四川省仁寿第一中学校南校区2026届高三上学期数学周练（一）

仁寿一中南校区高2023级高三上学期数学周练（一） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若全集，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 4．在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A．70 B．126 C．56 D．84 6．已知非零向量满足，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（     ） A．与可能为互斥事件 B．若，则与相互独立 C．若，则 D．若与相互独立，则 10．关于函数，下列说法正确的是（     ） A．是的极小值点； B．函数有且只有1个零点； C．存在正整数，使得恒成立； D．对任意两个正实数，且，若，则． 11． 已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点， 则下列结论正确的是（　 　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则的公比 . 13． 已知函数，若正数a满足， 则a的取值范围是_____________ 14． 在中，若，则的取值范围为 . 四、解答题（共77分） 15．(13分）张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则记，否则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求随机变量的分布列，并求出的期望和方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角，且，求的值. 17． （15分）如图，四面体ABCD中，，，， E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求C的标准方程； (2)若，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点， ①求的最小值； ②若，求l的方程． 19．（17分）设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到，这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与一元二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高2023级高三上学期数学周练（一） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若全集，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， ，， 故选：D 2．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：B. 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 故选：B . 4．在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，. ∵，即，∴.又，∴. ∴，∴. ∴数列的前项和为. 故选：C. 5．已知，则的值为（    ） A．70 B．126 C．56 D．84 【答案】B 【详解】两项中不存在，对于其余部分， 展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为， 所以， 故选：B． 6．已知非零向量满足，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为，得. 由得， 又，则， 因为是非零向量，故，解得. 故选：C. 7．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 故选：A. 8．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，令得；令得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间上的最小值， 所以，解得； 又当时，，故有，综上知实数的取值范围是， 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知是随机事件，且，则下列说法正确的有（     ） A．与可能为互斥事件 B．若，则与相互独立 C．若，则 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐项判断即可. 【详解】选项A：因为，所以，与不可能为互斥事件，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与相互独立，B说法正确； 选项C：若，则，C说法正确； 选项D：若与相互独立，则与也相互独立，证明如下： 因为与互斥，且， 所以， 所以，即与也相互独立， 所以， 因为，所以， 代入得，D说法错误； 故选：BC 10．关于函数，下列说法正确的是（     ） A．是的极小值点； B．函数有且只有1个零点； C．存在正整数，使得恒成立； D．对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，是的极小值点，A正确； 对于B，函数，求导得， 函数在上单调递减，， 因此函数有且只有1个零点，B正确： 对于C，由，得，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此在上函数单调递减，函数无最小值，且恒有， 则不存在正实数，使得成立，C错误； 对于D，不妨令，由，结合A选项知， 要证，即证，此时， 由函数在上单调递增，得，则， 即证明，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即成立， 因此成立，D正确. 故选：ABD 已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点， 则下列结论正确的是（　　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】取的中点，连接，因为点分别是线段的中点，所以，所以四边形为平行四边形， 故，又平面平面，所以平面，故正确； 因为点分别是线段的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，又平面，所以，又是正三角形，又是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则.若，则平面， 则，显然这不成立，故错误； 记的外接圆圆心分别为，则， 故，故所求外接球的表面积为，故正确； ，故. 设点到平面的距离为.，则， 即，解得，故正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则的公比 . 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以， 因为首项为1，所以，所以，故. 故答案为：2 13.已知函数，若正数a满足，则a的取值范围是_____________ 【答案】 【详解】由题设，令且， 对于，即，则， 令且，则， 而，即在上单调递增，所以， 所以，则，即， 所以，则，可得. 14．在中，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得， 由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立.又，且余弦函数在上单调递减，则， 而正弦函数在上单调递增，因此， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15．（13分）张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则记，否则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求随机变量的分布列，并求出的期望和方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种， 掷出的点数之和是3的倍数有： ，12种； 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量的取值为0，1， ， 所以的分布列为： 0 1 ． ； （2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装． 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为， 穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为， 则当天穿西装的概率为． 所以张老师当天穿西装的概率为． 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角，且，求的值. 【详解】（1）依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 17．（15分）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【详解】（1）由于， 故，则，由于E为AC的中点，所以， 因为平面，故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，令，则， 平面的一个法向量为，所以， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以，则，当且仅当时取到等号，故的最大值为 18．（17分）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求C的标准方程； (2)若，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点， ①求的最小值； ②若，求l的方程． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，故C的标准方程为． （2）①设，则， 所以， 又，所以当时，的最小值为， ②由题意，右焦点，直线l斜率不为0， 设l的方程为， 因为，所以，则， 故，可得， 由，消去x，得， 则， 从而， 可得，即，所以， 故l的方程为或． 19．（17分）设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到，这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与一元二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. （2）（i）证明：有两个零点， 有一个二重根，一个一重根，且 由（1）可得，由可得. 由可得，. 联立上两式可得，解得， 又，综上. （ii）解：由（i）可得， . 令，则， ，当时，， 在上单调递增，， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $