精品解析：宁夏吴忠市盐池县第三中学2025-2026学年九年级上学期阶段测试数学试题

2025-2026学年第一学期阶段性学业质量 数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A. a＝﹣1，b＝3，c＝0 B. a＝﹣1，b＝0，c＝3 C. a＝﹣1，b＝3，c＝3 D. a＝1，b＝0，c＝3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的一般形式可得答案． 【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用直接开平方法求解一元二次方程，注意计算的准确性即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 5. 一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ） A. 17 B. 1 C. －1 D. －17 【答案】A 【解析】 【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可． 【详解】解：一元二次方程x2-3x-2=0， ∵a=1，b=-3，c=-2， ∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17． 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 7. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：一月份利润+一月份利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=36.4，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设二、三月份的月增长率是x， 依题意有：， 故选D． 【点睛】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 8. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意； B．此方程的根为x=，不符合题意； C．此方程的根为x=，不符合题意； D．此方程的根为x=，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式． 二、填空题 9. 方程的解是________． 【答案】1或-1 【解析】 【分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 10. 若关于x的方程的一个根是，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 故答案为：． 11. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理；先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：解得， 当腰长为2，底边长为4时，不符合三角形三边关系定理， 当腰长为4，底边长为2时，符合三角形三边关系定理， 该等腰三角形的底边长为2， 故答案为：2． 13. 以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数； ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数； ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数． 所以，是二次函数的有①②③， 故答案为①②③． 14. 已知是方程式的根，则式子的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解的定义、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是利用根的定义得关于的等式，变形后整体代入．根据一元二次方程的解的定义推出后，整体代入即可得解． 【详解】解：是方程根， 即, ， 式子． 故答案为：． 15. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为________ m ． 【答案】1 【解析】 【分析】设道路的宽度为，根据草坪的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽度为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形中草地面积，列出方程． 16. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，当时，点运动的时间为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，用用含t的代数式表示出，是解题的关键． 根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出，再列出方程，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的根且符合题意， 即点运动的时间． 故答案是：． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 18. 已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 【答案】的值是，另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是． 19. 已知实数，满足，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是换元法解一元二次方程、因式分解，解题关键是熟练掌握换元法解一元二次方程． 设，则原方程变为，解这个方程即可求解． 【详解】解：设， 则原方程变为， ， ，， 即，， 又， 舍去， 则的值为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根的判别式、根与系数的关系，解题关键是熟练通过根的判别式判断一元二次方程的根的情况． （1）两个不相等的实数根即，代入即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出即可得解． 【小问1详解】 解：依题得：，且 且， 且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，， ， ． 21. 已知方程的两根分别为、，求的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出，后，代入即可得解． 【详解】解：方程的两根分别为、， ，， ． 故的值为． 22. 在数学活动课上，高老师展示了下面一道题：解方程：，如下是小明和小亮两名同学的做法． 小明： 解：． 两边同时除以，得 ， 解得． 小亮： 解： 移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， ，． 任务一：小亮解方程的方法为________法； 任务二：小明与小亮的解答过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：因式分解 任务二：小明与小亮的解答过程均不正确，解答过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程、去括号，解题关键是掌握因式分解的技巧． 根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：任务一：小亮解方程的方法为因式分解法； 任务二：小明与小亮的解答过程均不正确， 正确解答过程如下： 移项，得， 因式分解，得， 于是得，或， ，． 23. 如图，在一块矩形广场上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为，宽为，其中两纵道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．若6块休闲区的面积和为，求道路宽多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设道路宽，根据休闲区面积，列出方程求解即可． 【详解】解：设道路宽． 解得：，（舍）． 答：道路宽． 24. 某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 25. 已知平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）m=1， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证； （2）根据题意可得方程有两个相等的实数根，即，可得到方程为，解出即可求解． 【详解】（1）由题意得， ， 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）四边形是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ， 方程为， 解得： ， 即菱形的边长为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． 26. （1）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，第行有个点，容易发现，是三角形点阵中前行的点数和．（提示：． 三角形点阵中前行的点数和是 ； 若三角形点阵中前行的点数之和为，求的值； （2）拓展：若果把（）三角形点阵中各行的点数依次换为，，，，，， 直接写出这个三角形点阵中前行点数和（用含的代数式表示）； 这个二角形点阵中前行点数和能是吗？若能，求出；若不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（）；；（）这个三角形点阵中前行点数和为：，能，． 【解析】 【分析】（）由于第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，则前行共有个点； 前行共有个点，然后求它们的和，前行共有 个点，则，然后解方程得到的值； （）根据，进而得出这个三角形点阵中前行点数和； 由，求的值即可； 本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型—图形的变化，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）三角形点阵中前行的点数和为： ； 故答案为：； 由题意可得：，即， 整理得， ∴，， ∵a为正整数， ∴； （）这个三角形点阵中前行点数和： ； 三角点阵中前行的点数的和能是，理由如下： 依题意，得，即， 解得：（舍去），， 答：三角点阵中前行的点数的和能是，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期阶段性学业质量 数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A. a＝﹣1，b＝3，c＝0 B. a＝﹣1，b＝0，c＝3 C. a＝﹣1，b＝3，c＝3 D. a＝1，b＝0，c＝3 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ） A. 17 B. 1 C. －1 D. －17 6. 已知，是一元二次方程两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ） A. B. C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D. 8. 以为根一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 方程的解是________． 10. 若关于x的方程的一个根是，则m的值为_________． 11. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为________． 13. 以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有________． 14. 已知是方程式的根，则式子的值为________． 15. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为________ m ． 16. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，当时，点运动的时间为________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 19. 已知实数，满足，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 已知方程的两根分别为、，求的值． 22. 在数学活动课上，高老师展示了下面一道题：解方程：，如下是小明和小亮两名同学的做法． 小明： 解：． 两边同时除以，得 ， 解得． 小亮： 解： 移项，得． 因式分解，得． 于得，或， ，． 任务一：小亮解方程方法为________法； 任务二：小明与小亮的解答过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程． 23. 如图，在一块矩形广场上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为，宽为，其中两纵道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区．若6块休闲区的面积和为，求道路宽多少？ 24. 某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 25. 已知平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 26. （1）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，第行有个点，容易发现，是三角形点阵中前行的点数和．（提示：． 三角形点阵中前行点数和是 ； 若三角形点阵中前行的点数之和为，求的值； （2）拓展：若果把（）的三角形点阵中各行的点数依次换为，，，，，， 直接写出这个三角形点阵中前行点数和（用含的代数式表示）； 这个二角形点阵中前行点数和能是吗？若能，求出；若不能，试用一元二次方程说明道理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $