专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·江苏无锡·二模）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． （2025·山东威海·模拟检测）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，点E为边上的一个动点（与点A、D不重合），，交对角线于点F，交对角线于点G，交边于点M，那么下列结论中，①，②，③，④．上述四个判断中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 例2（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，，，，∠FDE=45°，则BC的长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点在边上，且，，在边上取一点．连接和，过作交于，当时，的长为 ．    例4（2025·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ． （2）若，则 ． 例5（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，若，，则的长是 ． 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 2．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 3．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 4．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）【实践探究】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易得：，且，，三点共线，求证：． （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你找出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，、在矩形的边、上，，，，，直接写出的长． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在正方形中，点是上一个动点，，射线交直线于点F． (1)如图1，点E在线段的延长线上时，请直接写出线段、和的数量关系． (2)如图2，点E在线段上时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点E在线段的延长线上时，交于点H，过点D作于点M，交于点K，，，求线段的长． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号) 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 8．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 10．（2024·广东惠州·二模）综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空： ①的度数为 　　； ②若，则的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 11．（24-25九年级上·河南南阳·期末）【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 13．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】 有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】 （1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    16．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发学习兴趣，提高动手动脑能力，改进学习方法，提高学习效率．      (1)发现解决：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，，如图①，则=　 　；线段之间的数量关系为 　 　； (2)类比引申：如图②，在矩形中，连接对角线，四边形是正方形，如果=，则矩形的面积是多少？ (3)拓展应用：如果图①中正方形纸片的边长为，沿剪开，再进行折叠，重合，折痕为．点上，，如图③，则的周长是多少？ 17．（2025九年级·全国·专题练习）已知：如图边长为2的正方形中，的两边分别交、边于、两点，且 (1)求证：； (2)若、交对角线于、两点．设，，求与的函数关系式． 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在矩形中，，E为边上一点，    (1)如图1，若交于F，求证： (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，若G为边上一点，平分，且，求的长 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在正方形中，．、分别交、于E、F，交于H、G．    (1)请判断与是否相似，并说明理由； (2)求证：； (3)连接，求的值． 20．（2025·山东泰安·二模）如图，点E，F在正方形的对角线上，．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，延长交于点G，连接．判断的形状，并说明理由． 21、（2024山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．    (1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系； (2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明； (3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长． 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图①，在正方形中，为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图②，在菱形中，AC为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，AF的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N． ①求证：； ②若，，连接MN，当时，求的长． 23、（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，正方形的边长为2，E，F为线段上两动点（不与A，C点重合），且． (1)求证：． (2)试说明无论点E，F在线段上怎样运动，总有． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·江苏无锡·二模）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是正方形，则，所以，可判断；把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，，证明，然后根据性质可判断；证明，则，从而判断，由四边形是正方形，，，，，证明，通过相似三角形性质可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图， 把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （2025·山东威海·模拟检测）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，点E为边上的一个动点（与点A、D不重合），，交对角线于点F，交对角线于点G，交边于点M，那么下列结论中，①，②，③，④．上述四个判断中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得， ，可以证明，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴，故①不正确； ∵， ∴，故②正确； ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴与不相似，故④不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键． 例2（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，，，，∠FDE=45°，则BC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作FN⊥BD，延长DE，CB交于点M，设NF=x，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】作FN⊥BD，延长DE、CB交于点M，如图： 则∠FNE=∠FND=90°，∵∠FDE=45°，∴△NFD为等腰直角三角形，由题意得：AB=CD=6，∠A=∠ABC=∠ABM=∠FNM=90°，BC=AD，设NF=x，则DN=x，FE=2x，∴∴DE=（+1）x，∵BE=3，AB=6，∴AE=BE=3，又∵∠AED=∠BEM，∴△AED≌△BEM（ASA），∴AD=BM，ME=DE=（+1）x，∴MN=（2+1）x，又∵∠M=∠M，∠ABM=∠FNM=90°，∴△MBE∽△MNF，∴，即，解得：BM=6+3，BC=AD=BM=6+3，故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形． 例3（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点在边上，且，，在边上取一点．连接和，过作交于，当时，的长为 ．    【答案】或 【分析】先求出，,将绕点B顺时针旋转得到，则是等腰直角三角形，三点共线，设于点N， 可证明四点共线，设，则，，由得到，即，解方程并检验后即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴, ∵四边形是正方形， ∴，, 如图，将绕点B顺时针旋转得到，    ∴,， ∴是等腰直角三角形，三点共线， 设于点N， ∵， ∴, ∴四点共线， 延长到Q点， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得 经检验是分式方程的根且符合题意， 即的长为或， 故答案为：或 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、分式方程和一元二次方程的解法、旋转的性质、正方形的性质等知识，将绕点B顺时针旋转得到是解题的关键． 例4（2025·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ． （2）若，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）过作，交延长线于，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明和得到，进而推导出的周长为即可求解； （2）连接，证明和得到为等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）过作，交延长线于，如图． 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ，又，， ， 的周长 ， 正方形的边长为2， 的周长为4， 故答案为：4； （2）连接，，，， ，即，又， ， ， ， 为等腰直角三角形，即，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 例5（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】如图，作正方形，与交于点G，连接，延长至H，使，连接，证，根据全等三角形的性质得出，设，根据全等三角形的性质得到用x表示出，根据勾股定理求出，再证根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：作正方形，与交于点G，连接，延长至H，使，连接， ∵在正方形中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即， ∵ ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 设，则， 在中，，即， 解得:，即， ∵， ∴， ∴，即，解得: ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构建全等三角形以及相似三角形是解题的关键． 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）利用有一个角为度的等腰三角形为等边三角形可判定为等边三角形． （2）先根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （3）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下： 由作法得， ， 为等边三角形； （2）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （3）解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 2．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，易证，即可证明结论； （2）延长交于点，利用矩形的性质证明，推出，进而得到即是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可得出结论； （3）先证明，推出，求出，设，则，进而求出，证明，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点， 是中点， ， ， ， ， 又， 即是的中点， 即， 在中，， 是等腰三角形； （3）解：是的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)定值4，理由见解析 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； （2）解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 4．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）【实践探究】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易得：，且，，三点共线，求证：． （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你找出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，、在矩形的边、上，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图2中，将绕点A顺时针旋转得到，连接．只要证明即可解决问题； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，设，根据矩形的性质可得，，，从而可得，，，，进而可得，，然后可证，，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）在上截取，连接，在上截取，连接， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数建立方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在正方形中，点是上一个动点，，射线交直线于点F． (1)如图1，点E在线段的延长线上时，请直接写出线段、和的数量关系． (2)如图2，点E在线段上时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点E在线段的延长线上时，交于点H，过点D作于点M，交于点K，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）在上截取，连接，由可证，可得，，由可证，可得，可得结论； （2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，可得，，，由可证，可得，可得结论； （3）在上取点，使，连接，利用正方形的性质得，，可证明，有，，结合题意得，即可证明，有，则；再证明，求得，设，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 理由：如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 将绕着点按顺时针方向旋转，得， 则，，， 四边形是正方形， ， ， ， 、、在一直线上， ， ， 又， ， ， ； （3）证明：， 如图，在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 则， 即∶； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得即， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，平行线分线段成比例，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号) 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明． 【详解】解：如图，延长至点，使， 正方形中，，， ， ，， 又， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ；故②正确； ∵， ∴ 当时， 又， ，故③不一定正确； ，， 的周长 ，故④正确； 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， 又， ．故⑤正确 故答案为：①②④⑤． 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质和三角形外角的性质得到，即可得出结论； （2）证明，得到，再证明，得到，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 10．（2024·广东惠州·二模）综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空： ①的度数为 　　； ②若，则的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； ②结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）①将 绕点逆时针旋转得， ，， 为等腰直角三角形， ； ②为等腰直角三角形，， ， 故答案为：①；②； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得，，，， ， ，，共线， ， ， ，，， ， ， ， ， 设正方形边长为，则，， 在 中，， 即， 解得或（负值舍去）， 正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得，，，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 11．（24-25九年级上·河南南阳·期末）【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    【答案】[探究]（1）详见解析；（2）；[应用] 2或2 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或2， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合，得出，即可作答； （2）连结交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答； （3）连结交于点，延长交的延长线于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，最后由，得，列式代入数值，计算即可作答； 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 可得， 即； （2）如图2，连结交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 则 则 ∴ （3）．过程如下： 如图3，连结交于点，延长交的延长线于点． ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 则． ， ． ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ 得， ， ∵ ∴ ∴ ， 即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，综合性强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】 有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】 （1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 【答案】（1）正方形的边长是6；（2）数量关系为，理由见解析；（3） 【分析】（1）由勾股定理得，设正方形的边长为x，根据结论得到，即可求出正方形的边长； （2）将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接，由旋转的性质得到：，，，，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得出，然后结合勾股定理，即可得到结论； （3）分别在上截取，在上截取，使，连接交于点R，连接，此时四边形为正方形，设，利用勾股定理列方程，求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【详解】解：（1）如图，在中，， 由勾股定理得：，解得， 设正方形的边长为x， 则，， 由结论知：， 解得：， 即正方形的边长是6； （2）数量关系为：，证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接， 由旋转的性质得到：，，，， 又， ， ， 且，， ， ， 又，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 又，， ； （3）如图，分别在上截取，在上截取，使，连接交于点R，连接，此时洗四边形为正方形， 由问题初探知： 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即 解得：， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用旋转将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形是解题关键． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 【答案】(1) (2)①见详解；② 【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，代入计算即可． （2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用证明，得，即可证明结论； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，将数据代入计算可得． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①证明：∵，， ∴， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、是线段的勾股分割点； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    【答案】[尝试探究]（1）详见解析；（2）；[拓展应用]或8 【分析】[尝试探究]（1）由题意可求，，进而可证；（2）由题意知，，由（1）知，则，即，计算求解即可； [拓展应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[尝试探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [拓展应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或8， 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 16．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发学习兴趣，提高动手动脑能力，改进学习方法，提高学习效率．      (1)发现解决：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，，如图①，则=　 　；线段之间的数量关系为 　 　； (2)类比引申：如图②，在矩形中，连接对角线，四边形是正方形，如果=，则矩形的面积是多少？ (3)拓展应用：如果图①中正方形纸片的边长为，沿剪开，再进行折叠，重合，折痕为．点上，，如图③，则的周长是多少？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案； （2）证明△DEG∽△DBC，由相似三角形的性质得出，设，则，由勾股定理求出，则可得出答案； （3）在上取点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）如图，    ∵四边形为正方形， ∴， ∵将正方形纸片折叠，使边， ∴， ∴在一条直线上， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）在上取点，使，    由题意知是等腰直角三角形， ∵沿剪开，再进行折叠，重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 17．（2025九年级·全国·专题练习）已知：如图边长为2的正方形中，的两边分别交、边于、两点，且 (1)求证：； (2)若、交对角线于、两点．设，，求与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，根据正方形的性质和且可进行证明． （2）证明，根据相似三角形的对应边成比例，可列出函数式． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 将绕点逆时针旋转至， ，，，, ∴， ∴三点共线； ，，， ， ， ， ． （2）解：∵正方形，边长为2， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，求函数解析式．遇到半角，常见的作法是旋转构造全等三角形． 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在矩形中，，E为边上一点，    (1)如图1，若交于F，求证： (2)如图2，若，求的值； (3)如图3，若G为边上一点，平分，且，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）运用两角对应相等的两个三角形相似推理即可； （2）作于E，交于M，作于N，则有，设，，然后推导，利用相似三角形的性质得到，然后计算解题； （3）作于H，交于F，则，，结合（1）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）矩形， ， ， ， ∴ （2）作于E，交于M，作于N，   ， ， ∵， ， ，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴，， 解得， ， ， （3）作于H，交于F，   平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 由（1）可知， ，， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，能作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在正方形中，．、分别交、于E、F，交于H、G．    (1)请判断与是否相似，并说明理由； (2)求证：； (3)连接，求的值． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为正方形，可得，结合，证明，从而可得结论； （2）由，可得，结合，从而可得结论； （3）先证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解： ．理由如下： 四边形为正方形， ． ， ， ， 又， ． （2）由（1）可得， ，即， 在正方形中，， ． （3）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题关键． 20．（2025·山东泰安·二模）如图，点E，F在正方形的对角线上，．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，延长交于点G，连接．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴， ，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 21、（2024山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．    (1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系； (2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明； (3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论不成立，，详见解析 (3)； 【分析】（1）延长到点E，使得，先证明，再证明即可； （2）在上截取，连接，先证明，再证明即可； （3）连接，根据正方形的性质，勾股定理计算，再证明求得；根据，结合正方形的性质，判定，计算，证明，计算即可． 【详解】（1）； 理由：延长到点E，使得，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）（1）中的结论不成立，正确结论为：． 理由：如图2，在上截取，连接，则，    在和中，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）连接，    ∵四边形是正方形，， ∴ ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图①，在正方形中，为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图②，在菱形中，AC为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，AF的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N． ①求证：； ②若，，连接MN，当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②8 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再证明，即可得出答案； （2）①根据菱形的性质得出，再证明，进而得出结论； ②先证明，得出，由①知，，得出，再证明，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， 即：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， 由①知， ， ∴， ∴， 由①知， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 23、（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，正方形的边长为2，E，F为线段上两动点（不与A，C点重合），且． (1)求证：． (2)试说明无论点E，F在线段上怎样运动，总有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据正方形的性质，即可得，据此即可证得结论； (2)首先根据相似三角形的性质，可得，再由，可得，据此即可证得． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， ， 又， ； （2）证明： ， ； 同理得， ； ， 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $