专题06 抛物线（期中复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线专题，涵盖定义、标准方程、几何性质及直线与抛物线位置关系等核心知识点，通过期中考情分析导入，梳理从定义到方程、性质再到应用的脉络，搭建“定义理解-方程转化-性质应用-综合解题”的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，通过焦半径公式推导培养数学抽象，结合焦点弦性质的数形结合分析发展直观想象，设置分层例题与验收题提升数学运算。学生能系统掌握重点，教师可直接用于复习课，提高教学效率。

专题06 抛物线 高二年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点,常出现在小题,掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点,常出现在小题   直线与抛物线的位置关系 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 基础必考点,常出现在大题第(1)问   抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养. 重难必考点,利用韦达定理、点差法、抛物线定义突破弦长公式、中点弦、焦点弦问题 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 15 16 17 C 18 A 19 C 20 B 21 A 22 23 A 24 A 25 B 26 27 A 28 D 29 C 30 31 C 32 B 33 C 34 35 B 36 A 37 C 38 39 C 40 D 41 B 42 43 C 44 C 45 D 46 C 47 48 D 49 B 50 51 52 53 54 55 B 56 A 57 C 58 59 D 60 D 61 A 62 63 64 65 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 66 B 67 A 68 A 69 D 70 A 71 B 72 A 73 74 A 75 B 76 D 77 C 78 B 79 BCD 80 ACD 81 82 83 84 85 86 87 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 88 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： (1)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线, 而是过点F垂直于直线l的一条直线． (2)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性, 故二者可相互转化,这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点01 抛物线的定义 1、 定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); (3)若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). (4)准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 知识点02 抛物线的标准方程 注：(1)已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时,一般先将所给方程式化为标准形式, 由焦点方程准确得到参数,从而得焦点坐标与准线方程,要注意； (2)若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 设抛物线上一点,焦点为,准线为,则线段叫做抛物线的焦半径,过点作准线的垂线段,由抛物线的定义可知,． 2、用坐标表示焦半径公式 (2)抛物线,． (3)抛物线,． (4)抛物线,． 注：①在使用焦半径公式时,首先要明确抛物线的标准方程的形式,不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式,我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,解题时方便快捷． 知识点03 焦半径公式 1、焦半径的定义 (2)对称性：以代,方程不变,所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． (3)顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中,当时,,因此抛物线的顶点就是原点． (4)离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用表示．由抛物线的定义可知,． 知识点04 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比 相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点)． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： (1)直线的斜率不存在,设直线方程为, 若,直线与抛物线有两个交点； 若,直线与抛物线有一个交点,且交点既是原点又是切点； 若,直线与抛物线没有交点. (2)直线的斜率存在. 设直线,抛物线, 直线与抛物线的交点的个数等于方程组,的解的个数, 即二次方程(或)解的个数． 则当时,直线与抛物线相交,有两个公共点； 当时,直线与抛物线相切,有个公共点； 当时,直线与抛物线相离,无公共点． ②若,则直线与抛物线相交,有一个公共点． 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： (2)中点弦斜率：, 推导：由题意,知,① ② (3)中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点07 直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦,,,弦AB的中点为． (1)弦长公式：(为直线的斜率,且)． 2. 焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,其坐标分别为,. 性质1：,,. 性质2：抛物线的焦点为,,是过的直线与抛物线的两个交点, 则,. 知识点08 抛物线的焦点弦性质 1.焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦. 2. ,,. 性质4：已知直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,若弦中点的坐标为,则. 性质5： 1. 以为直径的圆与准线相切； 2. 以为直径的圆与切于焦点； 3. 以焦半径为直径的圆与轴相切； 知识点08 抛物线的焦点弦性质 性质3：已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,则： 1. ,,； 题型一 抛物线的定义及其辨析(含焦半径公式 解｜题｜技｜巧 焦半径问题 1、抛物线,． 2、抛物线,． 3、抛物线,． 4、抛物线,． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设,抛物线准线为,结合题设及抛物线定义,则有. 故选：C 1．(24-25高二上.重庆.期中)已知为抛物线上一点,F为抛物线的焦点,则( ) 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为,准线为, 根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离, 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值, 当与原点重合时,到准线的距离最小为, 故选：A 2．(24-25高二下.上海闵行.期末)抛物线的焦点为,点P是抛物线上任意一点,则的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是,所以, 因为点在抛物线上,所以． 故选：C． 3．(24-25高二上.河南.期末)已知拋物线的焦点是,点在抛物线上,则( ) A． B． C．5 D．3 因为点与焦点的距离为, 所以, 所以. 故选：B. 4．(24-25高二上.福建南平.期末)已知抛物线：的焦点为,若上的点与焦点 的距离为,则的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 点到直线的距离为, 【分析】作于D点,交y轴于A点,分析之间的关系,结合抛物线定义即可求解． 如图,作于D点,交y轴于A点,则, 因为,所以为的中点, 所以, ,解得． 故选：A． 5．(24-25高二上.甘肃庆阳.期末)已知抛物线C：()的焦点为F,M是y轴上一点,线段 的延长线交C于点N,若,则( ) A．2 B． C． D．4 题型二 抛物线的焦点与准 解｜题｜技｜巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时,一般先将所给方程式化为标准形式,由焦点方程准确得到参数,从而得焦点坐标与准线方程,要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴；系数为负,焦点在负半轴． 【分析】先把抛物线方程化成标准方程,再根据抛物线的性质确定其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：. 其焦点坐标为：. 故选：A 1．(24-25高二上.贵州黔南.月考)抛物线的焦点坐标为( ) A． B． C． D． 【分析】将抛物线方程化为标准方程,可求得准线方程. 【详解】由,即得,所以即, 所以准线方程为. 故选：A. 2．(23-24高二上.河南郑州.月考)抛物线的准线方程是( ) A． B． C． D． 【分析】根据条件,得,从而抛物线方程为,即可求解. 【详解】由题知,解得,所以抛物线, 则的准线方程为, 故选：B. 3．(24-25高二下.广东.月考)已知抛物线恰好经过圆的圆心,则的 准线方程为( ) A． B． C． D． 题型三 抛物线的标准方 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定焦参数.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为或. 【分析】设抛物线的方程为,根据焦点坐标求出,求出抛物线的标准方程. 【详解】设抛物线的方程为, 所以,所以, 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 1．(24-25高二上.贵州贵阳.期末)已知抛物线的焦点是,则抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 【分析】根据条件,结合抛物线的定义即可求解. 【详解】因为抛物线的准线为, 所以抛物线的焦点在上,开口向下,且,即,故抛物线的标准方程为, 故选：D. 2．(24-25高二上.天津河西.月考)准线方程为的抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相,因此,,抛物线方程为． 故选：C 3．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1,则抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 题型四 抛物线的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 因为, 所以点到点的距离等于点到直线的距离, 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 1．(23-24高二上.重庆.期末)已知点满足,则点的轨迹为( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等, 所以,点的轨迹方程为. 故选：B. 2．(24-25高二上.安徽滁州.期中)在平面直角坐标系中,动点到直线的距离比它到定点的距离小2,则点的轨迹方程为( ) A． B． C． D． C．或 D．或 【分析】设出点M的坐标,利用已知条件列出方程化简即得. 【详解】设,依题意得, 动点到的距离比点到轴的距离的大2, 则,即, 故选：C 3．已知平面直角坐标系中,动点到的距离与点到轴的距离的差为2,则的轨迹方程是( ) A．或 B．或 题型五 抛物线中的距离最值问 解｜题｜技｜巧 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 【分析】把点代入抛物线中求出,再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上,所以,解得, 所以抛物线方程为,设, 则, 故选：B. 1.已知抛物线,点在抛物线上,点,若P点是抛物线上的动点,则的 最小值为( ) A．8 B． C．9 D．3 【分析】根据抛物线的定义,结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为,准线方程是, 过点作准线的垂线,垂足为,过点作准线的垂线,垂足为, ∵点在抛物线上,∴根据抛物线的定义得, ∴,当且仅当共线时取等号, ∴的最小值为8． 故选：A． 2．(24-25高二上.江苏常州.期中)已知抛物线的焦点为,定点为抛物线上一动点, 则的最小值为( ) A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】由周长为,若垂直于抛物线准线于,结合抛物线定义得,进而确定周长最小值. 【详解】由周长为,若垂直于抛物线准线于, 所以,而, 所以,要使周长最小, 即最小,仅当三点共线时,取最小值为7, 所以最小周长为12. 3．设抛物线的焦点为,点在上,则的周长的最小值为( ) A．8 B．10 C．12 D．16 解｜题｜技｜巧 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 【分析】根据给定条件,设出抛物线方程,利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 因此,解得, 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 1．(23-24高二上.新疆阿克苏.月考)鱼腹式吊车梁中间截面大,逐步向梁的两端减小,形状像鱼腹,如图,鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分,其宽为,高为,根据图中的坐标系,则该抛物线的焦点到准线距离为( ) A． B．5 C．10 D．20 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为轴,过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系, 设抛物线的方程为,由题意可知点在抛物线上, 当水面下降后,即当时,,可得, 因此,当水面下降后,桥洞内水面宽为. 故选：D. 2．(24-25高二上.江苏扬州.期中)如图,一座抛物线形拱桥,当桥洞内水面宽16m时,拱顶距离水面4m,当水面下降1m后,桥洞内水面宽为( ) A． B． C． D． 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程,结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内,以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点,过顶点垂直于灯口直径的直线为轴,建立直角坐标系,如图所示, 设抛物线的标准方程为,于是,解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为,即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置,通过镜面反射就变成了平行光束,如图所示,这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,灯口直径是,灯深,则光源到反射镜顶点的距离为( ) A． B． C． D． 题型七 抛物线的简单几何性 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 【分析】由题意求得抛物线C的方程,即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称, ∴抛物线C的方程为, ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 1．抛物线C与抛物线关于轴对称,则抛物线C的准线方程是( ) A． B． C． D． 【分析】先求得抛物线的标准方程,然后根据通径的知识求得正确答案. 【详解】抛物线,即, 可得,因此通径长为. 故选：C 2．抛物线的通径长为( ) 【详解】设与轴的交点为,易知轴． 设点,．如图,由于四边形为菱形,,所以,所以． 不妨设,则,解得． 在中,,所以菱形的周长为． 故选：D 3．(25-26高二上.全国.课后作业)已知抛物线,为轴正半轴上一点,为坐标原点,线段的垂直平分线交抛物线于两点,若四边形为菱形,且,则菱形的周长为( ) A．5 B． C．8 D． 【分析】利用焦半径公式算出A,B的坐标,求出直线AB的方程,进而证明A,B,F三点共线,最后利用计算即可． 【详解】由题意可知,,不妨设点,,且点A在第一象限,如图, 则,,故, 所以直线的方程为, 令得,即A,B,F三点共线, 所以． 故选：C． 4．(25-26高二上.全国.单元测试)已知O为坐标原点,F是抛物线C：的焦点,A,B是C上位于x轴异侧的两点,且,,则的面积为( ) A． B． C． D． 题型八 直线与抛物线的位置关系(含弦长和相切 解｜题｜技｜巧 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. (1)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、求抛物线弦长问题的方法 ①一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=.|x1-x2|=.|y1-y2|. 【分析】首先得,然后联立直线与抛物线方程,结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点,则,由得, 则,故,所以． 故选：D． A． B． C．1 D．2 【详解】依题意,设直线的方程为, 由,得,所以, 所以,解得, 所以直线l的斜率为. 故选：B. 2．(24-25高二上.全国.课后作业)已知抛物线的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若,则l的斜率为( ) A． B． C． D． 【详解】设直线与曲线交于点, 将代入整理得：, 则有, 故. 3．(24-25高二下.上海徐汇.期中)直线被曲线截得的线段的长是_________． 【分析】联立方程,利用弦长公式计算即可. 题型九 抛物线中的面积问题 1．(24-25高二上.四川内江.期末)设抛物线C：的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上,若,求的面积. 【详解】(1)因为抛物线C的方程为, 所以抛物线C焦点F的坐标为,准线方程为； (2)因为在抛物线C的准线上,所以,即, 此时,因为,所以,解得, 所以直线l的方程为, 联立,消去y并整理得, 设,, 所以, 则 因为 (2)若是抛物线上第一象限内的一点,过线段AF的中点向轴引垂线,垂足为点,且,求四边形的面积. 【详解】(1)因为抛物线：过点, 所以,,则抛物线方程为. 所以,. 因为,所以,解得或(舍), 故,,,. 又点,,所以,又, 所以四边形是平行四边形, 2．(24-25高二上.山西晋城.月考)已知抛物线：的焦点为,准线交轴于点,点在上. 设为坐标原点,所以四边形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交于两点,且(为坐标原点)的面积为 32, 求的方程. 【详解】(1)由已知有：动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线, 所以曲线 的方程为. (2)设,显然直线的斜率不为0,可设直线, 联立, 则,, 所以, 所以,解得, 所以直线的方程为：或. 3．(24-25高二上.山东淄博.期末)已知动点到直线的距离与到点距离相等,设动点的 轨迹为曲线. 题型十 抛物线中的中点弦问 解｜题｜技｜巧 “中点弦”问题的两种解题策略 (1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=(x1≠x2)求斜率,再由点斜式求解. (1)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 【分析】联立直线与抛物线方程,由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立,则, 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 1．(24-25高二下.陕西西安.期末)直线被抛物线截得的线段的中点坐标是( )． A． B． C． D． 【分析】设,由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得, 从而可得中点横坐标,也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为,,, ∴焦点为,准线方程为, 设,则, 设中点为,则, ∴到准线的距离为． 故选：A． 2．已知直线与抛物线交于A、B两点,则弦AB的中点到准线的距离为(  ). A．4 B． C．8 D． 【分析】利用点差法即可求解斜率,进而根据点斜式求解直线方程. 【详解】设,则, 故, 故直线方程为,即, 经检验,直线与抛物线相交,满足条件. 故选：C 3．(24-25高二上.广西玉林.期中)已知是抛物线上的两点,且线段的中点为, 则直线的方程为( ) A． B． C． D． 题型十一 抛物线中的焦点弦问 解｜题｜技｜巧 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. A．2 B．3 C．-2 D．-3 【分析】设出直线方程,联立,得到两根之和,两根之积,并得到, 从而得到 【详解】由题意得,当的斜率为0时,不满足要求, 设直线的方程为,联立得, 设, 则, 则. 故选：D 1．(23-24高二下.上海.期中)已知抛物线的焦点为,直线过焦点与该抛物线相交于两点,为坐标原点,则的值是( ) 【分析】根据题意,联立直线与抛物线方程,即可得到的横坐标,结合焦半径公式代入计算,即可得到结果. 【详解】 由于,直线方程为, 联立方程,消去得, 显然,得, 故选：D. 2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点,且从上到下与依次交于两点,, 则( ) A． B．2 C． D．3 【分析】联立直线与抛物线,结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为, 即, 则抛物线方程为,, 所以直线方程为,即, 设直线与抛物线交点,, 得, 3．(24-25高二上.江苏淮安.期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为,过焦点且斜率为的直线与抛物线交于,两点,则的值为( ) 则,, 又由抛物线可知,, 所以, 故选：A. A． B． C． D． (2)记点的轨迹为曲线,过点作直线,与曲线交于两点,求证：为定值. 题型十二 抛物线中的定值、定点问题 (1)求点的轨迹方程； 因为,所以,即, 所以点的轨迹方程为：,是以为焦点开口向上的抛物线. (2)过点作直线,与曲线交于两点,显然直线的斜率存在, 且,设直线的方程为,设, 则, 联立方程组,得, 1．(23-24高二上.上海.期末)在平面直角坐标系中,已知点,直线.是平面上的动点, 过作直线的垂线,垂足为,且满足. ,直线与曲线一定有两个交点, 其中, (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1,且过点F,求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、,若,证明：直线过定点,并求该定点的坐标． 【详解】(1)抛物线的焦点为, 则,即,所以抛物线为； 得．,设, 由韦达定理得, 故. (3)由题意可知所在直线斜率不为0,所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：,化简可得：, (2)直线的方程为,联立抛物线Γ和直线l的方程：, 又由已知,则． 此时直线恒过点． 2．(24-25高二下.上海.期中)已知在平面直角坐标系中,O为原点,抛物线的焦点为,A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (2)设为实数,已知点,直线与抛物线交于两点,记直线的斜率分别为,判断是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 【详解】(1)将四个点代入抛物线方程解得的值分别为, 注意到对应的一样,所以,在抛物线上, 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点, 所以椭圆的方程为． (2)是定值． 理由如下：如图,设, 联立． 3．(25-26高二上.全国.单元测试)已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点,将其坐标混合记录如下：,． ,由根与系数的关系得, 又因为,所以,同理． , 所以为定值． (1)求椭圆和抛物线的方程； A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得,解得, 所以焦点到准线的距离为, 故选：B 期中基础通关练(测试时间：120分钟) 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义,得,解得． 将点的坐标代入,得或(舍去) 2．已知点在抛物线上,F是抛物线C的焦点．若,则( ) A．4 B．2 C．8 D． 【分析】代入点的坐标可得,即可得标准方程求解. 【详解】将代入可得,解得, 故抛物线的标准方程为, 故准线方程为, 故选：A 3．(24-25高二上.重庆.期末)若抛物线 过点 ,则该抛物线的准线方程为( ) A． B． C． D． 【分析】求出直线与y轴的交点坐标,得抛物线的焦点,进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为, 所以抛物线C的焦点为,故,解得, 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 4．(25-26高二上.全国.单元测试)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在坐标原点,且焦点在直线上, 则抛物线C的标准方程为( ) A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 故点是在以为焦点,以为准线的抛物线上, 故轨迹为, 故选：A 5．(23-24高二上.黑龙江哈尔滨.期中)若点到点的距离比它到直线的距离小1,则点的 轨迹方程是( ) A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的定义得,结合得,将代入抛物线的方程即可解得的值,进而得C的方程. 由抛物线的定义,得, 又,,则,即, 因此,由点在C上,得,结合,解得, 所以C的方程为． 故选：B． 6．(24-25高二上.河南南阳.期中)已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,点在C上,且,则C的方程为( )． A． B． C． D． 【分析】利用直线过抛物线焦点以及斜率为,表示出直线方程,然后联立抛物线方程,结合韦达定理和焦点弦性质,即可求出线段长度. 所以抛物线焦点为, 所以该直线方程为, 即, 联立,得, 设,则, 所以. 故选：A 7．(24-25高二上.广东广州.期末)斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,则线段的长为( ) A． B． C． D． 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程,结合题意作图,可得答案. 【详解】由抛物线,则其焦点,准线, 分别过作,垂足分别为,如下图： 由图可得. 故选：B. 8．(24-25高二上.贵州黔南.月考)已知为抛物线上一动点,定点, 则的最小值为( ) A．20 B．13 C．16 D．34 【详解】以为坐标原点,建立如图平面直角坐标系,依题意可知, 设抛物线方程为,其中为点到桥面的距离, 则,解得． 9．(24-25高二上.全国.课后作业)如图①,上海黄浦江上的卢浦大桥,整体呈优美的弧形对称结构.如图②,将卢浦大桥的主拱看作抛物线,江面和桥面看作水平的直线,主拱的顶端P到江面的距离为100m,且,则顶端到桥面的距离为( ) A．50m B． C．55m D． 【详解】设,因为中点的横坐标为,则, 又由,两式相减得到,可得, 可得,解得或, 联立方程组,整理得, 由,解得,所以. 故选：B. 10．(23-24高二上.山东枣庄.月考)直线与抛物线交于两点,中点的横坐标为2, 则为( ) A． B．2 C．或2 D．以上都不是 A． B． C． D．8 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3, 所以,解得,所以抛物线的标准方程为． 设直线,,． 由消去整理得,, 所以,．又, 所以, 解得, 期中重难突破练(测试时间：60分钟) 则,, 则． 故选：D． 1．已知为坐标原点,抛物线上一点到其准线的距离为3,过的焦点的直线交于两点.当时,的值为( ) 【详解】由抛物线,可得焦点坐标为, 又由圆,可化为, 可得圆心坐标为,半径, 即恒成立, 其中,代入两边平方可得： ,解得, 所以定点满足恒成立, 可得, 如图所示,当且仅当在一条直线上时, 2．已知点分别是抛物线和圆上的动点,若抛物线的焦点为,则的最小值为( ) 此时取得最小值, 即, 所以, , 当时,等号成立, 故选：C A．6 B． C． D． B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 【详解】对于选项A：由抛物线的焦点可得,所以,即的准线为,故A错误； 对于选项B：设直线的方程为,、,联立直线与抛物线方程可得,可得,.由抛物线定义可得,,所以： 当且仅当,即,时,等号成立,即B正确； 3. (23-24 高二上.湖北武汉.月考)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于、两点,其中在第一象限,则下列正确的是( ) A. 的准线为 B. 若,则直线的斜率 C. 若,则的面积为 【详解】选项A：设直线,与抛物线联立,整理得,设,,则,,故选项A错误； 选项B：结合题意及抛物线的定义,有,故,代入抛物线,得,则,故选项B正确； 选项C：,则： 解得,直线,则轴,此时,故选项C正确； 选项D：不妨设点在第一象限,,同理,而,故： 4. (25-26 高二上.湖南邵阳.月考)(多选题)设抛物线的焦点为,为坐标原点,过点的直线交于、两点,过点、分别作准线的垂线,对应垂足分别为点、,连接、,则( ) 结合选项A运算的联立结果,,则： 而,则,故选项D正确. A. 若、两点的纵坐标分别为、,则 B. 的三个顶点到轴的距离之和为 C. 的周长小于 D. 当点的纵坐标为时,的面积为 【详解】设点、、,易知点.因为的重心为抛物线的焦点,由重心坐标公式可得： 且,所以. 对于B选项：易知,且,所以的三个顶点到轴的距离之和为,B错； 对于A选项：因为,由解得,A对； 对于C选项：因为(取等号时,当且仅当点在线段上),(取等号时,当且仅当点在线段上),(取等号时,当且仅当点在线段上),故的周长为. 上述三个等号不可能同时取得,故,即的周长小于,C对； 对于D选项：抛物线的方程为,由题意可得,则,所直线的中点为.,两式作差得,故直线的斜率为,则直线的方程为,即,即,得,即,解得,,,,,D对. 故选：ACD 5. (24-25 高二下.广西河池.期末)(多选题)已知抛物线,的顶点均在上,且的重心为抛物线的焦点.若,则( ) A. 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为. 6. (24-25 高二上.江苏南京.期末)已知为坐标原点,抛物线的焦点为,、为上两点,,则的最小值为__________. 【详解】设方程：,则,求得,则方程：.将其代入抛物线 方程得,即,整理得,解得 ,.由抛物线定义可知,,所以： (2)若直线的方程为,求内切圆的半径； 【详解】(1)因为抛物线经过点,所以,解得或.又的焦点在轴的正半轴上,所以,则,故的方程为. (2)设,,联立,得,,则. 因为点到直线的距离,所以的面积. 由三角形内切圆半径公式,得： 7. (24-25 高二下.湖南衡阳.期末)已知抛物线经过点,的焦点在轴的正半轴上,点、在上运动. (1)求的方程； 因为,,所以,整理得.又因为,,代入上式得： (3)是,定点坐标为. 将代入,得,则,代入①可得. 因为,所以,即,所以直线方程为,故直线过定点. (2)证明：直线过定点,并求出该定点坐标； (3)若点,直线、分别与抛物线相交于、两点(异于、两点),记的面积为,记的面积为,试判断是否为定值,若为定值,则求出此定值；若不为定值,请说明理由. 【详解】(1)由抛物线定义可知,又题设,所以,解得, 故抛物线的方程为. 8. (24-25 高二下.浙江温州.开学考试)已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于、两点,,点为坐标原点,. (1)求抛物线的方程； 将代入上式,得,解得(舍去,此时直线过原点,与矛盾),则直线方程为,过定点. (2)证明：直线过定点,并求出该定点坐标； (2)设直线方程为,且,,联立直线与抛物线,消去,得,故. 因为,所以,即.又,,所以： 因为,所以.又,, 所以： 由(2)知,,,则,所以： 因此为定值,定值为. 设,由韦达定理得,即；设,同理可得,即. $