量 5.计算连接两直线上点的向量的坐标，计算向量。 6.代入距离公式计算：异面直线间的距离等于向量上的投影绝对值，公式为；其中为公垂线方向向量的模长。 69．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 70．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 71．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，由已知可得，可得为二面角的平面角，求解即可； （2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，利用向量法可求异面直线与间的距离． 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 72（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证； （2）设平面，可使得 ，且平面，可得平面的法向量，根据异面直线距离公式可得解. 【详解】（1）选取作为空间中的一组基底， 由题意可得：，， 且，， ， 则， 所以， 即直线直线. （2）由（1）得， 设平面，可使得 ，且平面， 设是平面的法向量， 则，且， 即, 令，则 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长. 由此可得：. 题型19 求异面直线所成角 空间向量求异面直线所成角的解题策略 1.求两条异面直线的方向向量： 在第一条异面直线、，计算其方向向量； 2.在第二条异面直线，计算其方向向量。 3.计算两方向向量的夹角余弦值： 计算两方向向量的点乘： 4.计算两方向向量的模长：； 5.代入点乘公式求夹角余弦：（取绝对值保证结果非负，契合异面直线所成角范围）。 6.确定异面直线所成角，则； 73．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 74．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底法求解即可. 【详解】由于平面平面，平面平面，平面，，则平面， 由于平面，则， 由于四边形为菱形，，则为正三角形， 设，则， 由于， 则 ， 所以， 则直线所成角的余弦值为， 故选：D. 75．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，设． (1)用表示； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解即可； （2）先由题中条件证得四边形是矩形，得，再使用余弦定理求出，得到，继而得到平面，从而得到和为正三角形，求得，的长度，再使用余弦定理得到，设异面直线与所成角为，得到，再用公式 求出，从而得解. 【详解】（1），； （2）在三棱柱中，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形， ， ，，， 由余弦定理得，可得， ，，，平面， ，平面，平面，， 为直角三角形，，连接，， ，，，和为正三角形， ，，， 设异面直线与所成角为，， ， 则，又，. 即异面直线与所成角的正弦值为. 【点睛】 76．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系. (1)求球心的坐标； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球心，根据球的定义列方程组求解即可； （2）根据公式计算. 【详解】（1）由题意得，， 设球心，若在同一个球面上， 则，得： 解得，即， （2）由题意得， 设直线与直线所成角为， ∴ 故直线与直线所成角的余弦值为. 题型20 求直线与平面所成角 空间向量求直线与平面所成角的解题策略 1.建立空间直角坐标系：根据几何体的结构特征，选取恰当的坐标原点（如顶点、棱的中点、对称中心等），确定轴，确保三轴两两垂直且遵循右手定则。 2.求直线的方向向量与平面的法向量： 在直线，计算直线方向向量； 3.在平面，设法向量，由列方程组，求解得平面法向量（取非零解）。 4.计算方向向量与法向量夹角的余弦值： 计算点乘：； 5.计算模长：； 6.代入公式：（取绝对值保证非负）。 77．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作平面于，在平面内过作，垂足分别为，连接，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以， 又平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 所以，又， 因此四边形为正方形，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B. 78．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的性质及边长，得出坐标关系，从而求出平面的法向量，再利用空间向量的余弦公式计算求解． 【详解】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，，则， ． 故选：B． 79．（湖北省部分名校2025-2026学年高三上学期10月考试数学试题）如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）直接用线面垂直来证线线垂直可得； （2）先计算相关的边的长，再建立空间直角坐标系求角可得. 【详解】（1）如图 取的中点D，连.因为底面是正三角形，所以. 在中，由余弦定理得 ， 所以，同理可得，得， 又因D是的中点，所以. 因，，，平面，平面， 所以平面，且平面，所以. （2）由（1）知，， 所以在直角三角形中，. 而在底面正三角形中. 在三角形，由余弦定理得 ，得. 再由（1）知平面，平面，所以平面平面， 平面平面，过点在平面内作，垂足为，则平面. 在直角三角形中，，. 由上面可知，以所在直线为x轴，以在底面内垂直直线为y轴， 以过A点垂直底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图： 所以，，由棱柱的性质可得，， 所以，， 设平面的法向量为，则，得， 令，则，得， 设直线与平面所成角，所以 . 故直线与平面所成角的正弦值为. 80．（25-26高二上·海南海口·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且，是棱的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，可得出，推导出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的度数. 【详解】（1）因为，四边形是边长为的正方形，所以，， 因为为的中点，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）由题意可知，、、、， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 因为，所以， 设直线与平面所成角为，则,,故 因此直线与平面所成角为. 题型21 求平面与平面所成角（含二面角） 空间向量求平面与平面所成角（含二面角）的解题策略 1.建系定坐标：根据几何体特征选取合适原点，确定x、y、z轴建立空间直角坐标系，读取两平面内关键点的坐标（用于求向量）。 2.求两平面法向量：在第一个平面内取两个不共线向量，列方程组求其法向量；同理在第二个平面内取两个不共线向量，求其法向量（均取非零解）。 3.算法向量夹角余弦值：计算及各自模长，代入公式得。 4.定二面角大小：若两法向量指向二面角内部、外部情况相反，二面角；若指向相同或均相反，，特殊角直接写对应度数或弧度。 81．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 82．（2026高三·全国·专题练习）在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算即可. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，, 因为平面， 所以平面的一个法向量为， ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B 83．（25-26高二上·吉林延边·阶段练习）如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线段关系证明，结合直棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量研究面面夹角即可. 【详解】（1）因为，，底面为平行四边形 所以， 则，由直四棱柱的性质可知两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，取，则， 所以， 易知，所以平面； （2）由上可知，设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以， 设平面与平面所成角为， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 84．（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在三棱锥中，，且.    (1)若，证明：平面平面； (2)若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）可得平面，从而以为原点，为轴正方向，为轴正方向，在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接. 因为， 所以，且， 又， 则, 所以， 所以，即， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面.    （2）由（1）知， 易得平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以点平面内的投影在上， 所以， 所以为等边三角形， 故.    如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向， 在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以,, 设平面的一个法向量， 则，即， 取，解得，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，解得，，所以， 所以， 设二面角的大小为，则. 题型22 求模长/线段的最值或范围 空间向量求模长/线段的最值或范围的解题策略 1.建系设向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设目标向量中动点的坐标（含参数，如，表示出目标向量的坐标（用参数表示）。 2.写模长表达式：根据向量模长公式，将关于参数的函数表达式（通常为二次函数，多元时可结合约束条件化简）。 3.求函数最值/范围：若为单参数二次函数，用配方法或顶点公式求最值；若为多元函数，结合动点约束条件（如直线的参数方程、平面的方程）消元，转化为单变量函数求解，或利用不等式（如柯西不等式）求范围。 4.验证并确定结果：结合参数的取值范围（由动点所在轨迹决定），验证求得的极值是否在定义域内，最终确定模长/线段的最值或取值范围。 85．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】A 【分析】由题意设，，，利用数量积的坐标运算求得的最小值. 【详解】因为，， 故可设，，， 又，所以， 所以，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值是5. 故选：A. 86．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即 ， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 87．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．，，求的最小值； 【答案】 【分析】根据向量的模及数量积的运算，结合二次函数的性质可得结果； 【详解】已知（）， 所以 ， 故的最小值为. 88．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知向量，， (1)求的值； (2)求； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算； （2）根据空间向量夹角公式直接计算即可； （3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为. 题型23 求数量积的最值或范围 空间向量求数量积的最值或范围的解题策略 1.建系表向量：根据几何体结构建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如，分别表示出两个目标向量的坐标（用参数表示）。 2.写数量积表达式：根据向量数量积公式，将两向量坐标代入，得到数量积关于参数的函数表达式（单参数或多参数）。 3.化函数求范围：若为单参数函数，结合参数取值范围（由动点约束条件确定），用函数单调性、二次函数性质等求最值；若为多参数，利用约束条件消元转化为单变量函数，或用不等式（如柯西不等式）、向量投影性质求范围。 4.验证定结果：结合参数的实际取值边界（如直线参数的取值、平面内变量的范围），验证求得的极值是否有效，最终确定数量积的最值或取值范围。 89．（24-25高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 90．（24-25高二上·北京·阶段练习）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理直接求解即可； （2）结合长度关系，利用线面垂直得出，即得为到直线的距离，进而求解即可； （3）设，表示出 ，即可求出所求的最小值. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以 ， 而， ， ， 所以， 即的长度为. （2）因为， 所以 ， 所以， 在中，， 所以， 即， 又因为， 所以平面， 而平面， 所以， 即为到直线的距离， 而， 所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设， 则 ， 当时，这时的最小，且为.    91．（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）已知点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点，以所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【详解】以点为原点，以所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系； 则点，设点的坐标为，由题意可得， 所以， 所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是. 故选：B． 92．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 题型24 求距离（体积）的最值或范围 空间向量求距离（体积）的最值或范围的解题策略 1.建系表关键向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如，表示出距离（需法向量、连线向量）或体积（需棱向量、高向量）相关的关键向量坐标（用参数表示）。 2.写目标表达式：距离类代入对应公式（如线面距离，体积类代入公式，得到目标值关于参数的函数表达式。 3.化函数求范围：单参数函数用二次函数顶点公式、单调性求解；多参数函数结合动点约束（直线/平面方程）消元为单变量，或用不等式（柯西、均值）、几何意义（投影最值）求范围。 4.验证定结果：结合参数取值边界（由动点轨迹决定），验证极值有效性，排除超出几何实际的解，最终确定距离（体积）的最值或取值范围。 93．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设边长建系设出点的坐标，再求出点到面的距离得出三棱锥的高，进而得出三棱锥的体积，最后应用导数得出体积的最大值. 【详解】设， 以分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，， 设平面的法向量为，又， 则，即， 令，则，所以， 又， 到平面的距离， ， 令单调递增， 当时，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到所求体积的表达式，从而得解. 94．（22-23高二上·河南·阶段练习）在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值. 【详解】 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，则，故， 又，，于是， 设平面APC的法向量，则有， 可取， 则点B到平面APC的距离为， 当时，点B到平面APC的距离为0， 当时，， 当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为， 故选:D． 95．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可； （3）先设球心坐标为，再应用空间距离列式计算得出，再应用点到平面距离计算求解. 【详解】（1）在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. （3）设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 96．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 题型25 求角度的最值或范围 空间向量求角度的最值或范围的解题策略 1.建系表关联向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出动点坐标（含参数，如），表示出目标角度关联的关键向量（如异面直线方向向量、平面法向量等）坐标（用参数表示）。 2.写角度三角函数表达式：根据角度类型，代入对应向量关系公式（如异面直线所成角、线面角，得到角度的三角函数关于参数的函数表达式。 3.求三角函数值域定角度范围：结合参数取值范围（由动点约束确定），求三角函数表达式的值域；再根据角度的取值范围（如异面直线所成角），结合三角函数单调性确定角度的最值或范围。 4.验证并确定结果：结合几何实际场景验证三角函数值域与角度范围的对应关系，排除因向量方向、参数边界导致的无效解，最终确定目标角度的最值或取值范围。 97．（19-20高三上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A．    98．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式得，利用二次函数即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，则，取， 则． 故选：C． 99．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【详解】（1）因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直，所以分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，，设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； （2）， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 100．（25-26高二上·河北·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）设．建立如图所示的空间直角坐标系， . ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）当是的中点时，，则， 设平面的法向量为，， 令， 设与平面所成角为，则． 与平面所成角的正弦值为． （3）设， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 平面与平面夹角的最大值为． 题型26 求参数的最值或范围 空间向量求参数的最值或范围的解题策略 1.建系表含参向量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，将含目标参数的几何元素转化为向量，写出含参数的向量坐标表达式（明确参数符号，如。 2.列参数约束方程：根据题目给出的向量关系条件（如垂直则数量积为0、平行则向量成比例、夹角固定则余弦值定值、模长固定则模长公式等式），列出关于目标参数的方程或不等式。 3.解不等式或分析函数值域：若为不等式，直接求解得到参数范围；若为含参数的函数关系（如由模长、数量积转化的函数），结合参数的几何意义（如点在线上、面上的坐标限制）确定自变量取值区间，进而求函数值域得到参数范围。 4.验证并确定参数范围：结合几何实际场景验证参数取值的合理性（如是否符合点、线、面的位置关系），排除超出几何约束的解，最终确定参数的最值或取值范围。 101．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先求出向量与的坐标，由向量与的夹角为锐角， 可以得到且与不平行，再计算求解即可. 【详解】，， ，向量与的夹角为锐角， 且向量与不平行， ，， 向量与不平行，， 的取值范围为且，选项B正确. 故选：B. 102．（19-20高二上·湖南长沙·阶段练习）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于，即,从而可求的取值范围. 【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系： 则有， ， ， ， 显然∠APC不是平角， 所以∠APC为钝角等价于， ， ，解得， 因此，的取值范围是, 故选：A. 103．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)若异面直线与所成角为，求的值； (3)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）写出向量坐标，利用夹角公式可得答案； （3）利用钝角可得数量积小于零且不等于，求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， ，，，; ，， 因为，所以， 所以， 因为，所以. （2），； 因为直线与所成角为， 所以； 解得，因为动点在对角线上，所以. （3），， 因为为钝角，所以，解得. 又因为在上恒成立，所以.    104．（2011·江苏南京·二模）正三棱柱中，，，为的中点，线段上的点满足，若向量与的夹角小于，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】以的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，将的坐标利用向量表示，然后由、的夹角小于，转化为 ，列不等式解出实数的取值范围． 【详解】解：以的中点为坐标原点，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，， 所以， 因为向量与的夹角小于，所以， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 题型27 位置、角度、距离存在性问题 空间向量位置、角度、距离存在性问题的解题策略 1.建系设未知量：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出待判断存在性的几何元素对应的未知量（如位置问题设动点坐标，表示出相关向量坐标。 2.列存在性约束方程：根据题目中位置、角度、距离的目标条件，转化为向量关系方程（位置：如向量垂直/平行等式；角度：余弦值定值等式；距离：距离公式等式），得到关于未知量的方程组/不等式。 3.求解方程判断可行性：解关于未知量的方程组，判断是否有解；若含参数，分析参数取值范围是否存在使方程成立的解（如二次方程看判别式，多元方程看消元后是否有符合几何意义的解）。 4.验证几何合理性：若方程有解，验证解对应的几何元素是否符合原几何体的位置约束（如点在线/面上、角度在取值范围内）；有符合条件的解则存在，无解或解不符合几何意义则不存在。 105．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 106．（24-25高二上·吉林·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在一点G，理由见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 107．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 108．（23-24高二上·广东·阶段练习）图1是一个边长为的正方形为正方形的中心.把三角形沿翻折，使得二面角为（如图2），分别是的中点. (1)求翻折后的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为，若存在，请说出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）连接，可证，建立如图所示的空间直角坐标，利用空间向量可求角的余弦值； （2）若存在，设，则可用表示的坐标，再计算出平面和平面的法向量后得到关于的方程，结合该方程在上无解可得不存在. 【详解】（1）在正方形中，连接，因为为正方形的中心， 所以， 所以是二面角的平面角，即，即， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，由分别是的中点． 则， 的余弦值为 （2） 设平面的一个法向量为，， 所以，即，令，则， 假设存在点，满足平面与平面的夹角为， 又，设， 所以， 设平面的一个法向量为，， 所以，即， 令得， 所以，，整理得， 解得， 因为，与矛盾， 所以，不存在使得有解， 所以，线段上是不存在一点，使得平面与平面的夹角为. 题型28 平面几何折叠展开类问题 空间向量平面几何折叠展开类问题的解题策略 1.建系定坐标：根据折叠/展开后的空间几何体特征，选取合适的坐标原点（通常选折叠棱的端点、垂直关系的交点等），建立空间直角坐标系；利用不变量（原平面图形中的边长）确定关键顶点的坐标，含折叠角参数时设出参数（如。 2.表关键向量：根据目标问题（如线面角、面面距离、向量数量积等），写出相关的关键向量坐标（如直线方向向量、平面法向量、两点连线向量等），若含参数则保留参数表达式。 3.代公式列关系：将关键向量代入对应公式（如角度用向量夹角公式、距离用投影公式、垂直用数量积为0等），结合折叠/展开后的几何约束（如某平面与折叠棱垂直等），列出目标问题对应的方程或表达式。 4.求解验证结果：求解方程得到目标值（如角度、距离）或判断存在性；若含参数，结合参数取值范围（如折叠角）分析结果合理性，验证解是否符合折叠/展开后的几何实际（如点是否在指定平面内）。 109．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 110．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 111．（24-25高三下·北京·开学考试）如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求长； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相交，理由见解析 【分析】（1）先证平面，即可得证线线垂直； （2）由所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量法求线面角求得参数值； （3）用反证法证明判断与平面相交． 【详解】（1），平面， 平面， 平面 （2）是等腰直角三角形且，则到的距离为2， ，所以，可由所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得 ， 设面的法向量， 令， 直线与平面所成角为， ， 解得：，或（舍），所以，的长为； （3）相交 反证法，因为点平面，且点交线，所以交线平面. 假设 平面，且平面，平面平面，故 .同理 ，因此 ，由图1知，与BC相交，矛盾. 因此与平面相交. 112．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件得到平面，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入距离公式求解即可. 【详解】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图：    以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 题型29 非常规几何体（切割、组合）问题 空间向量非常规几何体（切割、组合）问题的解题策略 1.拆解建系定坐标：根据切割/组合的结构，以原常规几何体或拼接处的关键位置（如顶点、垂直交点、对称中心）为原点建立空间直角坐标系；利用常规几何体的边长、棱长等已知条件，结合切割后的剩余长度或组合后的位置关系，确定各关键顶点的坐标。 2.提取关键向量：针对目标问题（如线面角、面面距离、体积等），从非常规几何体中提取对应的几何元素（直线、平面、棱等），写出其方向向量、法向量或连线向量的坐标，明确向量与几何体拆解部分的对应关系。 3.结合结构列关系：将关键向量代入目标问题的对应公式（如角度用夹角公式、距离用投影公式、体积用向量标积公式），同时结合切割/组合的结构约束（如切割面与原几何体表面的交线关系、组合体拼接面的垂直/平行关系），列出方程或表达式。 4.求解验证合理性：求解方程得到目标结果，结合非常规几何体的实际结构（如切割后线段长度为正、组合后点面位置符合拼接要求）验证结果的几何合理性，确保结果与几何体的切割/组合特征一致。 113．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）利用两个平面夹角的向量求法求出，再利用棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】（1）    证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 114．（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以.    （2）由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 115．（23-24高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将多面体补形为正方体，则多面体的体积可用正方体体积减去三个棱锥体积即可求得； （2）由面面平行证得线面平行； （3）在正方体中建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量夹角公式即可求得． 【详解】（1）由题意，可将组合体补形为正方体， 如图所示，由，可得正方体棱长为， 故多面体的体积； （2）在正方体中，平面平面，平面， 故平面，即平面； （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 取平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 116．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点． (1)求证：∥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，连结，，证明，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）以O为原点，分别以，的方向为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，直线与平面所成角为，可得，根据同角三角函数的基本关系即可求解． 【详解】（1）连结，， 设圆锥的底面所在平面为，则，， 所以S，，O三点共线． 从而，所以点S，D，C，O共面． 又因为，， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点， 所以平面，又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，即，且， 则，，， 设平面的法向量， 则，即，整理得， 令，则． 因为，所以，从而， 所以． 设直线与平面所成角为， 则， 故． 因为，所以， 从而，解得， 所以直线与平面所成角的正切值的取值范围为． 题型30 立体几何动点轨迹类问题 空间向量立体几何动点轨迹类问题的解题策略 1.建系设动点坐标：根据立体几何体特征，选取合适原点（如顶点、垂直交点）建立空间直角坐标系；设动点坐标为，并写出已知定点、定直线方向向量、定平面法向量等关键元素的坐标。 2.转约束为向量方程：将动点的几何约束条件转化为向量关系方程（如到定点距离定值转化为向量模长等式，到平面距离定值转化为投影公式等式，与定直线夹角定值转化为方向向量夹角公式等式）。 3.化简得轨迹方程：将向量方程展开，代入坐标表达式并化简，消去冗余变量，得到动点坐标满足的等式（或不等式组），即空间轨迹的方程。 4.判断轨迹形状：根据化简后的轨迹方程，结合空间解析几何中常见轨迹的方程特征（如球面、平面、圆柱面、圆锥面等），判断出动点轨迹的具体形状，并结合几何体边界验证轨迹的有效性。 117．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2）连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. （3）因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 118．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥，底面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，点为三角形内（包括边界）的一个动点，且. (1)求点的轨迹长度； (2)当二面角正弦值大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别取、、的中点为、、，连接、、、，利用线面垂直的性质与判定定理可得平面，可求轨迹； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设，，求得平面的法向量，结合已知可求得，进而利用线面角的向量法可求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）分别取、、的中点为、、，连接、、、. 平面，，平面， 又平面，所以 ，，平面， 平面， 轨迹是线段，长度是； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，设，，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 可求得平面的法向量， 又平面的法向量， ， 两边平方得，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去）， ，，，，，， 可求得平面的法向量， . 所以与平面所成角的正弦值为. 119．（23-24高三上·北京·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 【答案】C 【分析】根据棱锥体积公式即判断A，建立空间直角坐标系，向量法求线线角、线面角，及利用法向量判断线面关系，即可判断BCD. 【详解】当在平面上运动时，到的距离恒为2，故四棱锥的体积不变，A对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以且， 设与所成角为且 ，则， 当时，且，可得；当时，； 所以，故 ，B对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以，则， 所以，又且面， 所以面，即是面的一个法向量， 由，则， 若平面，则，即， 显然，直线与底面有公共点，即存在点满足平面，C错； 若点在底面上运动，设，，则， 又面的一个法向量，则直线与平面所成的角为， 所以，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其在底面上轨迹为圆上的一段弧，D对. 故选：C 120．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 题型31 空间向量新定义问题 空间向量新定义问题的解题策略 1.拆解新定义，明确规则：逐字分析新定义的表述，提取核心要素（如新运算的符号、参与运算的向量要求、结果的形式；新概念的判定条件等），将抽象定义转化为可量化的规则（如公式、不等式、等式等）。 2.建系设向量，转化表达式：根据几何体特征建立空间直角坐标系，设出相关向量的坐标（含已知向量和未知向量），依据新定义规则，将问题中的新定义关系转化为含向量坐标的具体表达式（如新运算转化为坐标运算式，新概念判定转化为坐标满足的条件式）。 3.结合目标，列方程求解：根据题目所求目标（如求参数值、判断存在性、求最值等），以转化后的坐标表达式为基础，列出方程、不等式或函数关系式，通过代数运算（如解方程、求函数值域、判断判别式等）求解。 4.回归定义，验证结果：将求解结果代入新定义的规则中验证，确保结果符合新定义的所有约束条件（如参与运算的向量是否满足前提、结果是否符合定义的形式要求），同时结合立体几何背景验证几何合理性，最终确定答案。 121．（11-12高二上·江西宜春·阶段练习）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若 ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作． （1）求证：向量为平面的法向量； （2）求证：以为边的平行四边形的面积等于； （3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）只需证明向量与垂直即可； （2）根据平行四边形的面积公式可知，结合数量积运算可证； （3）利用 可以推出结论. 【详解】（1）， ，同理．是平面的法向量． （2）设平行四边形的面积为，与的夹角为， 则 =． 结论成立． （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则 ， 又， ． 122．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积 .若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据混合积的定义与性质结合空间向量叉积的运算法则计算即可； （2）设与都垂直的向量，利用空间向量数量积的坐标表示计算，利用点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量的线性运算及（2）的结论，结合空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 【点睛】思路点睛：第二问，异面直线的距离可转化为点到面的距离，求出法向量计算即可；第三问，利用空间向量的线性运算结合向量共线计算即可. 123．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义其一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．在三棱锥中，已知，，，． (1)试计算，并指出向量的几何意义． (2)求三棱锥的高h． (3)求三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)，是底面的一个单位法向量 (2) (3) 【分析】（1）首先根据定义求得，注意到， ，且，由此可知是单位法向量； （2）求出，由公式代入运算即可得解； （3）求出，由公式代入运算即可求解. 【详解】（1）由题可得，， 所以，， 所以， 由于，所以； 又因为，所以，且， 而显然与不共线， 所以是底面的一个单位法向量． （2）因为，所以， 即三棱锥P－ABC的高． （3）设侧棱与底面所成角为． 因为，所以， 即侧棱与底面所成角的正弦值为． 124．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②； (3)证明见解析， 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 课后联系 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 2．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 3．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平行六面体中，为与的交点，若，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案. 【详解】由题意可得 , 故选：D 4．（21-22高二上·广东广州·期末）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B. 5．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 6．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据空间向量表示，再应用空间向量的数量积运算律计算求解. 【详解】如图所示：    因为六面体是平行六面体， 所以， 则， 由，，，，，设， 故有：， 所以， 得，解得负值舍去 故 故选：B. 9．（24-25高二下·广西·开学考试）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两向量的数量积，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故选：D 10．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 11．（25-26高二上·河北·阶段练习）在三棱柱中，是侧面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，由平行四边形及三角形法则即可求解. 【详解】 如图，由题意与相交于点， 取的中点，连接，则， 则， 故选：C 12．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】因为 故选：B． 13．（25-26高二上·湖南·阶段练习）如图所示的几何体是一个平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行六面体的性质及向量运算可得答案. 【详解】因为几何体是一个平行六面体，所以, 所以. 故选：D 14．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 15．（25-26高二上·江西·期中）在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 16．（24-25高二上·海南·期末）在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知， . 故选：A 17．（22-23高二下·福建莆田·阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解. 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 18．（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 19．（21-22高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 20．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案. 【详解】对于A，根据题意，故A错误. 对于B，设，则不存在，故B正确. 对于C，，故C错误； 对于D，由， 则，所以， 所以，故D错误； 故选：B. 21．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 22．（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】当反向时，，可得A错误；利用共线向量定义可知，当向量共线时，向量所在的直线不一定平行，即B错误；当共线时，由共线向量定义知不一定为1，可知C错误；由空间向量证明点共面可知D正确. 【详解】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 23．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线l的方向向量， 则，令，得， 则， 故选：B． 24．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 25．（23-24高二上·河北·阶段练习）若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【答案】A 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案. 【详解】由，得， 所以 ． 故选：A． 26．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】应用空间向量线性运算及模的坐标表示求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 27．（22-23高二上·云南·阶段练习）在正方体中，、分别是、的中点，则直线与的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面但不垂直 【答案】A 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断异面直线与的位置关系. 【详解】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 因为，所以． 故选：A. 28．（2020高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 【答案】B 【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解 【详解】建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题 29．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 30．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若 平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由 平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证 ， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时， ，平面，平面， 从而 平面，所以. 故选：C. 31．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据向量垂直可得是平面的一个法向量，即可根据向量的位置关系，逐一判断直线与平面的位置关系. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 32．（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【分析】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【详解】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 33．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点到直线的距离即可. 【详解】设正方形的中心分别为，棱的中点为H，连接，易证两两垂直， 则以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正四棱台的体积是28，所以， 即，解得，则， 所以，故点E到直线的距离．    故选：C 34．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正三棱柱的棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】如图，以线段的中点为原点，取的中点为，    则由正三棱柱的结构性质可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则. 设为平面的一个法向量， 则，令， 则是平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 故选:A. 35．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再写出和的坐标，利用向量夹角余弦值公式即可； （2）先写出和的坐标，再求这两个向量夹角的余弦值，进而可以求出该角的正弦值即可求出. 【详解】（1）由题意得，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.   正方体的棱长为1，，，分别是，，的中点 、、、，，， ，，， 则， 与所成角的余弦值为. （2）由（1）可得，、，、， ，， 设点到直线的距离为，，解得， 点到直线的距离为. 36．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图，在正四棱柱中，为的中点.平面交棱于点.    (1)证明：点为中点. (2)若，求点与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再由三角形全等可得； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入空间距离公式可得. 【详解】（1）在正四棱柱中，平面平面，且平面与两平面的交线分别为， 所以， 同理平面平面，且平面与两平面的交线分别为，则， 所以四边形为平行四边形， 又，由与全等可得， 所以点为中点. （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 设点与平面的距离为，则. 37．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 38．（20-21高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， .    故选：D. 39．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底得到，接着依次计算，，再计算即可得解. 【详解】以为基底，则， 而， 所以， ， ， 从而， 故直线和直线所成角的余弦值为. 故选：B 40．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】如下图，连接，因为，为中点， 所以，，又平面底面， 平面底面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由， 可得，，，， ，，，      设平面的一个法向量为，则有， 令，得，，得， 设所求角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故选：C 41．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 42．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 43．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 44．（18-19高二上·四川雅安·期末）已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果. 【详解】 三棱锥，满足两两垂直，且， 如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱, 以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系, 则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球， 是三棱锥外接球上一动点， 由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时， 点到平面的距离最大， 点到平面的距离的最大值为.故选C. 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 45．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，求得平面的法向量为和，利用向量的夹角公式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 可设，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，； 当时，， 设，可得，所以，所以， 因为，所以，则 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为. 故选：B. 46．（2025高二·全国·专题练习）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合，得到点在平面内的轨迹为由点到四等分点，得到点为与四等分点处时，二面角最大，在直角中，即可求解. 【详解】以点D为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设点的坐标为，且， 可得， 因为，所以，即，所以， 所以点在平面内的轨迹为由点到四等分点（靠近点）的一条线段， 且点由点向四等分点移动过程中，二面角逐渐增大， 当点位于点处时，二面角最小，最小值为， 当点为与四等分点处时，二面角最大， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 ，， 所以此时（即）为二面角的平面角， 且. 故选：B.    47．（20-21高二上·湖北武汉·期中）设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，为锐角等价于，即，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 如图建立空间直角坐标系：则，，，， ，， ，， 所以， ， 由为锐角得，即， 所以，即，解得：， 当时，点位于点处，此时显然是锐角，符合题意， 所以， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是为锐角等价于，即，还需利用，求出、的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 48．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 49．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解. 【详解】， 当时，有，解得，此时，与夹角为， 所以与夹角不可能为， 与夹角为锐角时，有，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 50．（23-24高一下·湖南·期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题. 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 51．（2025高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】B 【分析】先建系计算线线角判断A，根据面面平行判定定理计算判断B，根据向量垂直计算求解判断C，应用截面及导数计算求解最值即可判断D. 【详解】因为四边形为正方形，连接，相交于点，连接，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点， 则，当为的中点时，，从而， 设异面直线与所成的角为，则， 因为，故，A正确； 取为的中点，连接，则，又平面平面，故平面， 又平面平面，故平面平面， 设，平面平面，平面平面，则，则为的中点， 点在四边形内（包含边界）运动，则，点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确； 当时，设，则，， 得，即，即点的轨迹是以中点为圆心，半径为的圆在四边形内（包含边界）的一段弧， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，最大值为4，因为， 所以存在点到的距离为，C正确； 由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为为的中点，为的中点，， 如图，为圆柱上底面圆的圆心，，根据，得， 即，则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去， 即，当时，单调递增，当时，单调递减， 即时有极大值也是最大值，的最大值为，故． 所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用导函数计算求解函数单调性即可得出函数最大值. 52．（20-21高二·全国·单元测试）已知，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积和模的公式，即可求得的最大值. 【详解】因为，所以，设的夹角为， ， 当时，的最大值是. 故答案为： 53．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面 ，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 54．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 55．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 【答案】 【分析】以底面正方形的中心为原点建立空间直角坐标系，求出与公垂线的一个方向向量，最后由异面直线与之间的距离计算可得. 【详解】因为底面是边长为的正方形，侧棱， 所以四棱锥为正四棱锥， 如图，以底面正方形的中心为原点，以平行于底边的直线及为，，轴建立直角坐标系， 则，所以， 则，，，，    ∵，， 设为与公垂线的一个方向向量，则， 令，则，，所以， ∵， ∴异面直线与之间的距离． 56．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）如图，四棱柱中，底面四边形为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过，平方即可求解； （2）确定，，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）设，，， 由已知得，，，， 又，； （2）由题意结合空间向量的线性运算可得： ，， 则， 所以， 即与夹角的余弦值为． 57．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设为线段上一点（不包含端点），若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意直线两两垂直，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，利用夹角公式求解； （2）设，，利用线面角的坐标公式求解. 【详解】（1）因为底面，底面， 则， 所以直线两两垂直， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面APC的一个法向量为， 于是有令，得，， 所以平面APC的一个法向量为， 同理可得平面PCD的一个法向量为， 设平面APC与平面PCD的夹角为，则， 故平面APC与平面PCD夹角余弦值为. （2），因为Q在线段PC上（不含端点）， 所以设，， 故. 由（1）可知平面PCD的一个法向量，设直线AQ与平面PCD所成角为， 故， 解得（舍）或，故. 58．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，且平面ABCD，E为线段BC上一点，且平面PDE将四棱锥分成体积比为3：1的两部分． (1)求证：平面平面PAE； (2)若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题设易得，即，再由线面垂直的性质有，根据线面、面面垂直的判定可证面面； （2）构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，求面、面的法向量，根据空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值． 【详解】（1）证明：∵平面， ∴，即， ∴为的中点，由，得， 又是矩形，则，同理：， ∴，则， ∵面，面， ∴，而， ∴面，由面， ∴面面. （2）依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，又平面， ∴即为与平面所成角的平面角，故， ∴，则，，，，， 由（1）知：面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，而，， ∴，令 ，故， ∴， 由题知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为． 59．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 60．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，设的二面角为.    (1)当时，求的体积； (2)设N为的中点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点O，中点M，连接，过点P做于点H，证得，平面，可求的体积. （2）分别用表示，将化为的函数从而可求范围. 【详解】（1）取中点O，中点M，连接. 因为底面为直角梯形，，，， 所以， 因为O为中点，所以，因为， 所以为的二面角，即， 过点P做于点H， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 因为平面⊥平面，，平面，所以平面. 因为，，所以，因为，所以， 因为直角梯形的面积， 所以的体积； （2）因为N是的中点， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 61．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. (1)若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明： 平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 (3) 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. （3）由点到平面的距离结合二次函数在区间的值域求解即可. 【详解】（1）分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； （2），，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接， ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. （3）由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令 ， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 62．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【详解】（1）因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 63．（24-25高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 64．（2025高二上·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用数量积即可得证； （2）假设存在满足条件的点E，则存在，使得，利用夹角公式，结合直线与侧面所成角的正弦值为，列式求解即得. 【详解】（1）点在底面上的投影为的中点， 平面， 平面， ， 又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，为菱形， ， 在中，有， ， ， ； （2）由（1）得，. 假设存在满足条件的点，则存在，使得， 则． 设平面的一个法向量为,则, ，令，则. 直线与侧面所成角的正弦值为， ， 即，解得， 又，故， 因此存在满足条件的点，且， 即． 65．（2022·江苏淮安·模拟预测）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点． (1)求证：DF∥平面PBE： (2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得； （2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得. 【详解】（1）设PB的中点为G点，连接GF和GE， 因为点G、点F分别为PB和PC的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形GFDE为平行四边形， 所以，又GE平面PBE，DF平面PBE， 所以DF∥平面PBE； （2）由二面角的大小为可知，平面平面， 取BE得中点O，连接，则，平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面PCD的法向量为， 则， 令则，又， 所以点A到平面PCD的距离为. 66．（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． (1)在三棱锥中，证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线面垂直再证线线垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【详解】（1）    由，得，且为的中点， 所以，     取中点为，连接，， 可得， 在中，，     在中，，     所以， 所以     因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）如图，过点作，交于点， 以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．    则，，，， 在中，可得点到距离为， 故可得，     ，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 平面与平面的夹角为， 由,取， 所以，     由,取， 所以， 所以 所以两平面的夹角的余弦值为. 67．（22-23高三上·福建·阶段练习）如图，将两个三棱锥组合得到一个几何体，且平面平面. (1)证明：平面平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，. 因为， 所以，且. 又，所以，则. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面且交线为，平面，所以平面. 因为平面，所以，且. 过点作交于点，则，. 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，则，令，得. ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 68．（2022·广东茂名·模拟预测）某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，用向量法求与平面所成角的正弦值； （2）假设存在这样的点P，设，由和联立解出，即可求解． 【详解】（1）（1）由长方体可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，.所以. 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则，，故， 所以，故与平面所成角的正弦值为； （2）由（1）可知，，，所以，假设存在这样的点P，设，由题意可知，所以，因为，则有，所以，又，所以，解得（舍），，所以当时，，此时点到直线的距离为． 69．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中有两个定点，，已知动点M在平面中且M到A，B两点的斜率乘积为，点D为定点 (1)求动点M的轨迹方程 (2)如图，在空间中有一点C在平面上方，满足CA⊥平面，且，探究直线CD与CM的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由. (3)在平面上过点做直线l，交点M的轨迹于P，Q两点，设Q点关于y轴对称的点为H，连接HP，求当点C到直线HP距离最大时，直线HP与平面ABC夹角的正切值. 【答案】(1)（） (2)是定值， (3) 【分析】（1）设动点坐标，由题意列出等量关系，化简求得动点轨迹方程； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，由求得未知数的值.设坐标由空间向量求得两直线夹角的余弦值，结合的轨迹方程，求得夹角余弦值，从而得出夹角； （3）通过点的坐标设直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元得到关于的二次方程，设交点坐标，，由韦达定理建立等量关系，从而求出直线的方程，以及定点坐标，从而得到点到直线的最大距离，以及此时，由线面垂直的判断证明平面CAK，由线线角得到线面角. 【详解】（1）设点M在平面直角坐标系中坐标为，则， 解得点M的轨迹方程为（）； （2）如图，过点O做与向量方向做轴，与原坐标系中轴，轴组成空间直角坐标系， 点C在平面上方，且平面， 设C ，则D ， 因为，所以，解得. 设点M坐标为， ，， 设向量与向量夹角，则， 由，得， 代入得， 所以角； （3）在平面直角坐标系中，设直线的方程为， 与点M的轨迹方程（）联立，得， 设点P，Q的坐标为，，则H点坐标为， 有，，PH直线方程为， 令，得， 所以直线PH过定点， 点C到直线HP距离，当且仅当时成立， 此时因为平面，平面， 所以，平面CAK，平面CAB，， 所以平面CAK， 又因为平面CAK，所以， 此时，， 又直线HP与平面ABC夹角为锐角， 所以直线HP与平面ABC夹角的正切值为 【点睛】方法点睛：在求点到动直线距离最大时，只需找到点的定点。所以本题通过已知直线与椭圆的交点求得动直线方程，找到定点即可完成后面的线面角问题. 70．（24-25高二上·北京房山·期末）对于空间向量，定义：，．且． (1)若，求及； (2)是否存在？若存在，写出一个；若不存在，说明理由； (3)证明：对于任意，必存在，使． 【答案】(1)0；2 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义写出和，即可求解； （2）利用即可求解； （3）利用反证法，假设，然后得出矛盾，即可证明. 【详解】（1）若，则，所以， 则，， 所以，； （2）不存在. 不妨设，所以，相加得， 因为，所以， 因为，所以不存在满足条件的； （3）设， 假设对，即均不为0． 所以．即， 又因为， 所以． 所以，与矛盾，故假设不正确， 综上，对于任意，必存在，使. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键是利用为整数，得到假设不成立. 71．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【答案】(1)2 (2) (3)10 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值； 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解； （3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作 交于点，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以 ， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为 ， 所以为直线与所成的角，即， 设，则， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； （2）法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， ， 令，得， ， 设平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为. （3）依题意，又， 所以，又 ，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作 交于点，在上取点，使得，连接， 所以 且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 72．（25-26高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为 的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的余弦值. （2）在平面上取一点，利用空间向量的方法求点到面的距离即可证明；分析出所围成的几何体为为正八面体，利用点到平面距离公式求出半径即可求解内切球的表面积. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【详解】（1）由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为. 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： ． 对于，当时，表示经过，，的空间直角坐标系在第一卦限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体， 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则． 所以内切球的表面积为． （3）因平面经过三点，，， 可得，， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，，可得， 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面， 可知平面的一个法向量为， 由，，则，， 解得，即， 故平面与平面夹角的余弦值为： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $