第4章 三角形（知识清单）数学新教材湘教版八年级上册

第四章 三角形 1、三角形基础 定义与构成：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 2、三角形的分类： 按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（包含等边三角形）。 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3、三角形的三边关系：这是中考的常考点。 定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 推论：三角形的任意两边之差小于第三边。 应用技巧：判断三条线段能否组成三角形，只需验证最短的两条线段之和是否大于最长的线段。 4、三角形中的重要线段 高：从顶点向对边所作的垂线段。钝角三角形的高有时在三角形外部，是易错点。 中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点（重心），中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 角平分线：平分内角的线段。三条角平分线交于一点（内心）。 5、三角形的角度关系 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 6、命题与证明 命题的结构：一个命题通常由条件和结论两部分组成，可以写成"如果……那么……"的形式。 真假命题与反例：反例是判断一个命题是假命题的有效方法。 逆命题：将一个命题的条件和结论互换，就得到它的逆命题。原命题正确，逆命题不一定正确。 证明方法： 综合法：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，逐步推理出结论。 反证法：假设结论不成立，由此推理出与已知条件或公理、定理矛盾的结果，从而证明原结论成立。 7、 全等三角形 全等三角形是证明线段相等、角相等的强大工具，是本章的核心与难点。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。在证明过程中，书写对应关系是关键。 全等三角形的判定 下表是五种判定方法，需要熟练掌握并在复杂图形中灵活选用。 判定方法 简称 所需条件 边边边 SSS 三边对应相等 边角边 SAS 两边及其夹角对应相等 角边角 ASA 两角及其夹边对应相等 角角边 AAS 两角及其中一角的对边对应相等 重要提示："SSA"（边边角）和"AAA"（角角角）不能作为判定三角形全等的依据。 全等三角形的应用：主要用于证明几何问题中的边角关系，也用于解决实际测量问题，如测量河宽、瓶子的内径等。 8、尺规作图 尺规作图是几何直观能力的重要体现。 基本作图：包括作一个角的平分线、作一条线段的垂直平分线、作一个角等于已知角等。 作三角形：根据已知条件（如SSS、SAS、ASA）作三角形。 应用作图：例如，已知底边及底边上的高线作等腰三角形。 9、 等腰三角形与等边三角形 （1）等腰三角形性质定理：等边对等角，即等腰三角形的两底角相等。 "三线合一"定理： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线互相重合。这是一个非常重要且常用的性质。 （2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（"等角对等边"）。 （3）等边三角形 性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°。 （4）判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 10、线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 判定定理（逆定理）：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 作图：会利用尺规作一条线段的垂直平分线。 一、三角形的三边关系 易错点：忽略“任意”二字，仅验证两边和大于第三边的一种情况。 策略：需验证两边和大于第三边的三种组合，或直接验证最小两边之和大于最大边。 1．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列各组长度的线段，能构成三角形的一组是（   ） A．3，6，3 B．2，3，3 C．1，3，4 D．1，3，5 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边的关系，解题的关键是把两个较短的线段相加的和与较长的线段比较．根据三角形三边的关系，逐一分析判定即可． 【详解】A．，∴3，6，3不能构成三角形，本选项不符合题意； B．，∴2，3，3能构成三角形，本选项符合题意； C．，∴1，3，4不能构成三角形，本选项不符合题意； D．，∴1，3，5不能构成三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）等腰三角形的周长为，其中一边长，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和底边长为两种情况，求出对应情形下的腰长或底边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形符合题意； 当底边长为时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，底边长为或． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系，进行求解判断即可． 【详解】解：由题意得：， 即：， 故选：C． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，，是的三边长，，． (1)求的取值范围； (2)若是小于8的偶数，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故的取值范围． （2）解：因为是小于8的偶数， 所以或． 当时，，是等腰三角形； 当时，，是等腰三角形； 综上，是等腰三角形． 二、三角形中线的应用 易错点：混淆中线与角平分线、高的性质，忽视中线平分面积的性质。 策略：牢记中线平分对边，将三角形分为两个面积相等的小三角形，可用于面积计算。 5．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中线与面积的关系，由是的中线可得出，由是的中线可得出． 【详解】解：∵是的中线，且， ∴， 又∵是的中线, ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出和的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即与的长度之比是， 故选：C． 7．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，为的中线，E为边的中点，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此先求出的面积，进而可求出的面积． 【详解】解：∵E为边的中点，的面积为4， ∴， ∵为的中线， ∴， 故答案为：16． 三、三角形角平分线的性质 易错点：将角平分线的“点到角两边距离相等”性质错误应用于非距离线段。 策略：角平分线性质定理中的“相等线段”必须是由角平分线上点向两边所作的垂线段。 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的含义，先求解，，进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 10．（湖北省武汉外校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，然后利用旋转角的定义即可求解，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转定义可知：旋转角， 故选：． 11．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和外角． 延长交于点，利用三角形的内角和定理及对顶角相等求出，然后再利用三角形外角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ∴， ∴， 故选：C． 12．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，五角星中，，，，的和是多少度？请证明你的结论． 【答案】，见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用以及三角形的外角的定义及性质，根据，，即可求解； 【详解】解：．理由如下： ∵，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 三角形内角和定理， ∴等量代换． 13．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线求解，然后由，即可求解 的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 四、反证法的应用 易错点：假设结论不成立后，推理出的矛盾点不明确或与已知条件无关。 策略：第一步必须假设结论反面成立，然后严格推理，得出与已知条件或公理、定理相矛盾的结论。 14．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 15．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设 ． 【答案】三角形三个内角都小于 【分析】本题考查反证法．写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时， 应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都小于． 故答案为：三角形三个内角都小于． 16．（25-26八年级上·山东·课后作业）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 18．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【答案】见解析． 【分析】查了反证法．解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：假设与相交于点， 则过点有两条直线平行于直线， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以， 所以平行于同一条直线的两直线平行． 五、用SSS证明三角形全等 易错点：未将三边对应相等作为条件列出，或忽视公共边这一隐含条件。 策略：明确列出三组边对应相等，注意寻找图形中的公共边作为一组对应边。 19．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞，在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴，， ∴，即， ∵， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)与不一定平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记全等三角形的判定方法，即如果两个三角形满足三条边分别相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先得出，再利用“边边边”即可求证； （2）先得出，再利用“边边边”即可求证； （3）先由已知条件不能判定全等，得出不能得出内错角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ． （2）解：成立， 理由：， ，即， 在和中， ， ． （3）与不一定平行， 理由：在和中，仅有不能判定它们全等，即不能得出， 故与不一定平行． 21．（19-20七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 22．（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）证明，得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 六、用SAS证明三角形全等 易错点：误用“边边角”（SSA）进行判定，未能确保角是两边的夹角。 策略：严格确保相等的角是两组对应边的夹角，这是SAS判定的关键前提。 23．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，则，即，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 24．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定，三角形的高、中线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的平分线，则，然后通过“”即可求证； （）由是边上的高，，，可得，由是边上的中线，从而求解． 【详解】（）证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴； （）解：∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 25．（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 26．（25-26八年级上·吉林辽源·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质；证明是解题的关键．设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则． 【详解】解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 七、用ASA（AAS）证明三角形全等 易错点：混淆ASA与AAS，未能准确识别“夹边”与“对边”。 策略：ASA中边是两角的夹边；AAS中边是其中一角的对边，审题时务必分清。 27．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由与相交于点，得到，根据即可证明结论． 【详解】证明：与相交于点， ， 在和中， ， 29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 求证： (1)； (2)若，．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，根据余角的性质可得，然后根据AAS证明即可； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵，，． ∴，， ∴， ∴． 八、尺规作图的应用 易错点：作图步骤混乱，关键作图痕迹（弧线）保留不完整，导致无法体现作法。 策略：严格按基本作图步骤操作，保留清晰的作图辅助线（弧线），并写出规范的作图结论。 31．（25-26八年级上·天津南开·阶段练习）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1至图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点．作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图和全等三角形的判定定理，掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理是解题的关键． 由作图可得、、，再结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由作图可得，、、， 在和中， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是． 故选：B． 32．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】由作图可知，在和中， ， ， 即 ． 故选：D． 33．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 34．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O′B′的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查作图-基本作图，直线的性质：两点确定一条直线，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：作射线的依据是两点确定一条直线． 故答案为：甲． 35．（25-26八年级上·北京·阶段练习）尺规作图：“经过直线外一点作这条直线的平行线”． 已知：直线l和l外一点P 求作：过点P作直线l的平行线．（至少用两种方法） 【答案】见解析； 【分析】本题考查平行线作图，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：方法一：在直线上任取两点，作直线，在直线的同侧，作，然后过点P、E即可作出直线．如图，直线即为所求． 方法二：在直线上任取一点A，连接并延长；以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和线段于点B，C，以点P为圆心，以长度为半径画弧，交线段于点D，以D为圆心，以长度为半径画弧，与上一圆弧交于点E，作直线，即为直线m，所以直线m即为所求. 36．（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作，交于点． (2)求的各内角的度数． 【答案】(1)见详解 (2)，， 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点D作，则，即可作答． （2）先根据三角形外角性质得，由三角形的角平分线的定义得，最后结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵，． ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在中，． 重难点01 三角形内角和与角平分线的综合 37．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去（虚线与边、分别交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质．先求得，再利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：为直角三角形，， ， ． 38．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平角的定义，由折叠的性质可知，，，，根据平角的定义可得：，因为可得：，根据三角形内角和定理可以求出，所以可得，再利用平角的定义可以求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 39．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、图形类规律探索，总结归纳出的度数规律是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，进一步得出，即可求出． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当时， 故答案为：． 40．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∴， 故选B． 41．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 42．（25-26八年级上·天津·阶段练习）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）． (1)如图1，，若，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (2)如图2，，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点，延长至点，的角平分线与射线相交于点，点A、B在运动的过程中，试探索与之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得的度数； （2）与（1）同理，只是把内角平分线转化为外角平分线，借助外角的性质即可得结论； （3）根据内角和外角平分线的定义可得，再利用可得结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ． （2）解：与的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：．如图：   与的角平分线相交于点， ，， 由外角的性质可得：，， ． 平分，平分， ， ，即． 重难点02 三角形的高与角平分线的综合 43．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图，在中，平分交于点，是边上的高，与相交于点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．根据是边上的高，可得，结合平分，，可得，即可得，根据对顶角性质即可得出的度数． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 44．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键； （1）的面积为； （2）由题意得，进而得即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若、分别是、的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形的高，中线的定义； （1）先利用互余计算出，再利用角平分线的定义得到； （2）根据三角形的中线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）， ， 是的角平分线． ； （2）∵、分别是、的中点， ∴， ∵，， ∴． 46．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，AD，AE分别为BC边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出，再计算出，继而得到，再利用角平分线定义得，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵AD为BC边上的高线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵AE为的角平分线， ∴， ∴． 重难点03 添加条件证明三角形全等 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 48．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，要证明，应添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“边角边”解答即可. 【详解】解：由，若，则根据可证． 故选：B. 49．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．根据得出，结合，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边． 【详解】解：∵， ∴， 又， 则添加①，； 添加②，与不全等； 添加③，； 添加④，． 则能使的条件是①③④． 故选：D． 50．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，已知点在一条直线上，，添加一个条件 ，使（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质；根据全等三角形的判定添加合适的条件即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①添加（答案不唯一）， 证明如下：∵， ∴， 即， ∵ ∴ 在中， ∴， ②添加 在中， ∴， ③添加 在中， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 重难点04 全等三角证明的综合问题 51．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点E、F在线段上，，，． (1)如图1，求证：； (2)直接写出图2中所有互相平行的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，结合全等三角形性质进而证明，得到，进而即可证明； （2）根据全等三角形性质和判定，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 综上所述，，， ，． 52．（25-26八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，在中，，，．求的值． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，的平分线交于点，延长交于点，，分别在边，上，连接，，其中，． ①若，求的度数． ②求证：． 【答案】（1）140（2）①；②见解析 【分析】（1）求出，根据，．得，得． （2）①根据三角形内角和与角平分线定义可得， 再根据外角性质即可求出；②在线段上取一点G，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∴的值是140． （2）①∵在中，， ∴． ∵，的平分线交于点D， ∴． ∴． ∵， ∴． ②在线段上取一点G，使，连接．如图所示： ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵为的一个外角， ∴． ∵ 为的一个外角， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作辅助线，是解决问题的关键． 53．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明； （2）证明，，，得到； （3）过点作于点，证明，则，证明，则，即可得到； （4）为直角边，和 为直角边，，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ （4）当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ ∴ 当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ 综上可知，的面积为或． 54．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 55．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角的等量代换易证，从而证明，得到，再根据外角的性质分别表示出，，结合对顶角相等即可证明； （2）同（1）可证得，进而得到，设交于，过作，交的延长线于，于，则，易证 ， 得到， 根据，， 利用角平分线的判定定理可得， 从而可求得的度数． （3）延长至，使，连接，设与的交点为，易证，得到，，，从而得到，根据外角的性质、内角和定理进行角的等量代换可得，从而证得，得到，结合，等量代换易证，即，根据是的中点，可得，进而得到，结合，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，设交于，过作，交的延长线于，于，则， ，， ， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接，设与的交点为， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的中点， ， ， 又， ． 56．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 57．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由垂直得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点E作交延长线于点N，证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两种情况：当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N，设，则，证明及即可求出结论；点D在线段上，同理，设，则，求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图，过点E作交延长线于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当点D在直线上时，连接交直线于M，交的延长线于N， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图，点D在线段上， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 重难点05 倍长中线模型的应用 58．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 【答案】[探究与发现] B ；[变式与应用] C； [问题拓展]见详解 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． [探究与发现]延长至点E，使，利用“边角边”可证； [变式与应用]延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； [问题拓展] 延长到M，使，即，连接，依次证明，，即可证明结论． 【详解】[探究与发现]解：延长至点，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ， 在和中， ， ∴， 故选：B； [变式与应用] 解：延长到，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； [问题拓展] 证明：延长到M，使，即，连接，如图3所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 59．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 60．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，根据定理证明，可得结论； （2）延长至点，使得，连接．证明，得出，，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长交于点，延长到，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，，即可证明结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， 是中点， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， 同可知，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 61．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）详见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形． （1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长至，使，可证明，可得，，从而得到，再根据以及三角形外角的性质可得，可证明，可得到，即可求证． 【详解】解：（1）延长到点 E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； 故选：B （2）∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴； 故选：C （3）延长至，使， 是的中线， ， ∵，， ， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 62．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中，， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 重难点06 一线三垂直模型的应用 63．（2022·西藏·一模）如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一，全等的性质与判定综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据等腰三角形三线合一得出，，再利用勾股定理求得，然后根据证明，从而可利用全等三角形的性质得出，进而求得， 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴， ∵、、、是四根长度均为的火柴棒， ∴， ∴为边的中线，为边的中线， ∴，， ∴， ， ∴， ∵点A、C、E共线， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：B． 64．（13-14九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 65．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 66．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 【答案】（1），证明见解析；（2）或 【分析】（1）过点作于点，证明，，推出，，等量代换可得； （2）分三种情况：点D在线段上，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，参照（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：. 证明：过点作于点， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ，， . （2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F， 由（1）可知， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得， ，， ， ， ， ， ，即； 当点在线段的延长线上时，过点作于点， 同理证得， ，， ， ， ， ， . 综上可得的度数为或 67．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）（3）2（4）6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键； （1）由题意可得可得出，再证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （2）同（1）证可得，然后根据线段的和差和等量代换即可证明结论； （3）过E作于M，的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知，，证得，继而得出，，据此求解可得答案． （4）证明，可得，再作，可得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过E作于M，的延长线于N，    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则 ． （4）∵，， ∴， 又∵， ∴， ． 如图所示，过点A作于，则，． ， ． ， 与的面积之和为6． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解． 【详解】（1）解：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）解：如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； （3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴； ②解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 重难点07 手拉手模型的应用 69．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 70．（21-22七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（2），证明见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由： 如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 71．（24-25七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 如图3，点D是等边外一点，若，，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）根据得，再根据，可依据判定得，，再根据三角形内角和定理得，由此即可得出与的数量关系及位置关系； （2）根据等腰直角三角形性质得，，，，进而可依据判定得，由此即可得出，，之间的数量关系； （3）以为边，构造等边三角形，连接，过点B作，交的延长线于点F，易得为等腰直角三角形，进而求出，的长，勾股定理求出的长，同（1）法可得：，得到，即可得解． 【详解】（1）解：与的数量关系为：，位置关系为：，理由如下： 设与相交于点F，交于点H，如图1所示： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：，，之间的数量关系：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以为边，构造等边，连接，过点B 作，交的延长线于点F， 则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即 ∴， ∴． 72．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 73．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 74．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）C （3）是， （4）是， 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． （4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． （4）是，。 理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4， ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∴，是定值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 75．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析，或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）分两种情况：①当E在下方时，如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论；②当E在上方时，如图4，得，证明，则有，，从而可得；在中，由勾股定理得三线段间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当E在下方时，如图3， 存在的数量关系为， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②当E在上方时，如图4， 存在的数量关系为， ∵，， ∴； 又∵，， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得, ∴． 重难点08 等腰三角形的性质 76．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分当顶角为时，当为底角时两种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当顶角为时， 则它的底角度数为； 当底角为时，其底角为， ∴它的底角度数为或， 故选：． 77．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 78．（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中， ， ，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法①③；；⑤；正确的是（    ） A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形中线的性质，三线合一，由三角形中线的定义可得，再由三角形周长计算公式可得，据此可判断①；可推出，，再证明，可得，据此可判断②；可证明 ，再由，可证明，据此可判断③；可证明，再由角平分线的定义可判断④；利用等面积法即可判断⑤． 【详解】解：是的中线， ， 的周长，的周长， 的周长的周长，故①说法正确； 在中，， ， ，， 又，，，是角平分线， ， ，故②说法不正确； ，是的高， ，， 是的角平分线， ， ， ， ，故③说法正确； ，是的高， ，， ， 是的角平分线， ， ，故④说法正确； ⑤，，，，是的高， ， ， ，故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 79．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，点为内一点，分别作出点关于的对称点，连接交于，交于，，则 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理和三角形内角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质． 由对称可得，则设，再由三角形的外角定理可得，然后在中，由三角形内角和定理可得，则，再代入求解即可． 【详解】解：由对称可得， ∴， 设， ∴由三角形的外角的性质可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴， ∴， 故答案为：． 80．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边对等角，等腰三角形三线合一的性质． 由等角对等边得到，由等腰三角形的性质推出，结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 重难点09 等腰三角形的判定 81．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 82．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，推得，，根据等角对等边得出，，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 83．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，角平分线有关计算．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的关键． 根据、分别平分、的外角，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 同理可得 ，， ， ， 故答案为：． 84．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 重难点10 等边三角形性质与判定的综合 85．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据是等边三角形，可得：，，根据可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中，， ， ，， 是等边三角形， ． 故答案为：． 86．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等边三角形中，D为边的中点，点E，F分别是边上的点，且．若，求的长． 【答案】 【分析】本题需要通过作辅助线，利用等边三角形的性质、三角形内角和以及三角函数来求解的长度． 【详解】解：如解图，连接，过点D分别作于点G，于点H． 为等边三角形， ． ， ． ． ，为边的中点， 平分． 在和中， ． 过点E作于点P． ． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，掌握利用等边三角形的性质构造全等三角形，结合三角函数求解线段长度是解题的关键． 87．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）（1）课本再现：如图1，是等边三角形，，分别交，于点，．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ，，， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ，． ， ，①__________， ②__________=③__________， ．（④__________） 是等腰三角形． 又，是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 【答案】(1) ①；②：③；④等角对等边；(2) 答案见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质可知，，再根据“两直线平行，同位角相等”可推导、，进而得到，由“等角对等边”的性质即可证明是等腰三角形，进而证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质可知，再根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可知，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】解：(1)∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴．（等角对等边） ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形． 故答案为：①；②：③；④等角对等边； (2)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 88．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，平分，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得证； （2）由（1）可知：，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】（1）证明：为线段的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：由（1）可知：， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， 是等边三角形． 89．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，求得，证明，即可得到结论； （2）根据得出，再根据“”即可得到结论； （3）由（2）知，，推出是等边三角形，得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 90．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，，直接写出的周长：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题重点考查等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由题意直接作图即可； （2）由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则，即可根据“”证明，即可得出结论； （3）由，，得，再证明是等边三角形，则，所以，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即的周长是． 故答案为：． 重难点11 线段垂直平分线的性质与判定 91．（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 92．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的有（     ）个 ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据作图的过程可知，是的平分线，则①正确；由角平分线的定义可得，则，则②不正确；结合线段垂直平分线的性质可知点不在的中垂线上，则③不正确；由题意可知，，则，则④不正确． 【详解】解：根据作图的过程可知，是的平分线， 故①正确，符合题意； ，， ． 是的平分线， ， ， 故②不正确，不符合题意； ③，， ， 点不在的中垂线上， 故③不正确，不符合题意； 由题意得，， ， 故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 93．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）满足到A、B两个加油站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． （2）过点P作直线，然后作即可得出直线 【详解】（1）解：如图实数，作线段的垂直平分线交的角平分线于点P，则点P即为所求． （2）如图所示，直线即为所求． 94．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】17 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到周长，即周长的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， 即周长的最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 故答案为：17 95．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，为底边的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，由中垂线的性质，得到，进而得到，由三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 96．（2025八年级上·全国·专题练习）按要求用尺规作图，无须写出作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，现要在三角形土地ABC上建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到AB和AC的距离也相等．请确定这个中心医院Q的位置． (2)如图②，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等．请确定发射塔P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1） 作的垂直平分线和的角平分线，交点为． （2） 作的垂直平分线和的角平分线，交点为． 【详解】（1）解：如图①，点即为这个中心医院的位置． （2）解：如图②，点或即为发射塔的位置． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的尺规作图应用，熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 97．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 【答案】(1)20 (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上； （3）解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 98．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；. （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 99．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 试卷第2页，共128页 24 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 1、三角形基础 定义与构成：由不在同一直线上的三条线段 所组成的图形。 2、三角形的分类： 按边分：三边都 的三角形、等腰三角形（包含等边三角形）。 按角分：锐角三角形、 三角形、钝角三角形。 3、三角形的三边关系：这是中考的常考点。 定理：三角形的任意两边之和大于 。 推论：三角形的 小于第三边。 应用技巧：判断三条线段能否组成三角形，只需验证最短的两条线段之和是否大于最长的线段。 4、三角形中的重要线段 高：从顶点向对边所作的 。钝角三角形的高有时在三角形外部，是易错点。 中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点（重心），中线将三角形分成 的三角形。 角平分线：平分内角的线段。三条角平分线 （内心）。 5、三角形的角度关系 内角和定理：三角形三个内角的和等于 。 外角性质： 三角形的一个外角等于 。 三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角。 6、命题与证明 命题的结构：一个命题通常由 和 两部分组成，可以写成"如果……那么……"的形式。 真假命题与反例： 是判断一个命题是假命题的有效方法。 逆命题：将一个命题的条件和结论 ，就得到它的 。原命题正确，逆命题 正确。 证明方法： 综合法：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，逐步推理出结论。 反证法：假设 ，由此推理出与已知条件或公理、定理 结果，从而证明原结论成立。 7、 全等三角形 全等三角形是证明线段相等、角相等的强大工具，是本章的核心与难点。 全等三角形的性质：对应边 ，对应角 。在证明过程中，书写对应关系是关键。 全等三角形的判定 下表是五种判定方法，需要熟练掌握并在复杂图形中灵活选用。 判定方法 简称 所需条件 边边边 三边对应相等 SAS 两边及其夹角对应相等 角边角 两角及其夹边对应相等 角角边 AAS 重要提示： 和 不能作为判定三角形全等的依据。 全等三角形的应用：主要用于证明几何问题中的边角关系，也用于解决实际测量问题，如测量河宽、瓶子的内径等。 8、尺规作图 尺规作图是几何直观能力的重要体现。 基本作图：包括作 、作一条线段的 、作一个角等于 等。 作三角形：根据已知条件（如 ）作三角形。 应用作图：例如，已知底边及底边上的高线作等腰三角形。 9、 等腰三角形与等边三角形 （1）等腰三角形性质定理： ，即等腰三角形的两底角相等。 "三线合一"定理： 等腰三角形底边上的 、 及 互相重合。这是一个非常重要且常用的性质。 （2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（ ）。 （3）等边三角形 性质：等边三角形的 ，三个内角 。 （4）判定： 三 三角形是等边三角形。 的等腰三角形是等边三角形。 10、线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点 。 判定定理（逆定理）：到一条线段两端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。 作图：会利用尺规作一条线段的垂直平分线。 一、三角形的三边关系 易错点：忽略“任意”二字，仅验证两边和大于第三边的一种情况。 策略：需验证两边和大于第三边的三种组合，或直接验证最小两边之和大于最大边。 1．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）下列各组长度的线段，能构成三角形的一组是（   ） A．3，6，3 B．2，3，3 C．1，3，4 D．1，3，5 2．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）等腰三角形的周长为，其中一边长，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，，是的三边长，，． (1)求的取值范围； (2)若是小于8的偶数，试判断的形状． 二、三角形中线的应用 易错点：混淆中线与角平分线、高的性质，忽视中线平分面积的性质。 策略：牢记中线平分对边，将三角形分为两个面积相等的小三角形，可用于面积计算。 5．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 7．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 8．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）如图，为的中线，E为边的中点，若的面积为4，则的面积为 ． 三、三角形角平分线的性质 易错点：将角平分线的“点到角两边距离相等”性质错误应用于非距离线段。 策略：角平分线性质定理中的“相等线段”必须是由角平分线上点向两边所作的垂线段。 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（湖北省武汉外校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，五角星中，，，，的和是多少度？请证明你的结论． 13．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 四、反证法的应用 易错点：假设结论不成立后，推理出的矛盾点不明确或与已知条件无关。 策略：第一步必须假设结论反面成立，然后严格推理，得出与已知条件或公理、定理相矛盾的结论。 14．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 15．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设 ． 16．（25-26八年级上·山东·课后作业）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 18．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 五、用SSS证明三角形全等 易错点：未将三边对应相等作为条件列出，或忽视公共边这一隐含条件。 策略：明确列出三组边对应相等，注意寻找图形中的公共边作为一组对应边。 19．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞，在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 21．（19-20七年级下·甘肃兰州·期末）如图：和中，；试说明． 22．（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 六、用SAS证明三角形全等 易错点：误用“边边角”（SSA）进行判定，未能确保角是两边的夹角。 策略：严格确保相等的角是两组对应边的夹角，这是SAS判定的关键前提。 23．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，，，，求证：． 24．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 25．（19-20八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 26．（25-26八年级上·吉林辽源·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接，求的度数． 七、用ASA（AAS）证明三角形全等 易错点：混淆ASA与AAS，未能准确识别“夹边”与“对边”。 策略：ASA中边是两角的夹边；AAS中边是其中一角的对边，审题时务必分清。 27．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 30．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 求证： (1)； (2)若，．求四边形的面积． 八、尺规作图的应用 易错点：作图步骤混乱，关键作图痕迹（弧线）保留不完整，导致无法体现作法。 策略：严格按基本作图步骤操作，保留清晰的作图辅助线（弧线），并写出规范的作图结论。 31．（25-26八年级上·天津南开·阶段练习）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图1至图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点．作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．则的度数为（    ）． A． B． C． D． 33．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O′B′的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）． 35．（25-26八年级上·北京·阶段练习）尺规作图：“经过直线外一点作这条直线的平行线”． 已知：直线l和l外一点P 求作：过点P作直线l的平行线．（至少用两种方法） 36．（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作，交于点． (2)求的各内角的度数． 重难点01 三角形内角和与角平分线的综合 37．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去（虚线与边、分别交于点，求的度数． 38．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 39．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 40．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）． 42．（25-26八年级上·天津·阶段练习）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）． (1)如图1，，若，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (2)如图2，，与的角平分线相交于点，的度数为_____； (3)如图3，若，与的角平分线相交于点，延长至点，的角平分线与射线相交于点，点A、B在运动的过程中，试探索与之间的等量关系，并证明你的结论． 重难点02 三角形的高与角平分线的综合 43．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图，在中，平分交于点，是边上的高，与相交于点，且，求的度数． 44．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 45．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若、分别是、的中点，，，求的面积． 46．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，AD，AE分别为BC边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，求的度数． 重难点03 添加条件证明三角形全等 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，要证明，应添加条件（    ） A． B． C． D． 49．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 50．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，已知点在一条直线上，，添加一个条件 ，使（填一个即可）． 重难点04 全等三角证明的综合问题 51．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点E、F在线段上，，，． (1)如图1，求证：； (2)直接写出图2中所有互相平行的线段． 52．（25-26八年级上·江西上饶·阶段练习）【课本再现】 （1）如图1，在中，，，．求的值． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，的平分线交于点，延长交于点，，分别在边，上，连接，，其中，． ①若，求的度数． ②求证：． 53．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 54．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 55．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 56．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 57．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值 重难点05 倍长中线模型的应用 58．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 59．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 60．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 61．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 62．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 重难点06 一线三垂直模型的应用 63．（2022·西藏·一模）如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 64．（13-14九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 65．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 66．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 67．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 重难点07 手拉手模型的应用 69．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 70．（21-22七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 71．（24-25七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 如图3，点D是等边外一点，若，，，求线段的长． 72．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 73．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 74．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 75．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 重难点08 等腰三角形的性质 76．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 77．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 78．（25-26八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中， ， ，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法①③；；⑤；正确的是（    ） A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 79．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，点为内一点，分别作出点关于的对称点，连接交于，交于，，则 ． 80．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 重难点09 等腰三角形的判定 81．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 82．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 . 83．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 84．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 重难点10 等边三角形性质与判定的综合 85．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ． 86．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等边三角形中，D为边的中点，点E，F分别是边上的点，且．若，求的长． 87．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）（1）课本再现：如图1，是等边三角形，，分别交，于点，．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ，，， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ，． ， ，①__________， ②__________=③__________， ．（④__________） 是等腰三角形． 又，是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 88．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，平分，判断的形状，并说明理由． 89．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． 90．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，，直接写出的周长：________． 重难点11 线段垂直平分线的性质与判定 91．（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 92．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的有（     ）个 ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④． A．0 B．1 C．2 D．3 93．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 94．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ． 95．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，为底边的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．为线段上一点，则的最小值为 ． 96．（2025八年级上·全国·专题练习）按要求用尺规作图，无须写出作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，现要在三角形土地ABC上建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到AB和AC的距离也相等．请确定这个中心医院Q的位置． (2)如图②，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等．请确定发射塔P的位置． 97．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 98．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 99．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 试卷第2页，共128页 11 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $