专题02 组合与组合数8大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题02 组合与组合数8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、组合数的化简及证明 1 题型二、组合数方程及不等式 1 题型三、组合数的性质及应用 2 题型四、组合的辨析 2 题型五、有限制位置的组合问题 3 题型六、与几何图形有关的组合问题 4 题型七、分组分配问题 5 题型八、隔板法 5 B 综合攻坚·能力跃升 6 题型一、组合数的化简及证明 1．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 2．计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4). 题型二、组合数方程及不等式 5．满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 6．已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 7．若正整数n满足不等式，则 . 8．解方程： (1)； (2)解方程：. 9．解关于x的方程： (1)； (2)． 10．若，求m. 题型三、组合数的性质及应用 11．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 12．已知正整数m满足，则 ． 13．已知，则 ．（用数字作答） 14．求证： (1)； (2)． 15．已知（，且）. (1)当时，求的值； (2)若，求的值. 题型四、组合的辨析 16．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 17．给出下列问题： ①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为（    ） A． B． C． D． 18．下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商． 19．从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、有限制位置的组合问题 20．某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（   ） A． B． C． D． 21．运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 22．高低不同的7人排成一排（最高的在中间，两边各3人，高度从中间到两边依次降低），则有 种不同的排法． 23．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 24．某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 25．赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电， (1)求有多少种不同的充电方案； (2)若要求A、B两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答） 题型六、与几何图形有关的组合问题 26．如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 27．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 28．在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 29．已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 30．如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有 个． 31．如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 题型七、分组分配问题 32．将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 33．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有 种. 34．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 35．（多选）2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（    ） A．每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B．有论坛没人参与的情况共有256种 C．恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D．4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 36．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有 种（用数字作答）． 37．北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为 . 题型八、隔板法 38．现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 39．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 40．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 41．方程的正整数解共有 组． 42．某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 43．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法? 一、单选题 1．用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　） A．8个 B．16个 C．24个 D．32个 2．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知，从1，2，…，中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为，则（    ） A．6 B．7 C．20 D．21 4．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（    ） A．12 B．18 C．27 D．36 6．某旅馆剩余三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有三个成人带两个小孩子来此住宿，小孩子不宜单住一间（必须有成人陪同），则不同的住宿方法有（    ）. A．35种 B．27种 C．21种 D．18种 二、多选题 7．某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（    ） A．都是合格品的抽法种数为 B．恰有件不合格品的抽法种数为 C．至少有件不合格品的抽法种数为 D．至多有件不合格品的抽法种数为 8．某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 三、填空题 9．现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分法的种数是 ．（用排列数、组合数表示） 10．袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 . 11．把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的空白处中，从左到右数字从小到大，从上到下数字从小到大，且4在中心位置，共有 种排法． 四、解答题 12．（1）求的值； （2）解不等式. 13．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 14．家家户户贴春联是春节的传统，流传下来的很多经典的春联，包含着人们对未来生活的祝福和向往，比如一副春联的上联为“一帆风顺年年好”，下联为“万事如意步步高”．将该春联上联的7个字随机排成一排，求相同字之间有2个字的概率．这道题的解法是将上联的7个字随机排成一排，共有种排法，而相同字之间有2个字有种排法，故相同字之间有2个字的概率为． 分析上面所给解法是否正确，如果不正确，请说明理由，并给出正确解答． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 组合与组合数8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、组合数的化简及证明 1 题型二、组合数方程及不等式 2 题型三、组合数的性质及应用 4 题型四、组合的辨析 6 题型五、有限制位置的组合问题 7 题型六、与几何图形有关的组合问题 9 题型七、分组分配问题 12 题型八、隔板法 14 B 综合攻坚·能力跃升 16 题型一、组合数的化简及证明 1．计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【详解】． 故选：B． 2．计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C 【详解】，，， 故选：C． 3．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)210 (2)1 (3)210 (4)120 【分析】 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 题型二、组合数方程及不等式 5．满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 6．已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【详解】由题意知，且，解得． 故选：C 7．若正整数n满足不等式，则 . 【答案】5 【详解】由，得，且， 化简整理得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 8．解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 9．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． （2）由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或 （舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． 10．若，求m. 【答案】或 【详解】依题意，得且，所以， 由，可得，即，解得， 又因为，所以或. 题型三、组合数的性质及应用 11．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 12．已知正整数m满足，则 ． 【答案】5 【详解】因为，所以． 故答案为：5. 13．已知，则 ．（用数字作答） 【答案】495 【详解】由可得， 故. 故答案为：495. 14．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） ． （2） ． 15．已知（，且）. (1)当时，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)42； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，. （2）因为，所以， 即，所以， 所以，解得. 题型四、组合的辨析 16．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 17．给出下列问题： ①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于①，选出名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题； 对于②，选出人观看不涉及顺序问题，是组合问题； 对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题. 故选：C. 18．下列问题中，属于组合问题的是 ．（填序号） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商． 【答案】①③ 【详解】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题． 对于②，从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员为排列问题． 对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题． 对于④，从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商，因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故为排列问题． 所以组合问题有①③． 故答案为：①③． 19．从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响， 而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响. 所以属于组合的有和、积，共2个. 故选：B 题型五、有限制位置的组合问题 20．某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知该校高一、高二、高三年级学生比例为， 所以需从这三个年级分别抽40、30、30名学生， 则不同抽样结果种数有：. 故选:D． 21．运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 【答案】B 【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类： 第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法， 第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B. 22．高低不同的7人排成一排（最高的在中间，两边各3人，高度从中间到两边依次降低），则有 种不同的排法． 【答案】20 【详解】如图13所示，除去最高的1人，从其余的6人中任选3人排在最高者的一侧， 最后3人按照高矮顺序排在另一侧，有（种）.    故答案为：. 23．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 24．某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 【答案】C 【详解】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法； 若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一， 则有种体验方法， 故不同的体验方法共有种． 故选：C． 25．赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电， (1)求有多少种不同的充电方案； (2)若要求A、B两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答） 【答案】(1)； (2)168. 【分析】 【详解】（1）先从A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴车中选出三辆车安排在上午充电，有， 余下的三辆车安排在下午充电，， 共有种方案． （2）先排车，第一种方案，车在上午充电，有种可能， 此时再排，车在下午充电，有种可能， 再排A、B，又分A、B同在下午和一个上午一个下午两种情况，有可能， 第二种方案，车在下午充电，有种可能， 此时再排，车在下午充电，有种可能， 再排A、B，只能一个上午一个下午，有可能， 最后再排剩下的两辆车，有种可能， 最后共有：种方案． 题型六、与几何图形有关的组合问题 26．如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 【答案】A 【详解】任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有（对）． 故选：A. 27．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 28．在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 29．已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 【答案】C 【详解】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论： 从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况； 从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况； 从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况， 所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥. 故选：C. 30．如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有 个． 【答案】33 【详解】因在同一平面内的四点组都含有点，故可以分成两类情况： ①四点组在四面体的侧面上，如在平面中，除去点，还剩5个点，选其中3点，有个， 同理在平面和平面中也各有10个，共有30个； ②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上，如平面中，除去点还剩3个点，故有1个， 同理在平面和平面上，也各有1个，共有3个. 综上，在同一平面内的四点组共有33个. 故答案为：33. 31．如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 【答案】150 【详解】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 题型七、分组分配问题 32．将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（   ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【答案】B 【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B 33．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有 种. 【答案】60 【详解】登山运动员中不熟悉道路的有6人，熟悉道路的有4人，平均分为两组，有种. 对所分得的两个组进行排列，有种. 由乘法原理知． 故不同的分组方法有60种. 故答案为：. 34．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 【答案】 【详解】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 故答案为：. 35．（多选）2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（    ） A．每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B．有论坛没人参与的情况共有256种 C．恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D．4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 【答案】AC 【详解】对于A，每个论坛都有人员参与的情况数为，故A正确； 对于B，人参加四个论坛，每人只能去一个的总的情况数为， 则有论坛没人参加的情况数为，故B错误； 对于C，恰有1个论坛没人参与的情况数为，故C正确； 对于D，4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况数为，故D错误. 故选：AC. 36．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有 种（用数字作答）． 【答案】42 【详解】6名学生随机分配到3个不同的办公室，有和两种情况， 当按照分配时，甲乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室， 先选一个办公室给甲乙两人，有种方法， 将剩余的4人平均分配到两个办公室，有种方法， 此时，共有种情况， 当按照分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有种方法， 将剩余的4人按照1,3分配到两个办公室，有种方法， 此时，共有种情况， 综上，共有种情况. 故答案为：42 37．北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为 . 【答案】 【详解】5个人分成3组，第一种情况是1,1,3，有种方法，第二种情况是1,2,2，有种方法，所以共有25种分组的方法， 再分配到3个项目，有种方法. 故答案为： 题型八、隔板法 38．现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 39．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 【答案】 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 40．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 41．方程的正整数解共有 组． 【答案】58 【详解】对于方程，设，，， 则，，． 当时，，可以为，，， 利用隔板法可得解的组数为； 当时，，利用隔板法可得解的组数为． 故方程的正整数解共有组． 故答案为：58. 42．某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【答案】70 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 43．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法? 【答案】120 【详解】因为小球是不加区别的，我们可以先在2号盒子中放入一个球，3号盒子中放入两个球， 再把剩下17个球放入三个盒子中，每个盒子至少一个. 由隔板法共有种不同的方法. 一、单选题 1．用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　） A．8个 B．16个 C．24个 D．32个 【答案】D 【详解】根据题意，满足条件的五位数有以下两类： 第一类，这五个数字为0，0，0，1，2，首位不能 0，所以有个； 第二类，这五个数字为0，1，1，2，2，首位不能是 0，所以有 个． 所以，满足题意的五位数有 个． 故选：D． 2．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 3．已知，从1，2，…，中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为，则（    ） A．6 B．7 C．20 D．21 【答案】B 【详解】从个正整数中任意取出两个不同的数共有取法，其中两数之和为3的取法为：，共1种， 故两数之和等于3的概率为，所以，即， 所以，又因为，解得：. 故选：B． 4．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由得，解得. 故选：D. 5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（    ） A．12 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【详解】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况： 当乙得第4名，有种可能； 当乙得第3名，有种可能， 故共有种，故B正确. 故选：B. 6．某旅馆剩余三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有三个成人带两个小孩子来此住宿，小孩子不宜单住一间（必须有成人陪同），则不同的住宿方法有（    ）. A．35种 B．27种 C．21种 D．18种 【答案】B 【详解】成人用“大”表示，小孩子用“小”表示，按每个房间所住的客人情况可分为四类： ①（小大），（小大），（大），此种情况有种； ②（小小大），（大），（大），此种情况有种； ③（小大大），（小大），（空），此种情况有种； ④（小小大），（大大），（空），此种情况有种. 由加法原理得． 故不同的住宿方法有27种. 故选：B. 二、多选题 7．某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（    ） A．都是合格品的抽法种数为 B．恰有件不合格品的抽法种数为 C．至少有件不合格品的抽法种数为 D．至多有件不合格品的抽法种数为 【答案】BCD 【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中， 对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错； 对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对； 对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品， 抽法种数为，C对； 对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对. 故选：BCD. 8．某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【详解】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC 三、填空题 9．现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分法的种数是 ．（用排列数、组合数表示） 【答案】 【详解】先将10本书分成有顺序的6堆，其中第1堆为3本书，第2、3堆为2本书，第4、5、6堆为本书，则有种情况， 然后将甲、乙、丙等六人也进行排序，有种情况， 而得2本书的两人和得1本书的三人并无顺序差异，因此要除以，再除以消序． 综上所述，不同分法的种数是． 故答案为：． 10．袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 . 【答案】1 【详解】由取出的两个球都是红球的概率为，根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 再由一红一黄的概率为，可得：， 所以，即， 故答案为：1 11．把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入如图的空白处中，从左到右数字从小到大，从上到下数字从小到大，且4在中心位置，共有 种排法． 【答案】12 【详解】根据题意，数字1只能排在左上角，数字9只能排在右下角． 则第一行的第2位和第一列的第2位只能排2和3，有种排法， 而5只能排在第一行或第一列的第3位，有种排法. 可得和5对角的位置可以排6或7，有种排法. ①若排6，则把剩余2个数字7和8全排列，有种排法； ②若排7，则6和8的顺序一定，有1种排法. 综上，共有种排法. 故答案为：12 四、解答题 12．（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 13．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)68种 (2)2520种 【分析】 【详解】（1）由题意，分3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法； 有2名女性，2名男性，共有种选法； 有3名女性，1名男性，共有种选法． 所以参加此次航天任务的航天员既有男性也有女性的选法共有（种）． （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组， 再分配到A，B，C实验室，共有种方法， 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式． 14．家家户户贴春联是春节的传统，流传下来的很多经典的春联，包含着人们对未来生活的祝福和向往，比如一副春联的上联为“一帆风顺年年好”，下联为“万事如意步步高”．将该春联上联的7个字随机排成一排，求相同字之间有2个字的概率．这道题的解法是将上联的7个字随机排成一排，共有种排法，而相同字之间有2个字有种排法，故相同字之间有2个字的概率为． 分析上面所给解法是否正确，如果不正确，请说明理由，并给出正确解答． 【答案】不正确，理由见解析 【详解】所给解法不正确．理由：排列时忽略了相同元素，且最后计算结果也不正确． 正确解答：因为两个“年”字是相同元素，所以将上联的7个字随机排成一排时，共有种排法， 相同字之间有2个字有种排法， 则相同字之间有2个字的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $