精品解析：辽宁省鞍山市育才中学教育集团2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年数学十月计时作业 一、选择题（8小题，共24分） 1. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 2. 已知，，是的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图，在中，平分交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 80° 4. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 7. 如图，的三个顶点分别在格子的3个顶点上，请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点，使得与全等，这样的三角形有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图所示，是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（5小题，共15分） 9. 如图，，，，则______． 10. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 11. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的长为________． 12. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为，另一个顶点G的坐标为，则顶点K的坐标为________． 13. 如图， 已知线段， 射线于点A， 射线于点B， P点从B 点向A 运动，每秒走 ，Q点从B点向D运动，每秒走，P，Q同时从B出发，则出发__________秒后，在射线上有一点 C， 使与全等． 14. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，其中a和b满足方程组．若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 15. 下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程． 已知：如图，． 求作：射线，使它平分． 作法： 以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；作射线． 射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图的过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； 这样作角平分线的依据是：__________（从中选一个）． 16. 如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 17. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 18. 如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点． （1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数； （2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系． 19. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 20. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年数学十月计时作业 一、选择题（8小题，共24分） 1. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 2. 已知，，是的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长． 【详解】解：， 且， 、， 为方程的解， 或， 又，即， ， 则的周长为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键． 3. 如图，在中，平分交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据互余的定义求得，结合角平分线的定义求得，再利用进而求出的度数，最后利用互余的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了互余的定义，角平分线的定义，求出是解答关键． 4. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 5. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 6. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 7. 如图，的三个顶点分别在格子的3个顶点上，请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点，使得与全等，这样的三角形有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格特征及全等三角形的判定方法，认真分析图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∴的位置有3个，即这样的三角形有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，另外要求掌握全等三角形的三条边分别对应相等的两个三角形全等． 8. 如图所示，是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理，三角形外角和定理，全等三角形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵是三内角平分线的交点， ∴， ∵，， ∴， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴，即①成立； ∵是三内角平分线的交点， ∴点到三角形三边距离相等， ∴，即②成立； 如图，过点作与点，与点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同理， ∴， ∴，即③成立； 由③证得：， ∵， ∴和不一定全等， ∴不一定等于， ∴，即④错误， 故选：A． 二、填空题（5小题，共15分） 9. 如图，，，，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质得到，再由三角形的外角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 11. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，解题的关键是根据翻折的性质和题目中的条件，可得及的周长，再由的长可得结果．． 【详解】解：解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∵的周长为， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为，另一个顶点G的坐标为，则顶点K的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据余角的性质，得到，根据全等三角形的判定与性质，得到，的长度，由此得到答案． 【详解】如图，作轴，轴， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图， 已知线段， 射线于点A， 射线于点B， P点从B 点向A 运动，每秒走 ，Q点从B点向D运动，每秒走，P，Q同时从B出发，则出发__________秒后，在射线上有一点 C， 使与全等． 【答案】4或10 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，证明三角形全等和分类求解是解题的关键．由题意得：，，，分类讨论①，②两种情况，根据全等三角形对应边相等分别列方程，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t， 由题意得：，，， 分以下两种情况讨论： ①时： 则， ∴， 解得：； ②时： 则， ∴， 解得：； 综上所述：或时，可使与全等， 故答案为：4或10． 14. 若一个三角形的三边长分别是a、b、c，其中a和b满足方程组．若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和三角形的三边关系，熟练掌握二元一次方程组的解法和三角形三边关系是解题的关键，解二元一次方程组得到a、b的值，再利用三角形三边关系得到c的取值范围，再由三角形的周长为整数，即可求得三角形的周长． 【详解】解： 得：， 得：， 解得：， 将代入②中得：， 解得：， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴，即， ∵三角形的周长为整数， ∴， ∴三角形的周长为：． 15. 下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程． 已知：如图，． 求作：射线，使它平分． 作法： 以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N； 分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；作射线． 射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图的过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； 这样作角平分线的依据是：__________（从中选一个）． 【答案】 根据材料作法进行作图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质， 根据材料提示方法作角平分线；由作图可得，再根据三角形全等的证明方法“”即可求证． 【详解】解：证明：连接， 在和中， ， ， ∴（全等三角形的对应角相等）， 即射线平分（角平分线定义）． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 【答案】； 理由如下 ， 即， 在和中， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可． 【详解】略 17. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】（1），； （2）、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； 【小问2详解】 略 18. 如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点． （1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数； （2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据∠A：∠ABC=3：4，设∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性质求出k的值，进而可得出结论； （2）根据三角形外角的性质得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC得出∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC，故∠M=（∠ACD-∠ABC）=∠A．根据CP⊥BM即可得出结论； 【详解】解：（1）∵∠A∶∠ABC=3∶4， ∴可设∠A=3k，∠ABC=4k． ∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°， ∴3k+4k=140°， 解得k=20°， ∴∠A=3k=60°． （2）∵∠MCD是△MBC的外角， ∴∠M=∠MCD－∠MBC． 同理可得：∠A=∠ACD－∠ABC． ∵MC，MB分别平分∠ACD，∠ABC， ∴，， ∴． ∵CP⊥BM， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，在解答此题时要注意三角形外角的性质及角平分线的性质等知识的灵活运用，难度适中． 19. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3） ， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【小问1详解】 证明：如图1， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $