第二章一元二次方程单元测试2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 3．（本题3分）将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题3分）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A．2020 B．2024 C．2025 D．2028 6．（本题3分）一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．10 C．10或12 D．以上都不对 7．（本题3分）下列关于的一元二次方程根的判断一定正确的是（   ） A．若，则方程有两个不相等的实数根 B．若，则方程有两个不相等的实数根 C．若，则方程有两个不相等的实数根 D．若，则方程有两个不相等的实数根 8．（本题3分）观察下列表格，一元二次方程的一个解所在的范围是（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 9．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 10．（本题3分）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是 ， ． 12．（本题3分）将一元二次方程通过配方转化为的形式为 ． 13．（本题3分）元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，则这个小组共有x人．根据题意，可列方程 ． 14．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 15．（本题3分）已知三角形两边长分别是3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 16．（本题3分）将正数m输入下图的程序框，若输出的结果n为6，则输入的m值为 ． 17．（本题3分）已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为 . 18．（本题3分）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) (2) 20．（本题9分）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 21．（本题9分）嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：整理，得，…………① ，，，…………② ，…………③ ，…………④ ，．…………⑤ (1)嘉嘉解该方程的方法是　　　　　　（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”），她的求解过程是从第　　　　　　（填序号）步开始出现错误； (2)请用和嘉嘉相同的方法，写出正确的解题步骤． 22．（本题9分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 23．（本题9分）如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． (1)当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ (2)能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 24．（本题10分）年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． (1)当天火箭模型的销售量为_____件； (2)求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 25．（本题12分）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在，使得三角形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第二章一元二次方程单元测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 吕 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) (56￥)【乙 (56￥)07 0=II+xL-x(⑦) ￡-xsI=(【-xs)xz() 搏(8￥)6L ■ ■ (96中)Z (书6￥)乙 (0L￥)忆 ■ 0← d 个 (乙LΨ)S7 ■ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D D A D B B D 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2．B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽略的知识点． 根据一元二次方程的定义得到：，且，然后求解即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，正确移项是解题的关键． 先把方程化为一般式，即可得一次项和常数项． 【详解】解：， ， 一次项是，常数项是， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．利用配方法将原方程变形为，然后解答即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． 利用因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形的三边关系确定第三边的取值，最后求周长即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， 根据三角形的三边关系，第三边长的取值范围为大于，小于， ∴取， ∴三角形的周长为， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当，或，不能判断的值，故A，B不符合题意； 当时，不能判断的值，故C不符合题意； 当时，则， ∴此时方程有两个不相等的实数根， 故D符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查求一元二次方程的近似解，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值使， ∴一元二次方程的一个解所在的范围是； 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，先根据多项式乘多项式进行计算，再把方程的左边分解因式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 所以， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 11． / 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系．方程有一个实数根为，设另一个根是．则，，再进一步计算即可． 【详解】解：方程有一个实数根为，设另一个根是． 则，， ∴，． 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解决问题的关键．将原方程变形为，运用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送张贺卡，进而求出全组共送的数量；再根据等量关系“全组共送贺卡156张”，试着列出方程． 【详解】解：根据1名学生要赠送张，可知名同学之间要互赠张， 根据题意可列方程为：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解方程，正确掌握相一元二次方程的解法是解题的关键．先理解题意，得，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，， 则，， ∴， ∴（舍去）， 故答案为： 15．13 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，关键是能利用因式分解法解一元二次方程求出三角形第三边的长． 求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，， ①三角形的三边为3，5，5，因为，所以满足三角形三边关系，可以组成三角形，此时三角形的周长是； ②三角形的三边为3，5，2，因为，所以不满足三角形三边关系，不可以组成三角形； 综上，这个三角形的周长为13． 故答案为：13． 16．3 【分析】该题考查了解一元二次方程，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 即， 解得：或， ∵m是正数， ∴， 故答案为：3． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，分别是一元二次方程的两个根，可得：，，把代数式整理可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据平移的性质可得种植花草的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 20．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键， （1）利用方程有两个实数根，得到，代入即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到，代入，解出关于k的一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵，是方程的两个根 ， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）． 21．(1)公式法，； (2)，，过程见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程 解题的关键． （）根据公式法解方程步骤分析即可； （）根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解该方程的方法是“公式法”，她的求解过程是从第步开始出现错误， 故答案为：公式法，； （2）解：整理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 22．(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 23．(1)当时，矩形试验田的面积为 (2)矩形试验田的面积不能为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意，设，则，由面积公式列方程，解一元二次方程即可； （2）根据面积公式列方程，由一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，矩形试验田的面积为； （2）解：根据题意，，整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴矩形试验田的面积不能为． 24．(1) (2)当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润每件的销售利润当天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当天火箭模型的销售量为件； 故答案为：； （2）解：依题意，得． 整理得，即， 解得， （元）． 答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元． 25．(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键． （1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）先计算t的取值范围，再根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：∵， ∴， 三角形的面积， 解得或， 当或时，三角形的面积等于． 答案第2页，共17页 答案第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $