3.2平面直角坐标系学案讲义　　2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

本讲义聚焦平面直角坐标系核心知识点，以平方根为预备知识，系统梳理点的坐标概念、坐标系建立与象限划分，深入讲解特殊位置点特征及坐标与图形性质，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料通过情境化问题设计，如行走路线坐标描述、区域图位置确定等，培养学生几何直观与应用意识。分层练习搭配详细解析，助力提升推理能力与运算能力，课中辅助教师系统授课，课后便于学生巩固知识，查漏补缺。

平面直角坐标系讲义学案 考点卡片 1 ．平方根 ( 1）定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． ( 2）求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数 a 的正的平方根表示为“” ，负的平方根表示为． 正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作 a ．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质 1 ．平方根的性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根． 2 ．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0． 2 ．点的坐标 ( 1）我们把有顺序的两个数 a 和 b 组成的数对，叫做有序数对，记作( a ，b）． ( 2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫 x 轴( 横轴），竖直数轴叫y 轴( 纵轴），x 轴一般取向右为正方向，y 轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于 x 轴，又属于y 轴． ( 3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ( 4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 3 ．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 ( 1）各象限内点 P( a ，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0 ，b＞0；②第二象限：a＜0 ，b＞0；③第三象限：a＜0 ，b＜0；④第四象限：a＞0 ，b <0． ( 2）坐标轴上点 P( a ，b）的坐标特征： ①x 轴上：a 为任意实数，b ＝0；②y 轴上：b 为任意实数，a ＝0；③坐标原点：a ＝0 ，b ＝0． ( 3）两坐标轴夹角平分线上点 P( a ，b）的坐标特征：①一、三象限：a ＝b；②二、四象限：a ＝ - b． 4 ．坐标与图形性质 1 、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到 x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2 、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3 、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 5 ．垂线段最短 ( 1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ( 2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ( 3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 课堂巩固练习 一．选择题( 共 5 小题） 1 ．( 2025•织金县三模）如图，每个小正方形格子的边长代表 10m ．小明从点 O 出发，先向西走 40m ，再 向南走 30m 到达点 M．如果用( - 40 ， - 30）表示点 M 的位置，那么( 10 ， - 20）表示 ( ) A ．点 A 的位置 B ．点 B 的位置 C ．点 C 的位置 D ．点 D 的位置 2 ．( 2025 春•陇县期中）在平面直角坐标系中，有 A( m - 1 ，m+2），B( 2 ，2m+1），C( 2m+2 ， - 1）三点， P 为直线 AB 上的一点．当点 A 恰好落在y 轴上，且点 P 与点 C 的距离最小时，点 P 的坐标是 ( ) A ．( - 1 ，3） B ．( 4 ，3） C ．( 3 ，3） D ．( 2 ，2） 3 ．( 2025 春•阜平县期末）平面直角坐标系中，点 A( - 1 ，4），B( 3 ，1），经过点 A 的直线 a∥x 轴，点 C 是直线 a 上的一个动点，当线段 BC 的长度最短时，点 C 的坐标为 ( ) A ．( - 1 ，1） B ．( 4 ，3） C ．( 3 ，4） D ．( 3 ， - 1） 4．( 2025 春•船营区校级月考）如图是吉林省行政区域图，图中标注的白城所在地用坐标表示为( - 2，2），则坐标为( 0 ，1）的城市为 ( ) A ．松原 B ．长春 C ．吉林 D ．延边 5 ．( 2025•海东市一模）某中学的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，在 A 、B 两处栽种了两棵小树，且两棵小树关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点 B 的坐标为( 6 ，3），则点 A 的坐标为 ( ) A ．( 3 ，6） B ．( 3 ， - 6） C ．( - 6 ， - 3） D ．( - 6 ，3） 二．填空题( 共 5 小题） 6．( 2025•武威校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点 P( 2m+4，m - 1），且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ． 7 ．( 2025 春•黔西南州期末）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点( 0 ， - 4），“马”位于点( 3 ， - 4），则“兵”位于点 ． 8 ．( 2025•东莞市二模）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为( - 4 ，2），表示“开阳”的点的坐标为( 0 ，3），则表示“天权”的点( 正好在网格点上）的坐标为 ． 9 ．( 2025 春•沭阳县校级月考）如图，一束光线从点 A( - 3 ，6）出发，经过y 轴上的点 B( 0 ，1）反射后经过点 x 轴上的点 C，则 C 点的坐标为 ． 10 ．( 2025•丰泽区校级模拟）已知，如图，点 A( - 8 ，12），B 和 C 为 x 轴上两点，其中点 B 在点 C 的左 1 1 侧，连接 OA ，若 OA 平分∠BAC，则的值为 ． 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•玉田县校级月考）在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为( 2m+5 ，3m+3）． ( 1）当点 P 在 x 轴上时，求点 P 的坐标； ( 2）若点 P 在过点 Q( - 5 ，1）且与y 轴平行的直线上时， ①求点 P 的坐标； ②点 P 到 x 轴的距离为 ； ( 3）已知点 P 的横坐标比纵坐标大 4 ，请通过计算判断点 P 所在的象限． 12 ．( 2025 春•玉田县校级月考）如图，有一个机器人在网格( 每小格边长为 1）上沿着网格线运动，它从点 A( 1 ，2）处出发．规定： 向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从 A 到 B 记为：A→B ( +1 ，+3），从 B 到 A 记为：B→A( - 1 ， - 3），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． ( 1）根据图中位置，从 A 到 C 应记为：A→ C( ， ），从 C 到 D 应记为：C→D ( . ); ( 2）若机器人从 A 处去 E 处的行走路线依次为( +3 ，+3），( +2 ， - 1），( - 3 ， - 3），( +4 ，+2）． ①点 E 的坐标为 ( , ) ; ②求机器人按上述路线从 A 处去 E 处行走的路程． ( 3）若图中另有两个点 P ，Q ，且 P→A( m+3，n+2），P→Q( m+1，n - 2），则从 Q 到A 应记为：Q→A ( , ) . 13 ．( 2025 春•玉田县校级月考）某城市部分公共场所位置如图所示，以少年宫为坐标原点，向东方向为正的直线做横轴，向北方向为正的直线做纵轴，一小格的边长为单位长度，建立直角坐标系． ( 1）按要求画出平面直角坐标系，并写出博物馆和体育馆的坐标； ( 2）图书馆与医院恰好关于 x 轴对称，请描出图书馆的位置( 并标注名称），并写出其坐标； ( 3）城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，直接写出城市规则馆的坐标． 14 ．( 2025 春•岳麓区校级月考） 已知点 P( 2a - 1 ， - 2a），解答下列各题： ( 1）若点 P 在y 轴上，则点 P 的坐标为 ； ( 2）若点 Q( 5 ，8），且 PQ∥y 轴，求点 P 的坐标； ( 3）若点 P 在第四象限，且它到 x 轴的距离是到y 轴的距离的 2 倍，求 a2025+2024 的平方根． 15 ．( 2025 春•前郭县月考）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x 轴，垂足为 A ，BC⊥y 轴，垂足为 C，已知 A( a ，0）、C( 0 ，c），其中 a 、c 满足( a - 6）2+|c+8| ＝0 ．点 P 从 O 点出发沿折线 OA - AB - BC 的方向运动到点 C 停止，运动的速度为每秒 2 个单位长度，设点 P 的运动时间为 t 秒． ( 1）在运动过程中，当点 P 到AB 的距离为 2 个单位长度时，t = ; ( 2）在点 P 的运动过程中，用含 t 的代数式表示点 P 的坐标； ( 3）当点 P 在线段 AB 上运动时，射线 AO 上有一点 E( 不与点 A 、O 重合），射线 OC 上有一 点 F( 不与点 O 、C 重合），连接 PE 、PF，使得∠EPF ＝70。，直接写出∠AEP 与∠PFC 的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题( 共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 D B C B D 一．选择题( 共 5 小题） 1 ．( 2025•织金县三模）如图，每个小正方形格子的边长代表 10m ．小明从点 O 出发，先向西走 40m ，再 向南走 30m 到达点 M．如果用( - 40 ， - 30）表示点 M 的位置，那么( 10 ， - 20）表示 ( ) A ．点 A 的位置 B ．点 B 的位置 C ．点 C 的位置 D ．点 D 的位置 【答案】D 【分析】根据点 M 的位置为( - 40 ， - 30），且每个小正方形格子的边长代表 10m ，则( 10 ， - 20）表示点 D 的位置，即可作答． 【解答】解： ∵每个小正方形格子的边长代表 10m ．用( - 40 ， - 30）表示点 M 的位置， ∴( 10 ， - 20）表示点 D 的位置， 故选：D． 2 ．( 2025 春•陇县期中）在平面直角坐标系中，有 A( m - 1 ，m+2），B( 2 ，2m+1），C( 2m+2 ， - 1）三点， P 为直线 AB 上的一点．当点 A 恰好落在y 轴上，且点 P 与点 C 的距离最小时，点 P 的坐标是 ( ) A ．( - 1 ，3） B ．( 4 ，3） C ．( 3 ，3） D ．( 2 ，2） 【答案】B 【分析】先根据点 A 在y 轴上求出 m ，从而可得 A( 0 ，3），B( 2 ，3），C( 4 ， - 1），结合数轴可知当CP⊥x 轴时，CP 长度最小，求出点 P 的坐标即可． 【解答】解： 由条件可知 m - 1 ＝0，解得 m ＝1， ∴A( 0 ，3），B( 2 ，3），C( 4 ， - 1），如图所示，点 P 是直线 AB 上的动点， ∴当 CP⊥x 轴时，CP 长度最小， ∴点 P( 4 ，3）． 故选：B． 3 ．( 2025 春•阜平县期末）平面直角坐标系中，点 A( - 1 ，4），B( 3 ，1），经过点 A 的直线 a∥x 轴，点 C 是直线 a 上的一个动点，当线段 BC 的长度最短时，点 C 的坐标为 ( ) A ．( - 1 ，1） B ．( 4 ，3） C ．( 3 ，4） D ．( 3 ， - 1） 【答案】C 【分析】 由垂线段最短可知，当 BC⊥直线 a 时，线段 BC 的长度最短，过点 B 作 BC⊥直线a 于点 C， 以此即可确定点 C 的坐标． 【解答】解： 由垂线段最短可知，当 BC⊥直线 a 时，线段 BC 的长度最短，如图，过点 B 作 BC⊥直线 a 于点 C， ∵过点A( - 1 ，4）的直线 a∥x 轴，点 C 是直线 a 上的一个动点， ∴点 C 的纵坐标为 4， ∵BC⊥直线 a ，直线 a∥x 轴， ∴点 C 的横坐标为 3， ∴C( 3 ，4）． 故选：C． 4．( 2025 春•船营区校级月考）如图是吉林省行政区域图，图中标注的白城所在地用坐标表示为( - 2，2），则坐标为( 0 ，1）的城市为 ( ) A ．松原 B ．长春 C ．吉林 D ．延边 【答案】B 【分析】根据已知条件找到坐标系原点，即可找出坐标为( 0 ，1）的城市【解答】解：根据题意可知： 坐标为( 0 ，1）的城市为长春．故选：B． 5 ．( 2025•海东市一模）某中学的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，在 A 、B 两处栽种了两棵小树，且两棵小树关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点 B 的坐标为( 6 ，3），则点 A 的坐标为 ( ) A ．( 3 ，6） B ．( 3 ， - 6） C ．( - 6 ， - 3） D ．( - 6 ，3） 【答案】D 【分析】根据题意可知 A ，B 关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，继而得到本题答案． 【解答】解： ∵A ，B 关于y 轴对称，点 B 的坐标为( 6 ，3）， ∴点A 的坐标为( - 6 ，3）， 故选：D． 二．填空题( 共 5 小题） 6．( 2025•武威校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点 P( 2m+4，m - 1），且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ( - 6 ， - 6）或( 2 ， - 2） ． 【答案】( - 6 ， - 6）或( 2 ， - 2）． 【分析】根据题意可得：|2m+4| ＝|m - 1| ，从而可得 2m+4 = ±( m - 1），然后进行计算即可解答【解答】解： 由题意得：2m+4 = ±( m - 1）， 解得：m ＝ - 5 或 m ＝ - 1， 当 m ＝ - 5 时，2m+4 ＝ - 6 ，m - 1 ＝ - 6，当 m ＝ - 1 时，2m+4 ＝2 ，m - 1 ＝ - 2， ∴点 P 的坐标为( - 6 ， - 6）或( 2 ， - 2）， 故答案为：( - 6 ， - 6）或( 2 ， - 2）． 7 ．( 2025 春•黔西南州期末）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点( 0 ， - 4），“马”位于点( 3 ， - 4），则“兵”位于点 ( - 3 ， - 1） ． 【答案】( - 3 ， - 1）． 【分析】 由“帅”位于点( 0 ， - 4），“马”位于点( 3 ， - 4），找出坐标原点，即可得出答案 【解答】解：如图， 则“兵”位于点的坐标是( - 3 ， - 1），故答案为：( - 3 ， - 1）． 8 ．( 2025•东莞市二模）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为( - 4 ，2），表示“开阳”的点的坐标为( 0 ，3），则表示“天权”的点( 正好在网格点上）的坐标为 ( 5 ， - 1） ． 【答案】( 5 ， - 1）． 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定 x 轴，y 轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【解答】解：由表示“摇光”的点的坐标为( - 4 ，2）与表示“开阳”的点的坐标为( 0 ，3）得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点( 正好在网格点上）的坐标为( 5 ， - 1）； 故答案为：( 5 ， - 1）． 9 ．( 2025 春•沭阳县校级月考）如图，一束光线从点 A( - 3 ，6）出发，经过y 轴上的点 B( 0 ，1）反射后经过点 x 轴上的点 C，则 C 点的坐标为 ． 【答案】 0）． 【分析】点 A( - 3 ，6）关于y 轴的对称点为 A′( 3 ，6），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B( 0 ，1）和 A′( 3 ，6），求出 A'B 的解析式为：y ，再令y ＝0 即可求出 C 点的坐标． 【解答】解： ∵点A( - 3 ，6）关于y 轴的对称点为 A′( 3 ，6）， ∴反射光线所在直线过点 B( 0 ，1）和 A ′( 3 ，6），设 A'B 的解析式为：y ＝kx+1， ∴6 ＝3k+1， ∴k ∴A'B 的解析式为：y ， 令y ＝0 ，则 ，解得 x ∴点 C ， 故答案为： 0）． 10 ．( 2025•丰泽区校级模拟）已知，如图，点 A( - 8 ，12），B 和 C 为 x 轴上两点，其中点 B 在点 C 的左 侧，连接 OA ，若 OA 平分∠BAC，则的值为 ． 【答案】． 【分析】运用三角形等分线的性质，再表示出 OB ，OC 的关系可解． 【解答】解：设 B 点坐标为( - m ，0）， C 点坐标为( n ，0）． ∵OA 平分∠BAC， ∵A( - 8 ，12）， 由勾股定理可得： 代入到①可得： 化简得 n - m n-m 1 故答案为： 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•玉田县校级月考）在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为( 2m+5 ，3m+3）． ( 1）当点 P 在 x 轴上时，求点 P 的坐标； ( 2）若点 P 在过点 Q( - 5 ，1）且与y 轴平行的直线上时， ①求点 P 的坐标； ②点 P 到 x 轴的距离为 12 ； ( 3）已知点 P 的横坐标比纵坐标大 4 ，请通过计算判断点 P 所在的象限 【答案】( 1）点 P 的坐标为( 3 ，0）； ( 2）①点 P 的坐标为( - 5 ， - 12）； ②12； ( 3）点 P 在第四象限． 【分析】( 1）因为点 P 在 x 轴上，所以纵坐标为 0 ，解得 m 值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； ( 2）因为点 P 在过点 A( - 5 ，1）且与 y 轴平行的直线上，所以 A 、P 两点的横坐标相同，令 P 点横坐标为 - 5 ，解得 m 的值并代入纵坐标的代数式中即可； ( 3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【解答】解：( 1） ∵点 P 在 x 轴上， ∴3m+3 ＝0， 解得 m ＝ - 1， ∴2m+5 ＝3， ∴点 P 的坐标为( 3 ，0）； ( 2）①∵点 P 在过点 Q( - 5 ，1）且与y 轴平行的直线上， ∴点 P 的横坐标为 - 5， ∴2m+5 ＝ - 5 ，解得 m ＝ - 5， ∴3m+3 ＝3 ×( - 5）+3 ＝ - 12， ∴点 P 的坐标为( - 5 ， - 12）； ②由点 P 的坐标知，点 P 到 x 轴的距离为 12，故答案为：12； ( 3） 由题意得 2m+5 - ( 3m+3）＝4，解得 m ＝ - 2， ∴2m+5 ＝1 ，3m+3 ＝ - 3，∴点 P 的坐标为( 1 ， - 3）， ∴点 P 在第四象限． 12 ．( 2025 春•玉田县校级月考）如图，有一个机器人在网格( 每小格边长为 1）上沿着网格线运动，它从点 A( 1 ，2）处出发．规定： 向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从 A 到 B 记为：A→B ( +1 ，+3），从 B 到 A 记为：B→A( - 1 ， - 3），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． ( 1 ）根据图中位置，从 A 到 C 应记为：A→C( +3 ， - 1 ），从 C 到 D 应记为： C→D ( +1 ． +3 ）； ( 2）若机器人从 A 处去 E 处的行走路线依次为( +3 ，+3），( +2 ， - 1），( - 3 ， - 3），( +4 ，+2）． ①点 E 的坐标为( 7 ， 3 ）； ②求机器人按上述路线从 A 处去 E 处行走的路程． ( 3）若图中另有两个点 P ，Q ，且 P→A( m+3，n+2），P→Q( m+1，n - 2），则从 Q 到A 应记为：Q→A ( +2 ， +4 ）． 【答案】( 1）+3 ， - 1 ，+1 ，+3； ( 2）①7 ，3 ；②21； ( 3）+2 ，+4． 【分析】( 1）根据规定“向上向右走均为正，向下向左走均为负”即可求解； ( 2）①将从 A 处到 E 处的行走路线的第一个数相加后等于+6 ，表明是向右走了6 个单位，将行走路程的第二个数相加后等于+1，表明是向上走了 1 个单位，由此即可求解；②计算|+3|+|+3|+|+2|+| - 1|+| - 3|+| - 3|+|+4|+|+2|即得； ( 3）设 P( x ，y），根据 P→A( m+3 ，n+2），A( 1 ，2），得 P( - m - 2 ， - n），根据 P→Q( m+1 ，n - 2），得 Q( - 1 ， - 2），即得 Q→A( +2 ，+4）． 【解答】解：( 1）A→C( +3 ， - 1），从 C 到 D 应记为：C→D( +1 ，+3）．故答案为：+3 ， - 1 ；+1 ，+3． ( 2）①如图， ∵+3+( +2）+( - 3）+( +4）＝+6 ，+3+( - 1）+( - 3）+( +2） ＝+1 ，A( 1 ，2）， ∴E( 7 ，3）； 故答案为：7 ，3； ②从 A 到 E 处行走的路程|+3|+|+3|+|+2|+| - 1|+| - 3|+| - 3|+|+4|+|+2| ＝21． ( 3）设 P( x，y）， 由条件可知 x+m+3 ＝1，y+n+2 ＝2， ∴x ＝ - m - 2，y ＝ - n， ∴P( - m - 2 ， - n）， 由条件可知 - m - 2+m+1 ＝ - 1 ， - n+n - 2 ＝ - 2， ∴Q( - 1 ， - 2）， ∴ 1 - ( - 1）＝2 ，2 - ( - 2）＝4， ∴Q→A( +2 ，+4）． 故答案为：+2 ，+4． 13 ．( 2025 春•玉田县校级月考）某城市部分公共场所位置如图所示，以少年宫为坐标原点，向东方向为正的直线做横轴，向北方向为正的直线做纵轴，一小格的边长为单位长度，建立直角坐标系． ( 1）按要求画出平面直角坐标系，并写出博物馆和体育馆的坐标； ( 2）图书馆与医院恰好关于 x 轴对称，请描出图书馆的位置( 并标注名称），并写出其坐标； ( 3）城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，直接写出城市规则馆的坐标． 【答案】( 1）博物馆的坐标为( 2 ，0），体育馆的坐标为( - 3 ，2） ( 2） 图书馆坐标为( - 2 ，3）． ( 3）( 1 ， - 2）． 【分析】( 1）根据已知点的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，即可解答； ( 2）利用( 1）中的直角坐标系和轴对称即可求解； ( 3）根据题意可得：城市规划馆位于少年宫和超市的中点上，根据中点坐标公式求解即可． 【解答】解：( 1）如图平面直角坐标系，博物馆的坐标为( 2 ，0），体育馆的坐标为( - 3 ，2）； ( 2）图书馆与医院( - 2 ， - 3）恰好关于 x 轴对称，图书馆的位置如图所示，坐标为( - 2 ，3）； ( 3）少年宫的坐标为( 0 ，0），超市的坐标为( 2 ， - 4）， 由条件可知城市规划馆的坐标为 即( 1 ， - 2）． 14 ．( 2025 春•岳麓区校级月考） 已知点 P( 2a - 1 ， - 2a），解答下列各题： 学科网（北京）股份有限公司 ( 1）若点 P 在y 轴上，则点 P 的坐标为 ( 0 ， - 1） ； ( 2）若点 Q( 5 ，8），且 PQ∥y 轴，求点 P 的坐标； ( 3）若点 P 在第四象限，且它到 x 轴的距离是到y 轴的距离的 2 倍，求 a2025+2024 的平方根 【答案】( 1）( 0 ， - 1）； ( 2）( 5 ， - 6）； ( 3）±45． 【分析】( 1）根据y 轴上点的坐标特征即可解决问题． ( 2）根据平行于y 轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． ( 3）根据题意建立关于 a 的等式，求出 a 的值即可解决问题． 【解答】解：( 1）因为点 P 在y 轴上， 所以 2a - 1 ＝0，解得 a ＝0.5， 则 - 2a ＝ - 1， 所以点 P 的坐标为( 0 ， - 1）． 故答案为：( 0 ， - 1）． ( 2）因为点 Q 坐标为( 5 ，8），且 PQ∥y 轴， 所以 2a - 1 ＝5，解得 a ＝3， 则 - 2a ＝ - 6， 所以点 P 的坐标为( 5 ， - 6）． ( 3）因为点 P 在第四象限，且它到 x 轴的距离是到y 轴的距离的2 倍， 所以 2a ＝2( 2a - 1），解得 a ＝1， 所以 a2025+2024 ＝2025， 所以 a2025+2024 的平方根为±45． 15 ．( 2025 春•前郭县月考）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x 轴，垂足为 A ，BC⊥y 轴，垂足为 C，已知 A( a ，0）、C( 0 ，c），其中 a 、c 满足( a - 6）2+|c+8| ＝0 ．点 P 从 O 点出发沿折线 OA - AB - BC 的方向运动到点 C 停止，运动的速度为每秒 2 个单位长度，设点 P 的运动时间为 t 秒． ( 1）在运动过程中，当点 P 到AB 的距离为 2 个单位长度时，t ＝ 2s 或 8s ； ( 2）在点 P 的运动过程中，用含 t 的代数式表示点 P 的坐标； ( 3）当点 P 在线段 AB 上运动时，射线 AO 上有一点 E( 不与点 A 、O 重合），射线 OC 上有一点 F( 不与点 O 、C 重合），连接 PE 、PF，使得∠EPF ＝70° , 直接写出∠AEP 与∠PFC 的数量关系． 【答案】( 1）2s 或 8s；( 2）P( 20 - 2t ， - 8）； ( 3） ∠PFC+∠AEP ＝160°或∠PFC - ∠AEP ＝20° . 【分析】( 1） 由非负数的性质得 a - 6 ＝0 ，c+8 ＝0 ，解得 a ＝6 ，c ＝ - 8 ，由此即可解决问题； ( 2）分三种情形：①当 0≤t≤3 时②当 3≤t≤7 时；③当 7≤t≤10 时，分别表示即可； ( 3）结论：∠PEA+∠PFC ＝160°或∠PFC - ∠AEP ＝20° . 分两种情形分别画出两个图形进行求解即可． 【解答】解：( 1） ∵a ，c 满足关系式( a - 6）2+( c+8）2 ＝0， ∴a - 6 ＝0 ，C+8 ＝0， ∴a ＝6 ，c ＝ - 8， ∴B( 6 ， - 8）． 当点 P 到AB 的距离为 2 个单位长度时，s ＝6 - 2 ＝4 ，或 s ＝6+8+2 ＝16， ∴4÷2 ＝2s 或 16÷2 ＝8s，故答案为：2s 或 8s． ( 2）①当 0≤t≤3 时，点 P 在 OA 上，此时，P( 2t ，0）． ②当 3≤t≤7 时，点 P 在 AB 上，此时，PA ＝2t - 6 ，由于点 P 在第四象限，纵坐标小于 0 ，则 P( 6 ，6 - 2t）． ③当 7≤t≤10 时，点 P 在 BC 上，此时 PB ＝2t - OA - AB ＝2t - 14 ，PC ＝BC - PB ＝6-(2t -14） ＝20- 2t． ∴P( 20 - 2t ， - 8）． ( 3）当点 P 在线段 AB 上时，分四种情况： ①如图 1 中， ∠PFC - ∠PEA ＝20° , 理由如下： ∵ ∠PEA ＝90° - ∠APE， ∴ ∠PFC ＝180° - ∠APF＝180° - 70° - ∠APE ＝110° - ∠APE， ∴ ∠PFC - ∠PEA ＝110° - ∠APE - ( 90° - ∠APE）＝20° ; ②如图 2 中， ∠PFC - ∠PEA ＝20° , 理由如下： ∵ ∠PEA ＝90° - ∠APE， ∴ ∠PFC ＝180° - ∠APF＝180° - 70° - ∠APE ＝110° - ∠APE， ∴ ∠PFC - ∠PEA ＝110° - ∠APE - ( 90° - ∠APE）＝20° ; ③如图 3 中，结论： ∠PEA+∠PFC ＝160° , 理由如下： 连接 OP， ∵ ∠PFC = ∠FPO+∠FOP ， ∠AEP = ∠EOP+∠EPO， ∴ ∠PEA+∠PFC = ∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO = ∠AOF+∠EPF ＝90°+70° = 160° ; ④如图 4 中，结论： ∠PFC - ∠AEP ＝20° , 理由如下：当 E 在 AO 延长线上，F 在 OC 上，设 PM 交 OC 于 G， ∵ ∠AEP+∠EGO ＝90° , ∠EGO = ∠PGF＝110° - ∠PFC， ∴ ∠AEP+110° - ∠PFC ＝90° , ∴ ∠PFC - ∠AEP ＝20° , 综上所述， ∠PFC+∠PEA ＝160°或∠PFC - ∠AEP ＝20° . 学科网（北京）股份有限公司 $