黑龙江省大庆市第四中学2025-2026学年高二上学期第一次检测数学试题

大庆四中2025～2026学年第一学期高二年级第一次检测 数学学科试题答案 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C D B D D B AB BCD ABD 1．A 【分析】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，， 所以，所以. 故选：A. 2．A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 3．C 【分析】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解. 【详解】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 4．D 【分析】将方程变形为，根据题意可得，计算即可得答案. 【详解】方程变形可得， 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D 5．B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 6．D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 7．D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 8．B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 9．AB 【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】：（）变形为， 由 则因此直线过定点，故A正确； 当时，：，：， 所以，故两直线平行，故B正确； 当时，：，：， 因为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D错误． 故选：AB． 10．BCD 【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可. 【详解】， 所以， 对于A：因为，所以长轴为，A错误； 对于B：因为，所以焦距为，B正确； 对于C：当取到上顶点时此时取到最大值， 此时，， 所以，所以此时为钝角， 所以存在使得，C正确； 对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值， 此时，D正确， 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确. 【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离， 对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， 故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确； 对于C，圆与圆恰有三条公切线， 则两圆外切，即，解得，C错误； 对于D，如图，    点在位置时，，此时，点在位置时，此时， 所以中间必然有位置使得，故D正确． 故选：ABD 12．0或 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 13． 【分析】化简式子可得，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：，所以 如图 又直线，即过定点 当直线与半圆相切时，则 当直线过点时， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 14． 【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可. 【详解】   由题可知，． 因为平分，所以到，的距离相等， 设为，则． 易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点， 过作于， 易得，则，从而． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 16．（1）a＝﹣3．（2）x﹣y+8=0或x﹣y＝0． 【分析】（1）把联立求出，代入即可求解. （2）设D（b，c），由点在上以及AC边上的高BD，列方程组求出 根据与垂直以及点斜式方程即可求解. 【详解】（1）联立，解得x＝2，y＝6，所以 ，点在上 代入y＝ax+12，可得：6＝2a+12，解得a＝﹣3． （2）设D（b，c），则，解得b＝0，c＝8，或b＝4，c＝4． ∴边AC所在的直线方程为： x﹣y+8=0，或x﹣y＝0． 【点睛】本题主要考查直线方程，考查了学生的分析能力和计算能力，属于基础题. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 18．(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析； (2)． 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【详解】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 答案第12页，共12页 高二年级第一次检测 数学学科试题答案（2025.10.9） 第1页共11页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $大庆四中2025~2026学年第一学期高二年级第一次检测 数学学科试题 考试时间:120分钟 分值:150分 本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分 第 卷 1. 选择题:本题共8小题,每小题5分共40分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.圆与直线的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 3.已知直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为( ) A. B. C.或 D.或 4.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( ) A.[4,5] B. C. D. 5.已知圆关于直线(,)对称,则的最小值为( ) A. B.9 C.4 D.8 6.已知是椭圆的下焦点,为上一点,,则的最小值为( ) A. B. C.4 D. 7.已知椭圆的左、右焦点分别为,过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,若,且,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知实数满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知直线:,:(),则( ) A.直线过定点 B.当时, C.当时, D.当时,两直线,之间的距离为2 10.已知点是椭圆上一点,椭圆的焦点是,则下列说法中正确的是( ) A.椭圆的长轴长是9 B.椭圆焦距是 C.存在使得 D.三角形的面积的最大值是 11.已知圆,圆,直线,下列结论正确的是( ) A.若直线与圆相切,则 B.若,则圆上到直线的距离等于的点恰有3个 C.若圆与圆恰有三条公切线,则 D.若为圆上的点,当时,过点作圆的两条切线,切点分别为,则可能为 第 卷 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知,两点到直线的距离相等,则 . 13.曲线与直线有两个交点,则实数的取值范围是 . 14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,是上异于顶点的一点,为坐标原点,为线段的中点,的平分线与直线交于点,当四边形的面积为时, . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的短轴长及的周长; (2)若直线过点,求弦长. 16.(本小题满分15分) 已知 ABC的边AB所在直线方程为y=3x,BC所在直线方程为y=ax+12,AC边上的高BD所在直线方程为y=﹣x+8. (1)求实数a的值; (2)若AC边上的高BD,求边AC所在的直线方程. 17.(本小题满分15分) 过原点O的直线l与圆交于A,B两点,且点. (1)过点P作圆C的切线m,求切线m的方程; (2)求弦的中点M的轨迹方程. 18.(本小题满分17分) 已知圆. (1)若直线与圆交于两点, ( )求的取值范围; ( )证明:直线与直线(为坐标原点)的斜率之和为定值. (2)若直线和直线将圆的周长四等分,求的值. 19.(本小题满分17分) 已知圆C过,,且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长; (2)若直线过点,且被圆C截得的弦长为,求直线的方程; (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M,N,O为坐标原点,直线,分别与直线相交于P,Q,记的面积为,的面积为,求的最大值. 试卷第4页,共4页 高二年级第一次检测 数学学科试题(2025.10.9) 第4页共4页 学科网(北京)股份有限公司 $