专题02 空间向量及其应用（期中复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量及其应用 高二年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 用空间向量研究直线、平面的位置关系 理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 用空间向量研究距离问题 1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现公式记忆混淆的问题   用空间向量研究夹角问题 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 重难必考点，常出现在大题第（2）问，探索性问题是难点 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 17 18 解｜题｜技｜巧 19 解｜题｜技｜巧 20 解｜题｜技｜巧 21 解｜题｜技｜巧 22 解｜题｜技｜巧 23 解｜题｜技｜巧 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 A 36 D 37 38 A 39 C 40 A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 O 58 59 60 61 62 63 64 65 66 x y z 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 x y z A 90 C 91 x y z B 92 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 93 B 中基础通关练(测试时间：60分钟) 94 B 95 ACD 96 ABC 97 ABD 98 期中重难突破练(试时间：30分钟) ACD 99 ACD 100 101 102 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 103 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示. 我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则 点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及 直线的方向向量唯一确定. 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数 ,使① 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量； 过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点03 有理数的概念空间中直线、平面的平行和垂直 1、设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 2、设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾 股定理得： 知识点04 点到线面距离 1、点到直线的距离 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的 角为，则 ②. 知识点05 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 ②.（注意此公式中最后的形式是：） 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有 ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. ① (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 题型一 用空间向量解决线面（面面）平行、垂直问题 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线 方向向量的坐标,证明它们共线. 2、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量 与平面的法向量垂直. 3、利用空间向量证明线面平行 (1) 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行, 利用线面平行的判定定理得证. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 4、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (1) 坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标, 表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 用向量法证明线面垂直的两种方法 (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 5用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向 向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 6、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. 1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中， E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， ∴，∴平面平面. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，， ，， (2)若平面，证明：平面. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形， 每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点 的三等分点. (1)求证：； ，，由平面， 知为平面的一个法向量. 又，且不在平面， 平面. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， 4．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体， 于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下 的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面． 【分析】求解翻折问题只需要会抓住不变量，由题图1知，，，，折起后在题图2中仍有，，，建立适当 的空间直角坐标系，方法一：设线段中点，只需证明；方法二：设 平面的法向量为，只需证明即可. 点在平面上， 则，，． 取线段中点， 连接，则，． 所以，， 所以，由于平面，平面， 所以平面． 【详解】方法一：因为,，且平面，所以平面． 以为原点，的方向分别为轴和轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系， ，即， 于是，，不妨取法向量． 因为，所以， 又平面，所以平面． 方法二：由上述方法知，，，，， (2)线段上是否存在点，使得平面？ 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） 设平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，所以， 所以平面的一个法向量为， 则，所以， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为 轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 题型二 用空间向量解决异面直线所成角问题 解｜题｜技｜巧 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 则，，， ，． 则，故与MN所成角的余弦值为． A． B． C． D． 1．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若 点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在 直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 【详解】方法一：如图2，分别取，，的 中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角， 易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 2．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值 为（    ） A． B． C． D． 故所求两直线夹角的余弦值为， 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，， 所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， A． B． C． D． 【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2， 高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 所以． 则， 3．（24-25高二上·吉林）在如图所示的多面体中，平面，平面 平面，且，，则异面直线BP与CQ 所成角的余弦值为（    ） 【详解】如图： 建立空间直角坐标系，则，， ，， 所以，． 则． 故选：C. 以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向， 4．（23-24高二下·江西·月考）已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所 成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 则，， 则， 故选：A. 5．（24-25高二下·湖南·月考）如图，在四面体ABCD中，与为等边三 角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型三 线面角及其探索性问题 解｜题｜技｜巧 求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α 所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 设平面的法向量， 则即 可得平面的一个法向量. 直线与平面所成的角的正弦值是. 1．如图，已知多面体中，均垂直于平面,，，.请用空间向量的方法 解答下列问题：求直线与平面所成的角的正弦值. 【详解】证明：如图，以的中点为原点，分别以射线 为轴的正半轴，以过点平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系. (2)若直线与平面所成角的正弦值为， 求的值. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 2．如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）. 又，， 所以，，， 所以， . 在四棱锥中，连接，设，连接， 因为，所以， 又，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 所以，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 由，得， 故，. 得，解得. 则，，，， 题型四 二面角（面面角）及其探索性问题 解｜题｜技｜巧 利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个 平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算. (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． 所以平面． (1)当为棱的中点时，证明：平面； 则， 因为，所以， 设平面的法向量为， 则 则． （2）因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图 所示的空间直角坐标系． (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 平面，， 平面， 平面； 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图 所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， ∴即取； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则. 设平面，平面的法向量分别为， ∴即取； 【详解】（1）连接，，，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， ，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，平面，，平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面； 3．（24-25高二下·云南保山·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，F，分别是，AD，的中点，为 矩形的中心. (1)证明：平面. ，. 所以，可取. 平面的一个法向量为. ， （2）过点作，垂足为. 以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴， 题型五 点到线、点到面的距离问题 解｜题｜技｜巧 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 2、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； 【详解】（1）由直线平面平面ABCD， 得， 由矩形ABCD，得， 以为原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得 1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形 平面，，点为棱DF的中点. (2)求点到平面ACP的距离. 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （2）由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面， 故平面. 【详解】（1）如图，连接交于，连接， 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得. （2）根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直 角坐标系， ， ， (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在， 请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2， 侧棱长为，D是BC的中点． (1)证明：平面； 则为的中位线，所以． 【详解】（1） 如图，连接交于点O，连接， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立 空间直角坐标系， 又因为平面，平面， 则点O为的中点，且D是的中点， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得. 则，，，，，，． 所以，， 设平面ADE的法向量为， 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 题型六 用空间向量解决其他距离问题 解｜题｜技｜巧 (1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可. (2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体 中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面 到平面的距离. 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 点到平面的距离，即平面到平面的距离. 故，所以， 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角 坐标系， 所以平面，平面， (2)求直线到平面的距离． 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以直线与所成角的余弦值为. 2．（23-24高二上·山东淄博·月考）在棱长为1的正方体中，E为 线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则，令，得， 所以点到平面的距离为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的 最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，故. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 3．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都 是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； 所以，，， 直线与直线不平行； ①若，即，即，无解， ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 题型七 折叠问题 解｜题｜技｜巧 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用. 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明. (2)若直线上存在一点，使得与平面 所成角的正弦值为，求的值. (1)求证：平面； 【详解】（1）因为点分别是边的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，即， ，平面， 所以平面，又平面，所以， 又是的中点，所以， ，平面， 由题意，，，则， 所以平面； 1．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）. 则，，，， ，, 设平面的法向量为， 则，令，则， 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得：， ，故. （2）以为原点，分别为轴，作，建立的空间直角坐标系， (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【详解】（1）连接交于点，连接， 如图，由平面图易得为平行四边形，则为的中点， 连接，则， 又平面平面，故平面． 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）如图所示，五边形是正六边形 的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点． (1)求证：平面； 又平面平面，且平面平面，面， 故平面． 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设平面的法向量为， ，即，取， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成二面角为， （2）取的中点，连接，， ， ． (2)若平面平面，为线段上一点（不含端点）， 且与平面所成角的正弦值为，求的值． 【详解】（1）取的中点，连接，． 因为是菱形，，所以， 为等边三角形， 又平面，所以平面． 因为平面，所以． 3．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将 沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥． (1)证明：． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，． 设，则． 设平面的法向量为， 则 所以． ． 又，所以，则． （2）因为平面平面，且平面平面，， 所以平面 (2)若面面，求直线EB与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值． 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        题型八 夹角、距离中的最值（范围）问题 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为 正方形内（含边界）一动点． 在中，， （2）方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上， 连BF，BE，则即为直线EB与平面ABCD所成角                 ．                   取最短时，取最大， ．         那么，设．      由， 可得面的一个法向量为，        由， 由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ．                                 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (2)是否存在点M，使得平面？ 若存在，求PM的长；若不存在，说明理由. (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【详解】（1） 所以为等边三角形，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 2．（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是 边长为的菱形，平面，，为的中点， 是线段上一点. (1)证明：平面平面. 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 所以在直角三角形中，； （2）存在点，当为中点时，平面， 理由如下： ，，，，， ， 设平面的法向量为， 所以，所以， 令，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， （3）取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 当时，， 所以当时，最大，此时. 设， (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 3．如图，在直四棱柱中，，， ，，． (1)求证：平面； 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 所以，即，令，可得． 所以， (2)以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系如图所示， 则，，， 设到直线的距离为，则 ， 则，， 题型九 空间向量中的新文化、新定义问题 解｜题｜技｜巧 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 【详解】在堑堵中，平面，， ，， 以点为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 则， 所以， 1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 ，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四 个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， ， ， 设异面直线与所成角为， 解得，即. 2．（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱 与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2， 所以，，所以 ，则， 解得或（舍）. 3．（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】设相交于点O，根据题意，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，则，， 则，，，，， 因为点E是的中点，点F是的中点， 所以，， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值是． 1．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知正四棱锥的各棱长均相等，点E 是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）． A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点 满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，． 对于A，设BE与所成角，则，，故A正确； 对于B，易知，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 3．（23-24高二上·山东泰安·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（     ） 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 故选：ACD. 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 对于D，因为， A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 则， 取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， B．平面和平面有相同的法向量 故选：ABC. C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）（多选题）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（     ） 设异面直线与所成角为， 则， 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 所以平面和平面有相同的法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， A．异面直线和所成的角为 所以， 当时，即为异面直线和的距离， ，则， 所以，故异面直线和的 距离为，故C正确； 设面的一个法向量为， A．存在点、使得、、、四点共面 B．存在点，使 【详解】将半正多面体补成一个棱长为的正方体，如图： 则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点， 又因为、、、不共线，则，则、、、共面，A正确； 对B ，当点与点重合时，，则，即，B正确； 5．（多选题）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（     ） 对C，设， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，，此方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，C错； 对D ，，由C可知，， 整理可得，因为，解得， C．存在点，使得直线与平面所成角为 即当点为的中点时，直线与直线所成角的余弦值，D正确. 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， B．平面EAD 平面ECB 又， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 1．（24-25高二上·四川宜宾·期中）（多选题）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（      ） 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 则， A．平面EAD 平面FCB 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 所以设， B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的余弦值为 则， 故正确. 故选：ABD. D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的正弦值为 【详解】解：对于A，将点代入直线的方程， 则有， 所以点在直线上，故正确； 对于B，因为平面的方程，即为， 同理，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量为， 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选题）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是( ) ， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故正确； 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，故错误； 对于D，因为平面的方程为，即， A．若直线的方程为，则点在直线上 所以平面的法向量； 所以平面的法向量； 设直线的方向向量为， 则有， 所以，取， 则有， 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）因为底面四边形是菱形，， 所以是的中点，又是的中点， ，平面，平面， 平面. 3．（23-24高二上·广东潮州·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，． (1)求证：平面； 又，平面， 平面.又， 所以两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为2的等边三角形，，可得， ，，，， （2）底面四边形是菱形，，所以是，的中点， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 又是等边三角形， 即直线与平面所成角为. ，又，， $