精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷

永昌县第一高级中学2024-2025-1第一次月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】的斜率为， 故倾斜角，，满足，故， 故选：D 2. 已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 3. 在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10＝4a6＝120， ∴a6＝30 ∵a3+a9＝2a6＝60 故选：C． 4. 已知数列满足，则当取得最大值时的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】利用作商法可得，讨论n的取值判断与1的大小关系，即可得最大时的值. 【详解】∵， ∴当时，；当时，， ∴根据选项，当时，取得最大值. 故选：A． 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 6. 在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（ ） A. 98 B. 50 C. 49 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及等差数列通项公式求公差，再写出前n项和的通项公式，即可得其最大值. 【详解】令数列公差为，则，可得， 所以，则， 显然时最大是. 故选：C 7. 已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（ ） A. 121 B. 364 C. 728 D. 1093 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合等比数列性质求，再根据等比数列通项公式求公比，首项，结合等比数列求和公式求. 【详解】在正项递增等比数列中，所以， 又，所以或（舍去）， 设数列的公比为，则，所以，所以. 故选：B. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的） 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据作差得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得. 【详解】因为，当时，，解得； 当时，，则，即， 所以，则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，故A错误，C、D正确； 又，所以数列是递减数列，故B错误； 故选：CD 11. 已知数列，，满足，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到，则单调递增，推导出①，再由得到，结合①判断B，当时，将上式两边平方即可得到，利用不等式的性质得到，即可判断A，结合函数的单调性判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】由，， 所以，又，显然，所以， 所以单调递增，则单调递减， 即，所以①， 由，设， 即、为关于的方程的两根，所以， 即，则，代入①得，故B正确； 当时，所以， 所以， 所以，，，， 所以，则， 所以，所以，故A正确； 因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增， 所以， 所以， 所以，故C错误； 因为 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是以递推公式推导出的单调性及，再结合不等式的知识判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线恒过定点，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 13. 若等比数列的各项均为正数且，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】 ，由此能求出结果． 【详解】∵等比数列的各项均为正数，且， . 故答案为：10 14. 已知数列满足，，则=_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，，累和得 考点：累和法求数列的通项公式 【方法点睛】本题考查的是由数列的递推公式求通项公式，此类题型是数列章节的重点，常见的求解方法有如下几种：累和法，适用于的形式，累乘法，适用于的形式，构造法，适用于的形式，适当的配凑常数使其变形为，转化等比数列求解，形如的递推公式可两边同除以指数式，转化为的形式，形如的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为的形式 四、解答题：本题共5小题共77分.（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分） 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)联立求出点坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于以及点到直线距离公式即可求解. 【小问1详解】 由解得,所以， 设所求直线为, 因为直线过点，所以解得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 直线 与直线垂直,所以可设为， 又因为到 的距离等于，解得或， 所以所求直线方程为或. 16. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合等比数列的通项公式代入即可求解； （2）利用分组求和法结合等差等比的前项公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列公比为q， 因为， 所以，， 因为，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 17. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【小问1详解】 由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 18. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 【答案】（1） ，两边同除以，，， 又，是以为首项，公差为的等差数列， ，， 数列的通项公式为：. （2） 【解析】 【分析】（1）、利用递推关系求通项公式. （2）、将原不等式转化为，设求出，即可求出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ，， ，设，， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，取最大值，,,的范围为：. 19. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）时 ，时 . 【解析】 【分析】 （1）设MN方程为：，与y＝x 和x＝1联立得和，结合图像列可得解； （2）由可得坐标关系可得，从而得解； （3）由S△AMN＝＝，进而由函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∵， ∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 【点睛】本题解题的关键是设MN方程为，进而得和，从而可解范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2024-2025-1第一次月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 4. 已知数列满足，则当取得最大值时的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2022 D. 2023 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（ ） A. 98 B. 50 C. 49 D. 7 7. 已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（ ） A. 121 B. 364 C. 728 D. 1093 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的） 9. 以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 10. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 11. 已知数列，，满足，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线恒过定点，则点到直线的距离为______. 13. 若等比数列的各项均为正数且，则_____. 14. 已知数列满足，，则=_______． 四、解答题：本题共5小题共77分.（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分） 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 16. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 17. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 18. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 19. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $