专题05 双曲线13大题型（期中复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线核心知识，系统覆盖定义、标准方程、几何性质及直线与双曲线位置关系等内容，通过期中学情分析衔接椭圆知识，构建从定义理解到性质应用再到综合解题的学习支架。 其亮点在于分题型突破重难，如焦点三角形问题结合余弦定理培养逻辑推理，中点弦问题用点差法提升数学运算。分层验收设计基础与重难练习，学生可循序渐进巩固，教师能直接使用题型案例和分层资料，高效开展教学。

专题05 双曲线（期中复习讲义） 高二数学上学期 期中复习大串讲 人教A版选修一 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义 掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 双曲线及其标准方程 掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 双曲线的简单几何性质 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2、理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是渐近线、离心率的求法是高频考点 核心考点 复习目标 考情规律 直线与双曲线的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 双曲线的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 双曲线的定义 知识点01 双曲线的标准方程 知识点02 双曲线的标准方程 知识点02 双曲线的焦点三角形 知识点03 双曲线的简单几何性质 知识点04 双曲线的简单几何性质 知识点04 双曲线的简单几何性质 知识点04 双曲线的简单几何性质 知识点04 直线与双曲线的位置关系 知识点05 直线与双曲线的位置关系 知识点05 弦长公式 知识点06 双曲线中点弦与点差法 知识点07 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 双曲线的定义及其辨析 题型一 解｜题｜技｜巧 双曲线的定义及其辨析 题型一 解｜题｜技｜巧 【例1】 B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 故选：B. 【例2】 B 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解. 故选：B. 判断方程是否表示双曲线 题型二 解｜题｜技｜巧 【例1】 C 故选：C. 【例2】 C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 故选：C. 双曲线的标准方程 题型三 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 双曲线的标准方程 题型三 解｜题｜技｜巧 双曲线的标准方程 题型三 【例1】 C 故选：C. 【例2】 D 【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可. 故选：D. 【例3】 【例4】 双曲线中的焦点三角形问题 题型四 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 双曲线中的焦点三角形问题 题型四 【例1】 C 故选：C. 【例2】 B 故选：B. 【例1】 A 故选：A. 双曲线的轨迹方程求法 题型五 【例2】 B 故选：B. 【例1】 故选：D. D 双曲线中的距离最值问题 题型六 【例2】 故选：B. B 【例3】 2 双曲线的简单几何性质问题 题型七 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：B. B 【例2】 故选：B. B 【例3】 2 双曲线的离心率问题 题型八 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 双曲线的离心率问题 题型八 【例1】 故选：D. D 【例2】 故选：D. D 双曲线的渐近线问题 题型九 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：D. D 【例2】 故选：D. D 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切） 题型十 解｜题｜技｜巧 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切） 题型九 解｜题｜技｜巧 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切） 题型九 解｜题｜技｜巧 【例1】 故选：B. B 【例2】 【例3】 【例1】 双曲线中的面积问题 题型十一 【例2】 双曲线中的中点弦问题 题型十二 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 双曲线中的中点弦问题 题型十二 解｜题｜技｜巧 双曲线中的中点弦问题 题型十二 【例1】 故选：D. D 【例2】 【例2】 故选：C. C 【例3】 【例3】 【例4】 【例1】 双曲线中的定值、定点问题 题型十三 【例2】 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） C 故选：C. B 故选：B. B 故选：B. B 故选：B. A 故选：A. A 故选：A. A 故选：A. D 故选：D. B 故选：B. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） B 故选：B. 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 2、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 性质： ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 【常用结论】 ①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以： 所以 1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2、若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． （24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. （23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. （24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（    ） A． B． C． D． 【分析】根据双曲线方程的特点得到，再一一分析选项即可. 【详解】由题意得，则ABD错误，C正确. （24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 3、由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线方程为的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0);与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). （24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， （24-25高二下·安徽·阶段练习）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，则双曲线E的顶点为，焦点为，则双曲线E的标准方程为 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 ． 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程. 【详解】因为，，且为中点，所以，且，，因为，所以，解得， 直线的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． （24-25高二下·安徽·阶段练习）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. （25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． （23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为， 则有，动点的轨迹方程为． （24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，设为曲线上任一点，则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，，， 点的轨迹方程为． （25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则，因为，而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． （23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. （23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; （2）由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; （3）由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. （24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. （24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示， 所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 1、求双曲线的离心率的方法 （1）若可求得a,c,则直接利用e=得解; （2）若已知a,b,可直接利用e=得解; （3）若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 2、构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程(或不等式),列式时常用b=代替式子中的b,然后将方程(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用e=转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意e>1. （24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，， 所以双曲线的离心率为2. （24-25高二下·浙江·阶段练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用余弦定理求出后可求离心率. 【详解】设双曲线的方程为，，，，其中为半焦距，由余弦定理得， 故即，故离心率， 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． （25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． （23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果. 【详解】设椭圆焦距为，则，则，所以椭圆的左焦点为，所以双曲线的左顶点为，所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 1、直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). 2、双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=|x1-x2|=·,或|AB|=|y1-y2|=·. （24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【分析】结合双曲线的渐近线即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，因为双曲线与直线不相交，所以，解得，所以的取值范围是. （24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时；当直线与渐近线不平行时，此时，联立，整理可得， 因此，解得.综上可得，实数的值为或. 或 （2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为，则解得或．所以k的取值范围为． （23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程；（2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得，则，，， ，原点到直线AB的距离， 所以． （24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；(2)若，，求的面积． 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以，又双曲线过点，所以，由，解得，双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理， 得， 所以，则的面积， 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是 弦的中点， 所以： 所以 （24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，，由，在双曲线上，则， 两式做差可得，即， 又弦被点平分，则，代入上式可得， 则，即直线方程为，化简可得， （24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上，则，两式相减可得，整理可得，又线段的中点是， （24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 则，所以，又直线过点，得到，所以，得到， （25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则，可得，．因为A，B为双曲线上的两点， 所以， （25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 两式相减整理得，，即，解得，所以直线，因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点，联立，解得，可知线段AB中点的坐标为． （24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意；对于，得，此时，此时直线的方程为，即，联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. （24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限．①求；②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程； （2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得．故双曲线的标准方程为． （2）①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【分析】（1）根据点以及渐近线方程列出关于的方程组即可； （2）先讨论直线斜率不存在时，根据得出矛盾，再设直线AB：，与双曲线方程联立，根据得出，即可求出定点. 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 所以. 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．4或10 【详解】由双曲线的标准方程可得，则， 则，所以点是双曲线左支上的点， 由双曲线的定义可得，所以. 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，由于渐近线方程为，故， 故离心率为， 5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】不妨取的一条渐近线的方程为， 又，且由双曲线中基本量的关系得， 则由点到直线的距离公式得． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为． 7．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上， 可知椭圆的长轴顶点为，焦点为，所以双曲线的焦点为，顶点为，设双曲线方程为，可得，，则， 所以双曲线的方程为. 8．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【详解】设炮弹爆炸点为，由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误；对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或 ，故B项错误；对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误；对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，，连接，，，，则，因为，，所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，由题意：， 不妨令，，得：． 由角平分线定理：，即：， ，一方面：， 另一方面：， (负舍)， 故双曲线的离心率为：. 3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，，所以，设， 则，解得.又内切圆的半径为，所以内切圆的 圆心为，因为直线过点，设圆心到直线的距离为，则，解得，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得.等轴双曲线的渐近线方程为.当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示），因此实数的取值范围是. 5．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由双曲线过点，．可得，解得， ∴双曲线方程为． （2）（i）由于，，，的斜率分别是，，且点P不在x轴上． 所以，，． 又直线、的方程分别为，， 联立方程解得，所以， 由于点P在直线上，所以， 即，故为定值． （ii）设，，，， 联立直线和双曲线的方程得， 化简得，由， 因此，， 所以 ，同理可得：， 故由得或， ①当时，由（i）的结论可得，解得P点的坐标为； ②当时，由（i）的结论可得或（舍去）， 此时直线CD的方程为与联立得，， 所以，经检验，两种情况均符合要求． 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，． 7．已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 【详解】（1）设， 因为，所以， 由，得，同理可得，所以， 由，得，， 所以，即，由，解得， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的渐近线方程为， 由（1）得，，， 所以，， ， 由，得， 因为直线与双曲线相切，所以，即， 所以. 8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【详解】（1）（1）由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为，. 由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以 为定值. （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 9．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． $