重庆市复旦中学教育集团2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

重庆复旦中学教育集团2025-2026学年度上期第一次月考 初2026届数学试题答案 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分) BCDACA DCBDDB 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 13.x=±1 14.(0,2) 15.2 16.4V2 17.> 0或3 18.3527 9362 三、解答题：（本大题2个小题，第19题10分，第20题8分，共18分） 19.(1)x=2±5； 2 (2)3或x=-1 kx- 1 20.(1)4且k≠0 (2) x=-1 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分） 21.解：（1) -1 0 1 3 … 0 4 0 45x (2)y=-2+2x+3=-(x2-2x+1-+3=-(x-12+4 故P1,4列 1 (3)当x>1时，y随x的增大而减小： (4):0≤y≤3，由图像可得：-1≤x≤0或2≤x≤3； 故答案为：-1≤x≤0或2≤x≤3 2.（1)B(-2,4)在二次函数y=a2的图象上， .4a=4 解得：a=1 .二次函数关系式为：y=x2 将4(，m）代入y=x得：m=1 A1, :点A(1山，B(-2,4在一次函数ykxb的图象上 [k+b=1 -2k+b=4 k=-1 解得： b=2 k=-l,a=l,b=2: (2)可知一次函数关系式y=-x+2 当x=0时，y=2 则一次函数y=-x+2与y轴交点坐标为C(0,2) :0C=2,点A横坐标为x4=1,点B的横坐标为-2 :S0c=2 -0c.22 S.B0c=29 2 .S408=S40c+S,Boc=1+2=3 .AOB的面积为3 (3)-2<x<1 23.(1)解：在矩形ABCD中，AB=5Cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以 lcm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运 动时间为t秒(0<1<3)， .BO=2tcm,AP tcm :PB=AB-AP=(5-1)cm :四边形ABCD是矩形， ∠B=90°， 在Rt△PBO中，由勾股定理得PQ=PB+BQ°， .(5-t)2+(2t)2=52 解得5=0（舍去），6=2， :当t=2时，P9的长度等于5cm； (2)存在，理由如下 由题意得：C0=BC-B0=(6-21)cm, :△POC的面积等于8cm2, 1 CQ·PB=8 :2 :6-6-20=8 t2-8t+7=0, t=1或t=7(舍去)， :当1=1时，使得△POC的面积等于8cm2 3 24.(1)解：由题意，得：w=(x-20)y=(x-20)-(-10x+500)=-10.x2+700x-10000 即w=-102+700x-10000(20≤x≤36)： (2)对于函数w=-10x2+700x-10000=-10(x-35}2+2250 :当x=35时，w=2250 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元. (3)取w=2000得，-10x2+700x-10000=2000 解这个方程得：七=30，x=40 ·当30≤x≤40时，w≥2000. :20≤x≤36 :当30≤x≤36时，w≥2000. 设每月的成本为P(元)，由题意，得：P=20(-10x+500)=-200x+10000 :当x=36时，P的值最小，P最水值=2800」 答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为2800元 25.(1)当点P在AB上时，AP=2x,（0<x≤5， 此时AQ=x, 过点P作PH⊥AQ交AC于点H, B A OH ∠BAC=30°， PH=LAP=1x2x=x 2 2 ∴y=号PH40=xx=x 1 2 2 当点P在BC上时，此时AQ=x,PC=20-2x5<x<10, 过点P作PH⊥AQ交AC于点H,如下图： B H .∠BCA=30° Pm-Pc=520-2=I10-, =2A0·PH三2✉10-x)t+5 y= 5x2(0<x≤5) 综上：y关于x的函数关系式为： y=-x2+5x5<x<10j 2 (2)画出函数图像如下： 121 y --2别 0 987654 32 0123456789101112133 当0<x≤5时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） 26.(1)解：.抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(6,0),C(0,8)三点， c=8 16a-4b+c=0 (36a+6b+c=0 (a=-青 解得 b=月 c=8 “抛物线解析式为y=-x2+号x+8, y=-x2+x+8=-青(x-1)2+ ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 设直线BC:y=kx+b(k≠0)， B(6,0),C(0,8)在y=kx+b(k≠0)上， 【b=8 …6k+8=0' 1b=8 解得k=-等’ ∴直线BC为：y=-x+8; (2)解：由点P是第一象限内抛物线y=-x2+号x+8上的动点，设点P的坐标是 P(m,-青m2+号m+8), ,PNV轴，PMx轴，抛物线的对称轴为直线x=1,直线BC为：y=一x+8, ∴M(1,-青m2+号m+8),N(m,-号m+8) ∴PN=-青m2+2m,PM=m-1, PM=PN. ∴.m-1=号(-青m2+2m), 解得m1=3,m2=-是（舍去）， 当m=3时，-青m2+号m+8=7, P(3,7) (3)解：：抛物线y=-x2+x+8的对称轴为直线x=1,A(-4,0),B(6,0), C(0,8), A、B两点关于直线x=1成轴对称，设点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(x08), .80=2, 6 点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8), 当p在一象限时： ·A、B两点关于直线x=1成轴对称，点C(0,8)关于直线x=1的对称点为D(2,8), ∴.△ABC与△BAD关于直线x=1成轴对称， ∴∠ABC=∠BAD, 过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H,则∠PAB=专∠BAD= ∠ABC,点P为所求的点， A(-4,0),B(6,0),D(2,8), .AB=4+6=10,AD=V(2+4)2+82=10, ..AB=AD, :AP平分∠BAD交抛物线于点P,交BD于点H, AH⊥BD,HD=HB, .B(6,0),D(2,8), ∴H(,学)即H(4,4), 设直线AP为：y=mx+n, ,直线AP为：y=mx+n过H(4,4),A(-4,0), （0=-4m+n 4=4m+n m= 解得n=2’ ∴直线AP为：y=x+2, 联立直线AP为：y=x+2与抛物线解析式为y=-x2+x+8得， 个 y=x+2 y=-x2+号x+8' x=号 x=-4 解符y=号或(y=0 （舍去)， P(,) 当D在四象限时：P(罗，-孕) P(号，￥)或P(罗，-)重庆复旦中学教育集团2025-2026学年度上期第一次月考 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！ 同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在 答题卡上 b 参考公式：抛物线y=ax2+bx十c(a≠O)的顶点坐标为 b 4ac-b2 ,对称轴为直线x=一 2a’4a 2a 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、 C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.(改编)下列方程，属于一元二次方程的是() A.x2+xy=1 B.x2-2x+3=0 c.2-1-1 D.2(x+1)=x 2.(改编)将一元二次方程2x2+4=3x化为一般形式为() A.2x2+4-3x=0 B.2x2-3x-4=0 C.2x2-3x+4=0 D.2x2+3x+4=0 3.已知一元二次方程x2+ax-3=0的其中一个实数根为x=1则a的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 4.把二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为() A.y=2x2-1 B.y=2x2+1 C.y=2(x-1)2 D.y=2(x+1) 5.(改编)用配方法解方程x2-4x+1=0,变形后的结果正确的是() A.（x+2)=3B.(x+2)=-5 C.(x-2)=3 D.（x-2)=4 6.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支， 根据题意，下面列出的方程正确的是() A.x(x-1)=110 B.x(x+1)=110 1 1 2x-1)=10 C. D2x6+1D=I10 九年级数学试卷第1页（共6页） 7.“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动 开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人 次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率.设进馆人次的月增长率为x,依题意可列方程() A1801+x)2=750 B.1801+x)+1801+x)2=750 C.1801+x+x2)=750 D.180+1801+x)+1801+x)2=750 8.根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x-3=0的一个解的范围是() 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x2+4x-3 -1.24 -0.75 -0.24 0.29 0.84 A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 C.0.6<x<0.7 D.0.7<x<0.8 9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是() 10.如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式 为y(米)=a(x-2)+3,己知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的a 值是( A.a=-0.01 B.a=-0.1 C.a=-0.12 D.a=- 九年级数学试卷第2页（共6页） 11.(改编)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示，对称轴为直线x=-2.下列说法，其 中正确的是( ) A.abc0 B.c- 3b<0 -43-2-1o方 c.4a2-2ab≥at(at+b)(t为全体实数) D.若图象上存在点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当n<x1<x2<n+5时，满足y=y,,则n的取值范 围为-7<n<-2. 12.对于两个代数式，记M=3x,W=1,以下说法正确的个数是() ①若M2-w2-W=11,则x--1; ②若关于x的方程x2+M+N=0的解为P和9，则p2+g2-g的值为6： 1 ③若关于x的方程片M2-N-2 +阳有两个不相等的实数根，则-<m<厅. = A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每题的答案填在答题卡中对应的横线上 13.(原创)方程x2-1=0的解是 14.（原创)二次函数y=3x2-x+2与y轴的交点坐标是 15.如图，某小区有一块长20m,宽10m的长方形空地，计划在其中修建两个相同的长方形花坛，要 求两个花坛的面积之和为84m,且两个花坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度 为 米. 16.如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物 线于点B、F,分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E(2,4),四边形CDFE为 正方形时，则线段AB的长为 VA 20m 第15题图 第16题图 九年级数学试卷第3页（共6页） 17.对于二次函数y=x2-2x+1,点(-3，)和(2，y2)在函数图象上，则y一y2(填“>”， “=”或“<”)；当a-1≤x≤a时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为 18.如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab+cd=bc+10,那么 称这个四位数为“十全数”.例如：四位数7923，，79+23=92+10∴.7923是“十全数”；又如： 四位数3418,34+18≠41+10,3418不是“十全数”，若一个“十全数”为a527,则这个数 为 ,若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数abc与后三位数字组成的三位数bcd的和 被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是 三、解答题：（本大题2个小题，第19题10分，第20题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要 的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19.(原创)解方程： (1)x2-4x+1=0 (2)3x(x+1=2(x+1) 20.已知关于x的一元二次方程x2-2x-4=0有两个不等的实数根， (1)求k的取值范围： (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根. 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 21.(改编)二次函数y=-x2+2x+3的顶点为P. A 3 -1 0 1 3 0 0 -3-2-10 12345x 2 (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象： (2)抛物线的顶点P的坐标是 (3)当x 时，y随x的增大而减小； (4)当0≤y≤3时，x的取值范围是 九年级数学试卷第4页（共6页） 22.如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y2=ax2的图象交于点A(1,m)和B(-2,4),与y 轴交于点C. =ax2 -2-1O y=kx+b (1)求，b,k的值； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出y>y时，x的取值范围. 23.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC-6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cms的速 度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cs的速度移动.如果P,Q分别从A,B 同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒(0<t<3). A D B (1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (2)连接PC,是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不 存在，请说明理由. 24.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价，而每 件的利润不高于成本价的80% (1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式， 并确定自变量x的取值范围. (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本= 进价×销售量) 九年级数学试卷第5页（共6页） 25.如图，在△ABC中，BA=BC=10,∠BAC=∠BCA=30°，AC=10N3,点P以每秒2个单 位长度的速度从点A出发，沿折线A一B-C方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度 从点A出发沿A-C方向向C点运动，其中一个点到达终点C,另一个点也随之停止运动，两点同时 出发，设P点运动的时间为x秒，△APQ的面积为y 13 10 B 9 D 8 6 32 012345678910111213x (1)请直接写出y关于x的函数关系式及对应的x的取值范围： (2)请在给出的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质. 2 26.(改编)如图，抛物线y=ax2+二x+C过A,B(6,0),C(0,8)三点，点P是抛物线上动点. 3 0 (1)试求抛物线的表达式： (2)如图，当P在第一象限时，过点P作PN Il y轴并BC交于点N,作PMIx轴并交抛物线的对称轴 于点M,若PM=PN,求点P的坐标； (3)当点P运动到使LPAB=LABC时，请直接写出P点的坐标. 九年级数学试卷第6页（共6页）