重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周考六试题（10.19）

参考答案 题号 6 7 9 10 11 答案 A A C D B ABC ACD BC 12.12: 13. 4: 14. -6 1.a=3,b=4,c=+6=5,则F(-5,0)、￡(5,0)，双曲线的渐近线为y=±4x,因为40,12 3 所以AF=V5+(-12=13,所以P4+PF=PA+PF+2a24E+2a=19,当且仅当A、P、F在同 直线且P在AF之间时取等号，故A错误： 设△PF5的内切圆的半径为，则SAm-Ss SAIFF P网含手B F5r 设I(x,)在EE上的射影为H,根据双曲线的定义及切线长定理可得PF-PF=2a=HF-HF, 4 区2册，所以匹a+c,所以H@0,近线的通角为0，则m0包 ∠你H=a,则2ae0-0,当m2a=m(x-8,即-音2。解得ma=2,所以mac(Q2引， 则=Haae(04利，所以55FF男e(@,20,故c正确： PR=PF解得 PF=18 延长PI交FE于点M,由 PF-PF3=6 P5=12'由角平分线定理可知 PF MF 3 EMF阿2' 所以MF=4,又由角平分线定理知 M园i,过点I作NGRR交P所、PR分别于点N、G点， PFPI 3 则w、3 PG2,所以M、3 以沿，所以可-号PN+PG,因为可=所+丽，所以x+y 3 ts.3 所以y- 20,故D错误： 3 y20 N 故选：BC F OMH 15.(1)在△ABC中，A+B+C=π，那么由V3sinC-cosB=cos(A-C), 3sinC cos(A-C)+cosB cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,sin C sin A= 3 则在锐角△ABC中，A=号 答案第1页，共4页 (2)由1D知A=号，且ccin4=35,得c=l2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, 那么a2=b2+c2-2 bccos4=b2+c2-bc=(b+c2-3bc,则(b+c)}2=a2+3bc=48,可得b+c=45 16.(1)由题可知： 当直线Ly轴时， 所以AB=2p 因为4B=4,故2p=4,即p=2,故抛物线C的方程为x2=4y. (2)由(1)知：F(0,1),所以直线：y=x+1 联立4，得x24x-4=0, 设点A(x,),B(2,),则x+x=4,xx3=4, 于是k-x=Vx+x)-4xx3=4W2 所以，△4B0的面S=5m+5n-oF--x45=25. 17.(I)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC 因为AB⊥BC,且AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB (2)以B为原点，BC的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B一z,则 p(o.0).C(o.0).(L0).P(12.a2. 则厨=o0.丽- 元.BA=y=0 设平面M4B的法向量为i=(xy,z),则 令x=2,则y=0,z=-1,即i=(2,0,-1), 由(1)知BC1平面PAB,取平面PAB的法向量为BC=(L,O,O), cos(元，BC)=i-8C2V5 BC 5 所以平面M1B与平面PAB夹角的余弦值为25 5 答案第2页，共4页 18()因为点（反）在双线c上，所以子名-1， 又离心率为2，则日+F-2, 23 联立 /61 Va+b ,解得a=l,b=√5， -=2 a 故双曲线方程为2-上=1，渐近线方程为y=士5x. 3 (2)(i)设M(x,),N(x,), r-苦-16-r-a-m-3-0. [y=kx+m 联立 所以△=42m2+43-k2)m2+3>0,即m2+3>k2, 6祭护 2km 6m 则y+y2=c1+m+2+m=k(x+x2)+2m= 3-k2 则MN的中点为D+五，A十丝， km 3m 2 2 即D3R3- 4- 3m 因为线段MN的垂直平分线过点K(0,4),故3￡k=-1,整理得K:+m=3. km 0-3-K (i)由()知m=3-k2,则x+5=2k,5=-m+3,Dk,3), m 则k>0,m<0,则m2+3>k2=3-m,解得m<-1, 又MN=+1VG+尸-4=F+142+4.m+3 -F4g-4-2F5+ m 则wm=M=Ei54,又ka=Fi 8-r-.o引 则an∠MD=O_,A 又∠MKw=2ZMKD,所以∠MKv= 答案第3页，共4页 19.(1)由于椭圆的蒙日圆的面积为5π，短轴长为2， πa2+b2)=5 故 2b=2 ，解得口=2 b=1,所以椭圆E的方程为 4+2=1. 设直线I方程为y=x+1,设点M(x,)、N(x2,), [y=x+t x+v2=1’得5x+8r+42-4=0, 则△=64r2-16x5(-)=16(5-2)>0,解得-√5<t<√5， 由韦达定理可得：+无= 等4-， 5 因为P(4,0),且kw+kw=0,所以片t占=+：+名+'=0， x1-4x2-4x1-462-4 所以，(x+t)(5-4)+(x32+t)(x-4)=2x53+(t-4)(:+为2)-8t=0, 可240-4智）=-0，解得：=1（满是△>0） 所以直线I方程为y=x-1. (2)因为直线I与椭圆E交于M、N两点，与椭圆E的蒙日圆交于H、G两点， 设M(x,),其中x∈[-2,2]且OG=oH川=5， 因为MHMG=(N5-oM)(V5+oM=5-oM 5-(6+5-亏+1-引=46。 形由锅圆的货半径公式M=2+9·MS引2-5 数ww-25j2-5]4 于是MHMG=|MFMF. 由于E和K关于点M处的切线m对称，故MK=MF引，因而MHMG=MFMK. 又根据椭圆的光学性质，知K,M,F三点共线，即KF与HG交于点M, 所以，由圆幂定理知，G、K、H、F四点共圆. 答案第4页，共4页重庆南开中学高2027级高二（上)数学 10.19 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线C的虚半轴长为1，半焦距为√万，则其渐近线方程为() A.y=v2x B.少=t 2 C.y=±2x D.y=2x 2.已知抛物线C:4x+my2=0恰好经过圆M:(x-1)+(y-2)=1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为() A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 3.已知椭圆C: +京=】(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆交于A、B两点，若4B的 x2 .y2 中点为PL-》 且直线B的倾斜角为牙，则此椭圆的方程为(） A. 父+4 -=1 B.+= 。号+ =1 99 94 4.已知定点F(-3,0),F(3,0),P为平面内的动点，直线PF与PF的斜率分别为k、k,则下列条件中 使得点P的轨迹是椭圆的是() A.k2=-1 B.k·k2=1 C.kk3=-2 D.k·k=2 5.希腊数学家帕普斯在其著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的 轨迹叫做圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆：当e=1时，轨迹为抛物线：当e>1时，轨迹为双曲线现 有方程m√x2+y2-4y+4=x-3y+1(m>0)表示的曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到其准线的距离与m 的和为() A.30 B.0 C.25 D.4 2 6.如图，椭圆的中心为坐标原点O,顶点分别是A,A,B,B2,焦点分别为F,F,延长BF与A,B,交于P点， 若∠B,P4为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为() B A.05+1） 4 B.(5 c.(a 试卷第1页，共4页 7.对于直线r-w+2=0上任一点(6，%)，若圆(x-广+0-}=2与双曲线C:-是 a京=1(a>0, b>0)的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是() A.(1,2] B.(1,2 C.（2,+∞) D.「2，+o 8.如图，已知双曲线C二1Q>06>0的右顶点为4,0为坐标原点，以点4为圆心的圆与双曲 线c的一条渐近线交于P,Q两点，若∠P49=120°且00=-20P,则双曲线c的离心率为() A.10 B.3 C.2 D.213 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知椭圆M:x号+片=1(>b>0)的左、右焦点分别为、E,若椭圆M与坐标轴分别交于A、B C、D四点，且从E、F,、A、B、C、D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则椭圆M的离心 率的可能是() A.3 B c.6 2 D. 3 2 10.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线交抛物线C于A,B两点，则() A.|AB的最小值为4 B.以线段AB为直径的圆与y轴相切 1 C.FAFB=1 D.当AF=3FB时，直线AB的斜率为±√5 1.已知双曲线C:。上=1和点4012，厅、B分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上在第一象 916 限内的点，点I为△PFE的内心，则下列说法正确的是() A.|PA+PF的最小值为25 B.Sam-SAnE C.SA5∈(0,20) D.若制P-P,万=所+丽，则y-号 试卷第2页，共4页 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程） 12.已知椭圆C:亡+上=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段 94 MN的中点在C上，则|AN+BN= 1B.已知双曲线c:号后1，过点M0,-)作直线与双面线c有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）， 已知抛物线y=2rP>0)的焦点为F0),过点F作直线/交抛物线于4，B两点，则：-B的 最小值为 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字 说明、演算步骤或推理过程) 15.在锐角△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边，√3sinC-cosB=cos(A-C). (1)求角A的度数： (2)若a=23,且△ABC的面积是3√3，求b+c. 16.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F作直线1与抛物线C交于A、B两点，O为坐标 原点.当直线1⊥y轴时，AB=4, (1)求抛物线C的方程： (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积 试卷第3页，共4页 17.如图，三棱锥P一ABC中，PAL平面ABC,AB⊥BC (1)证明：平面PBC⊥平面PAB: (2)若AB-BC=1,PA=2,M为棱PC的中点，求平面MAB与平面PAB夹角的余弦值. D 18已知双指线C号若=o>06>0的离心率为2，点E同在C上 (1)求双曲线C的方程及其渐近线方程： (2)若直线I:y=:+m交双曲线C的右支于M、N两点，线段MN的垂直平分线过点K(0,4). ()求k与m之间的数量关系式： (ii)求∠MKN的取值范围. 19.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹 是以椭圆的中心为圆心，√a2+b2为半径的圆（其中a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长），这个圆 称为素日圆已知精圆E号+若-a6>0的家日圆的面积为3，短轴长为2，作直线与格圆E交于M、 N两点，与椭圆E的蒙日圆交于H、G两点 (I)设P(4,O),若直线I的斜率为1，且直线PM、PN的斜率满足kw+kw=0,求直线I的方程： (2)已知直线I过坐标原点，F、F分别是椭圆E的左右焦点，椭圆在点M处的切线为m,点F关于直线 m的对称点为K.求证：G、K、H、E四点共圆. 试卷第4页，共4页