精品解析： 天津市蓟州区第一中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

九上第一次月练习数学 一、选择题（共12小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A. 2x2﹣y﹣1＝0 B. x2＝1 C. x2﹣x（x+7）＝0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，故选项错误； B、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故选项正确； C、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误； D、是分式方程，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象与二次函数图象共存问题，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵当时，， ∴一次函数的图象过定点，故A，C不符合题意； B、由二次函数的图象可得：，顶点在y轴的负半轴上，由一次函数的图象可得：，图象与y轴的正半轴相交，，故此选项符合题意； D、由二次函数的图象的开口可得： ，由一次函数的图象可得： ，的范围不一致，故此选项不符合题意 故选B． 4. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，直接根据抛物线的图象和性质判断即可． 【详解】解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 7. 抛物线，，共有的性质是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴都是轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：，，开口向下，有最大值，对称轴为，即轴； ，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴； ，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴； 共有的性质是：对称轴都是轴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 9. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】方程分解因式得：(x−2)(x−5)=0， 解得：x=2或x=5， 当2为腰时，三边长分别为：2，2，5，不能构成三角形，舍去； 当2为底时，三边长为5，5，2，周长为5+5+2=12. 故选A. 10. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可． 【详解】∵， ∴原抛物线顶点坐标为（1，2）， ∵向右平移1个单位，再向上平移5个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，7）， ∴所得抛物线解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便． 11. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 12. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1=2且m-1≠0， 解得：m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，牢固掌握一元二次方程的定义是做出本题的关键． 14. 二次函数顶点坐标_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是运用了顶点式，得到顶点坐标是． 【详解】解：二次函数顶点坐标为， 故答案为：． 15. 二次函数的图象与x轴相交于，两点，则该抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】由抛物线对称性质可知，抛物线与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于和两点， 其对称轴为：直线． 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等． 16. 已知二次函数的最小值是，那么m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据解析式可得顶点坐标和开口方向向上，再根据开口方向向上的二次函数的最小值即为顶点的纵坐标建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为，且函数图象开口向上， ∴函数的最小值即为， 又∵二次函数的最小值是， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，两个二次函数的形状相同，那么对应的二次项系数的绝对值相同，再由函数的对称轴为轴，且时，随的增大而减小可得，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴， ∵在中，时，随的增大而减小，且对称轴为轴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 18. 当时，函数的最小值为4，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当时函数有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)， 当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最小值4，分两种情况讨论： 若时，当x=a时，y的最小值是4， ∴ 若时，当x=a+1时，y的最小值是4， ∴， 解得a=-2， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键． 三、解答题（共7小题） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，， 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， 则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 20. 已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+9；（2）△ABC的面积为27． 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x−1)2+9， 把(−1,5)代入得a(−1−1)2+9=5， 解得a=−1， 所以抛物线解析式为y=−(x−1)2+9； (2)当y=0时,−(x−1)2+9=0， 解得x1=4,x2=−2， 所以B.C两点的坐标为(−2,0),(4,0)， 所以△ABC的面积 【点睛】考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 22. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式得到开口方向，对称轴和顶点坐标，则可推出离对称轴越远函数值越大，进而可确定函数在时有最小值，在时，函数有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（）经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 在中，当时，， ∵，， ∴当时，函数在时有最小值，在时，函数有最大值， ∴当时，y的取值范围为． 23. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米 【解析】 【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2-x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2-x）=140，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2-x）=140， 解得：x1=20，x2=14， ∵这堵墙的长为18米， ∴x=20不合题意舍去， ∴x=14， 宽为：×（32+2-14）=10（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应定为70元； 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确列出函数关系式和一元二次方程是解题的关键． （1）明确题意，找到等量关系，列出函数关系式即可； （2）根据题意，根据利润、售价、成本、销量的关系列出方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， 所以y与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得：，即， 解得：，， ， 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元． 25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上第一次月练习数学 一、选择题（共12小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A. 2x2﹣y﹣1＝0 B. x2＝1 C. x2﹣x（x+7）＝0 D. 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 6. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 7. 抛物线，，共有的性质是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴都是轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ） A. 12 B. 12或9 C. 9 D. 7 10. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 11. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 14. 二次函数顶点坐标_____． 15. 二次函数的图象与x轴相交于，两点，则该抛物线的对称轴是________． 16. 已知二次函数的最小值是，那么m的值是__________． 17. 已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为__________． 18. 当时，函数的最小值为4，则a的值为____________． 三、解答题（共7小题） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 22. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 23. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $