精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高二上学期十月月考数学试卷

成都石室天府中学2025-2026学年度上期高2024级 十月月考数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式解得集合，再由交集的运算可得结果. 【详解】因为，解得或， 所以集合或， 所以， 故选：C. 2. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可； 【详解】由题意可得， 又正项等差数列的公差为d，已知， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：C. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由又，可得公差，从而可得结果. 【详解】是等差数列 又， ∴公差， ，故选C． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理即可求解． 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：， 设F关于的对称点为， 由题意可得，解得， 又点M在双曲线上，则， 整理得：，得离心率， 故选：D 5. 已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 6. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 7. 已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. 12 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先判断正四棱锥的内切球的球心在其高线上，过点作于点，连接，过点作于点，证明平面，得，通过计算依次求得，直至求得高线长，即可求其体积. 【详解】 因为球与该正四棱锥的各面均相切，所以该球的球心在的高线上， 过点作于点，连接，过点作于点. 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，故，又平面，故平面. 依题意，，因为底面边长为，所以， 在中，，则， 因，则，则， 故，则. 故选：B. 8. 已知数列共有5项，满足，且对任意有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①；②；③数列是等差数列；④集合中共有9个元素.则其中真命题的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】当时，可知，所以可判断①；必有 ，则，则有或，若，则，所以舍，若，则，同理可得，故可判断②；由②可推出③；将罗列可判断④。 【详解】因为对任意有仍是该数列的某一项，则可令时，可知，且，则可得，故①正确； 由①知，可得，必有，则， 则有或， 若，则，所以舍， 若，则，同理可得，故②正确； 由②的推导过程可知，所以可得数列是等差数列，故③正确； ，由③可知，将所有罗列出可得 ，故集合有9个元素，故④正确. 故选：A 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则， 对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确； 对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确； 对于C，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误； 对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 四棱锥的体积为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D． 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 而平面，平面， 得，平面 则平面， 所以是直线与平面所成的角为，故A正确； 点到平面的距离为的长度为， 则，故B正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确； 连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得， 又，， 由余弦定理可得，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴､轴和原点对称； B. 当时，曲线上及围成的区域内部共有8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； C. 当时，曲线围成的区域面积大于； D. 当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是4. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对称点的坐标关系可判断A，列举出整点可判断B，利用曲线的方程与的关系可判断C，求出曲线上的点到原点的最大值可判断D. 【详解】对于A，用代换，方程不变，曲线关于轴对称；用代换，方程不变，曲线关于轴对称；用代换，代换，方程不变，曲线关于原点对称；A正确. 对于B，时，，易知均在曲线围成的区域内部， 均在曲线上，所以共有9个点符合题意，B错误. 对于C，时，由可知，即，所以， 所以曲线上任意一点都在以原点为圆心，半径为1的圆上或圆外， 而圆的面积为，且存在一些点在圆外，所以曲线围成的区域面积大于，C正确. 对于D，时，，可得，且， 曲线上任意一点到原点的距离为， 由对称性可知，曲线围成的区域内两点之间的距离的最大值是， 而，所以D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等比数列，，则数列的前项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列定义可得数列的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【详解】由是等比数列可得其公比， 因此数列的首项为，公比，所以，即； 所以数列的前项和为 . 故答案为： 13. 过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若点在第一象限，且，则该直线的斜率____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，设点、，则，分析可得，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，即可得出直线的斜率. 【详解】抛物线的焦点为，因为直线过点，且点在第一象限， 则直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、，则， 因为，则，即，所以，， 联立可得，， 由韦达定理可得， 所以，，则，解得或（舍）， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为________. 【答案】1009 【解析】 【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得，解得， 所以所求值为1009. 故答案为：1009 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知数列的前项和为，解决下列问题. （1）若通项公式为，求其前项和； （2）若前项和，求其通项公式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前项和的定义即可求解； （2）利用即可求解. 【小问1详解】 由题意有：； 【小问2详解】 当时，，即， 当时，由； 当时，不满足上式. 所以通项公式为. 16. 已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得，利用数列的递推式作差可得，从而得解； （2）由（1）求得，再利用错位相减法即可得解. 【小问1详解】 因为数列是首项为3，公比为9的等比数列， 所以，所以， 由， 得当时，， 两式相减，得，即， 又当时，也符合， 所以. 【小问2详解】 设， 则， 故， 两式作差得， 即， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）． （1）若点是中点，证明：面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 证明：取线段的中点，连接、， 因为，，为的中点，则且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，，设，其中，以点为坐标原点，、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求得的值，即可得解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解：连接， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，，且， 因为，则， 又因为，则， 因为，为的中点，则， 因为，，，所以，， 所以，，则， 又因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，若直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得， 因为，解得，故. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆. 【答案】（1） （2） （3）证明：由，所以直线的方程为：， 令，，所以， 同理， 所以， 所以 ， ， 所以，同理， 所以四点共圆. 所以四点共圆. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出进而求解； （2）设直线单调方程为：，与椭圆方程联立得，设，进而得，即，得，令，利用导数得的单调性，利用单调性求最小值即可求解； （3）由，所以直线的方程为：，进而得的坐标，同理得坐标，即可计算，进而得，，利用圆的性质即可得证. 【小问1详解】 由题意有：，又， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）有，设直线方程为：， 所以，所以， 设， 所以， 所以 ， 令 在单调递增， 当时，面积的最大值为. 【小问3详解】 略. 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． （1）证明：为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）表示不超过实数的最大整数，求． 【答案】（1） 因为数列的前项和为，且， 当时，，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，所以， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 故，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可得出的值，当时，由可得，两式作差可得，变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，再利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项相消法可求得； （3）由放缩法得出，可求出的取值范围，即得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ， 所以，. 故数列的前项和. 【小问3详解】 因为， 因为， 所以， ， ， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室天府中学2025-2026学年度上期高2024级 十月月考数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 3. 设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 7. 已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. 12 C. D. 36 8. 已知数列共有5项，满足，且对任意有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①；②；③数列是等差数列；④集合中共有9个元素.则其中真命题的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 四棱锥的体积为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴､轴和原点对称； B. 当时，曲线上及围成的区域内部共有8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； C. 当时，曲线围成的区域面积大于； D. 当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是4. 第II卷（非选择题） 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等比数列，，则数列的前项和为__________. 13. 过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若点在第一象限，且，则该直线的斜率____________． 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为________. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知数列的前项和为，解决下列问题. （1）若通项公式为，求其前项和； （2）若前项和，求其通项公式； 16. 已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）． （1）若点是中点，证明：面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆. 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． （1）证明：为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）表示不超过实数的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $