精品解析：广东省惠州市惠阳区第八中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年九年级数学第一学期第一次质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：A． 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算自变量为1和0时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：当时，；当，， 点在抛物线上． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数的基本特征是解题关键． 3. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式△判断即可． 【详解】∵= ∴一元二次方程没有实数根. 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是：注意在求解根的判别式△时，正负号不要弄错了． 5. 已知y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据形如(a≠0)是二次函数，可得答案. 【详解】由是y关于x的二次函数，得|m|＝2且m－2≠0，解得m＝－2， 故A选项是正确答案. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题关键. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 7. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 8. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 9. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式是解题的关键．利用抛物线的解析式为顶点式解析式，即可求其顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 14. 已知等腰三角形的底边长为7，腰长是的一个根，则这个三角形周长为_______． 【答案】17 【解析】 【分析】求出方程的解，得出两组情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是； ②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系定理，等腰三角形性质的应用，关键是确定三角形的三边长． 15. 二次函数的图像上有两个点、，那么______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 二次函数的图像上有两个点、，且， ， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）方程移项整理后，运用直接开平方法求解； （2）运用配方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得，； 17. 已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标为___________； （2）对称轴为___________ （3）当___________时，有最大值，是___________； （4）当___________时，随x的增大而增大； （5）当___________时，． 【答案】（1） （2）直线 （3）；2 （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象获取信息是解题的关键． （1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线的顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为2， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知对称轴为直线， 故答案为：直线； 【小问3详解】 解：由（1）知，当时，y有最大值是2， 故答案：；2； 【小问4详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x得增大而增大， 故答案为：； 【小问5详解】 解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 18. 已知关于的方程． （1）若该方程一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根； （2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接，则． 命题2：若连接，则． （1）先判断两个命题真假： 命题1是___________命题，命题2是___________命题． （2）再分别证明或举反例． 【答案】（1）真；真 （2）命题1证明见解析；命题2证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）直接判断命题的真假即可； （2）命题1：连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形即可得证； 命题2：连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 解：命题1是真命题，命题2是真命题， 故答案为：真；真； 【小问2详解】 命题1：若连接，则． 证明：连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴； 命题2：若连接，则． 连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∴． 20. 如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． （1） ___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）当的面积等于的面积的时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解题的关键是表示出线段的长． （1）根据三角形的边长和点的移动速度表示出两条线段的长即可； （2）利用勾股定理表示出线段的长即可求得t值； （3）先根据三角形的面积公式直接列出函数关系式，根据三角形的面积公式列出一元二次方程求解即可． 小问1详解】 解：根据题意得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴时，t的值为； 【小问3详解】 解：根据题意得，， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得：或． 答：当的面积等于的面积的时，t的值为或． 21. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． （1）填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 （2）写出第层所对应的点数； （3）写出层的正六边形点阵的总点数； （4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）共有11层 【解析】 【分析】（1）观察点阵可以写出答案； （2）观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点； （3）将每一层的点数相加后即可得到答案； （4）将331代入后解方程即可． 【小问1详解】 解：如表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 19 37 【小问2详解】第一层上的点数为1； 第二层上的点数为； 第三层上的点数为； 第四层上的点数为； ； 第层上的点数为． 【小问3详解】 第二层开始，每增加一层就增加六个点，即层六边形点阵的总点数为， ， ， ， ． 第层六边形的点阵的总点数为：． 【小问4详解】 令 解得：（舍去）或 答：共有11层． 【点睛】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是该抛物线的顶点，连接，． （1）直接写出点、、、的坐标： A（___________）；B（___________）；C（___________）；D（___________） （2）求的面积； （3）点是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】（1）；；； （2）8 （3）或或或 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论是解题关键． （1）令，则，解方程求出、两点坐标，利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，利用顶点式求出其顶点坐标； （2）先求出，再利用D点坐标得出的面积； （3）利用的面积得出的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或， ∴，， 当，则， 故， ∵抛物线， ∴顶点坐标， 故答案为：；；；； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵的面积是面积的， ∴， ∵， ∴P点纵坐标为2或， 当P点纵坐标为2，则， 解得：，， 此时P点坐标为：或， 当P点纵坐标为，则， 解得：，， 此时P点坐标为：或， 综上所述：点P的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学第一学期第一次质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A ， B. ， 10 C. 8， D. 8，10 2. 下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 3 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 已知y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 0 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为（ ） A. B. C D. 7. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 9. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而减小 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____． 14. 已知等腰三角形的底边长为7，腰长是的一个根，则这个三角形周长为_______． 15. 二次函数的图像上有两个点、，那么______（填“”“”或“”）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标为___________； （2）对称轴为___________ （3）当___________时，有最大值，是___________； （4）当___________时，随x的增大而增大； （5）当___________时，． 18. 已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接，则． 命题2：若连接，则． （1）先判断两个命题真假： 命题1是___________命题，命题2是___________命题． （2）再分别证明或举反例． 20. 如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． （1） ___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）当的面积等于的面积的时，求的值． 21. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． （1）填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 （2）写出第层所对应的点数； （3）写出层的正六边形点阵的总点数； （4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是该抛物线的顶点，连接，． （1）直接写出点、、、的坐标： A（___________）；B（___________）；C（___________）；D（___________） （2）求的面积； （3）点是抛物线上的一动点，若的面积是面积的，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $