3.1.2函数的单调性限时训练-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第1周 2025-9-6 一个人借故堕落总是不值得原谅的。 ( 《 函数的 单 调性 》 限时训练 组题： 审核： 时长： 45分钟 ) ( 高一数学 必修 一 ) 姓名： 班级： 分值：_________ 一、概念填空 1. 增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数 的定义域为 ，且 如果对任意 ， ，当 时 都有 都有 结论 称 在 上是 （也称在 上单调递增） 称 在 上是减函数（也称在 上单调递减） 图示 如果函数 在 上单调递增或单调递减，那么就称函数 在 上具有 （当 为区间时，称 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 2. 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数 的定义域为 ，且 ：如果对任意 都有 都有 结论 称 的最大值为 ，而 称为 的最大值点 称 的最小值为 ，而 称为 的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 二、练习 1. 定义法证明（判断）函数的单调性 （1）证明：函数 在 上是减函数. （2）求下列函数的单调区间. （1） ； （2） . 2. 函数单调性的应用 （1）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 ； （2） 在 上单调递减，那么 与 的大小关系是 ； （3） 已知函数 是R 上的增函数，且 ,则实数 的取值范围为 ； （4） 已知 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 . （5）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 . 3. 利用单调性求函数的最值（值域） （1）已知函数 . 判断函数在区间 上的单调性，并用定义证明； 求该函数在区间 上的最大值和最小值. （2）已知函数 . 证明: 在 上是增函数; 求 在 上的最值. 4.利用平均变化率证明函数的单调性 （1）已知函数 . 分别计算 在自变量 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； 用平均变化率讨论函数 的单调性. （2）已知函数 ， ，判断函数 的单调性，并证明. ( 第 3 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第1周 2025-9-6 一个人借故堕落总是不值得原谅的。 ( 《 函数的 单调性 》 限时训练 组题： 审核： 时长： 45分钟 ) ( 高一数学 必修 一 ) 姓名： 班级： 分值：_________ 一、概念填空 1. 增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数 的定义域为 ，且 如果对任意 ， ，当 时 都有 都有 ＞ 结论 称 在 上是 增函数 （也称在 上单调递增） 称 在 上是减函数（也称在 上单调递减） 图示 如果函数 在 上单调递增或单调递减，那么就称函数 在 上具有 单调性 （当 为区间时，称 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 2. 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数 的定义域为 ，且 ：如果对任意 都有 ≤ 都有 ≥ 结论 称 的最大值为 ，而 称为 的最大值点 称 的最小值为 ，而 称为 的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 二、练习 1. 定义法证明（判断）函数的单调性 （1）证明：函数 在 上是减函数. 证明 任取 ， ，且 ， 则 ， ， , ， 则 ， ， 即 ， 在 上是减函数. （2）求下列函数的单调区间. （1） ； [解析]函数 的单调区间为 ， ，且函数在 ， 上都是增函数. （2） . [解析] 即 函数图象如图所示, 由图象可知，函数的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 , 2. 函数单调性的应用 （1）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 ； [解析] 的图象开口向下，要使 在 上是增函数，只需 ， 即 ，∴实数 的取值范围为 . 在 上单调递减，那么 与 的大小关系是 ； [解析] , 且 在 上单调递减， . （3） 已知函数 是 上的增函数，且 ,则实数 的取值范围为 ； [解析] 在 上是增函数，且 ， ，即 ，∴实数 的取值范围为 （4） 已知 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 . [解析] ， 观察可知，要使 要在区间 上单调递增，只需 ，解得 ，故 的取值范围为 . （5）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 . 3. 利用单调性求函数的最值（值域） （1）已知函数 . 判断函数在区间 上的单调性，并用定义证明； [解析] 在 上为增函数. 证明：任取 , ,且 ， 则 ， 因为 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 即 ， 所以 在 上为增函数. 求该函数在区间 上的最大值和最小值. [解析]由（1）知 在 上单调递增， 所以 的最小值为 , ，最大值为 , . （2）下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 已知函数 . 证明: 在 上是增函数; [解析]证明:任取 , ,且 ,则 . , , ， 则 , 故 ,即 , 在 上是增函数. 求 在 上的最值. [解析]由（1）可知 在 上是增函数, ∴当 时, . 又 , , 在 上的最大值为 ,最小值为 . 4.利用平均变化率证明函数的单调性 已知函数 . （1） 分别计算 在自变量 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； [解析]自变量 从1变到2时，函数 的平均变化率为 . 自变量 从3变到5时，函数 的平均变化率为 . 因为 ，所以函数 在自变量 从3变到5时函数值变化得较快. （2） 用平均变化率讨论函数 的单调性. [解析]任取 , ，且 ， 则 ， 所以 ，易知 ， 所以当 时, 为增函数. 已知函数 ， ，判断函数 的单调性，并证明. [解析] , 为增函数. 证明：任取 ， ，且 ， 则 ， 可得 ， 易知 ，所以 ， 故函数 在 上是增函数. ( 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $