精品解析：黑龙江省大庆实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

大庆实验中学2025－2026学年度上学期高二年级月考 数学试题 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆，若点在两圆公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4.5 C. 5 D. 6.5 7. 已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（ ） A. 点必在椭圆上 B. 点必在椭圆上 C. 点必在椭圆上 D. 点必在椭圆上 8. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分. 9. 平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（ ） A. 满足点到直线距离为3的直线有两条 B. 面积的最大值为8 C. 点到距离的最大值为17 D. 的最大值为 10. 热爱数学的小数同学经研究发现，函数的图象是双曲线.设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 不是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 若点到距离为，则点到点距离为或 D. 类比以上结论可猜测的图象是双曲线 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径圆上 D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知直线与直线平行，则实数_____. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16题和17题满分15分，18题和19题满分17分，共78分.把答案填在答题卡的相应位置. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程. 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 17. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，与轴非正半轴交于点，与轴非负半轴交于点，过原点的直线（非坐标轴）与曲线交于两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断直线与直线的位置关系并证明. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与两点，点的坐标为，当点运动时，点的轨迹为曲线.记，直线的方程为，直线与曲线交于两点（点，点均位于轴右侧）.记直线和的交点为点，设直线，的斜率分别为. （1）求曲线的标准方程； （2）记，的面积分别为，，求的最小值. 19. 已知椭圆方程：，点是椭圆的右焦点. （1）点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值； （2）以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2025－2026学年度上学期高二年级月考 数学试题 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知，又，所以. 故选：A 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆定义求出a，结合求出c，即可求出离心率. 【详解】由题意，由椭圆定义得，所以， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：A 3. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出定点后结合圆的标准方程定义即可得. 【详解】，令，解得， 故直线恒过定点， 则以为圆心，2为直径的圆的方程为. 故选：C. 4. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得. 【详解】由的焦点在轴上， 故， 故的渐近线方程为. 故选：D. 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为，若，则的斜率不存在，此时； 若，则， 由正弦函数的性质知， 所以，所以； 综上所述：. 故选：A 6. 已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4.5 C. 5 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】计算两圆圆心距离及其半径之和与之差的关系可得两圆位置关系，则可将两圆方程相减得到公共弦方程，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径，圆圆心为，半径， 则，，， 则，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即为，则在，即有， 则， 当且仅当，即、时等号成立，即的最小值为. 故选：B. 7. 已知为椭圆上一点，椭圆的四个顶点为，且，则（ ） A. 点必在椭圆上 B. 点必在椭圆上 C. 点必在椭圆上 D. 点必在椭圆上 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】不妨设分别为椭圆的左、右、上、下四个顶点； 则， 又椭圆的焦点坐标为，且为椭圆上一点， 则，故， 即点到的距离之和为， 故点必在以为焦点，且长轴长为的椭圆上， 即点必在椭圆上. 故选：A. 8. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算及两圆的位置关系计算即可. 【详解】设，则， 因为，所以，即M在半径为2的圆上， 又点M在半径为1的圆上，， 所以两圆有公共点，则， 解不等式得. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分. 9. 在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（ ） A. 满足点到直线的距离为3的直线有两条 B. 面积的最大值为8 C. 点到距离的最大值为17 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点到直线的距离即可求解A；由，根据距离公式化简得到点轨迹，进而根据面积公式即可求解B；利用直线恒过定点，当直线与过和的直线垂直时，点到直线的距离最大即可求解C；对于D，根据直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】设，由，得， 即，即点的轨迹是圆，且圆心为，半径， 对于A，若到直线距离为3，即，解得，因此只有一条直线符合条件，故A错误； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确； 对于C，由于恒过定点，和之间的距离为13，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，且最大距离为，故到距离的最大值为，C正确； 对于D，当直线与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，D错误． 故选：BC. 10. 热爱数学的小数同学经研究发现，函数的图象是双曲线.设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 不是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 若点到距离为，则点到点距离为或 D. 类比以上结论可猜测的图象是双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，由反比例函数的性质可知是函数的对称轴，故A错误； 对于B，根据反比例函数的图象知两条坐标轴是其渐近线，两渐近线互相垂直，由双曲线定义知其为等轴双曲线，即，故B正确； 对于C，易知与的交点为， 即该双曲线的两个顶点为，所以， 所以两焦点坐标为和， 根据双曲线的定义知：若,所以P更靠近， 则，故C错误； 对于D，的渐近线为，对称轴为两条渐近线角平分线， 其图象绕原点逆时针旋转即可得到标准的双曲线方程，故D正确. 故选：BD 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径的圆上 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理计算即可得；对B：根据题意结合椭圆的光学性质可得为的角平分线，再利用等面积法计算即可得；对C：借助椭圆的光学性质计算即可得；对D：根据题意结合正弦定理运算即可得. 【详解】对A：由题意可得，， 则，， 则，故A正确； 对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线， 又， 则， 化简得，即，故B正确； 对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且， 则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确； 对D：由正弦定理可得，， 即有，， 又、， 故，则， 即，故，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知直线与直线平行，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助平行性质解出后排除直线重合情况即可得. 【详解】由题意可得，解得或； 当时，两直线分别为、，此时两直线重合，不符，故舍去； 当时，两直线分别为、，符合要求； 故. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造向量，根据数量积的定义和性质可求最大值. 【详解】， 设向量，则， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为, 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16题和17题满分15分，18题和19题满分17分，共78分.把答案填在答题卡的相应位置. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【小问1详解】 的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 【小问2详解】 ， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程：或 17. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，与轴非正半轴交于点，与轴非负半轴交于点，过原点的直线（非坐标轴）与曲线交于两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断直线与直线的位置关系并证明. 【答案】（1） （2）平行，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可； （2）设M坐标，含参表示坐标，利用两点斜率公式及点在椭圆上消元化简即可. 【小问1详解】 易知，， 所以点的轨迹为以为焦点，长轴为4的椭圆，即； 【小问2详解】 易知，设点，则，， ，则， 则，， ， 所以，即 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与两点，点的坐标为，当点运动时，点的轨迹为曲线.记，直线的方程为，直线与曲线交于两点（点，点均位于轴右侧）.记直线和的交点为点，设直线，的斜率分别为. （1）求曲线的标准方程； （2）记，的面积分别为，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由可得，求得的坐标，再求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解. （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算可得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值. 【小问1详解】 由，消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则， 解得，，且点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是曲线的标准方程为，. 【小问2详解】 设， 由，消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即， 而， 所以 ，即， 则直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 19. 已知椭圆的方程：，点是椭圆的右焦点. （1）点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值； （2）以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解； （2）（i）当直线的斜率不存在，或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. 【小问1详解】 因为切线交轴于点，所以，则， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； 【小问2详解】 （i）当直线的斜率不存在，或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $