精品解析：山东省济南外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月数学月考试题

济南外国语学校2025-2026学年度第一学期 初三数学学科小练习 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目的要求） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等式基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 【详解】A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 2. 如果两个相似三角形对应边比为2∶3，那么它们对应高线的比是（ ） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 8∶27 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2∶3， ∴它们对应高线的比为2∶3， 故选：A． 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 4. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A；结合角平分线的定义可判断B；结合直角三角形两个锐角互余可判断C；D选项没有条件可判断和相似． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A能判断，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴，故B能判断，不符合题意； ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，故C能判断，不符合题意； ∵，结合题意没有满足使和相似的条件， ∴不能判断，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 5. 某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， ∴两人选择同一门课程的概率为． 故选：A． 6. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是解决本题的关键． 可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． 7. 如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（ ） ①与的相似比为；②；③；④ A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 8. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：高相等的两个三角形的面积之比等于底之比，根据题意得，，与是同高，底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：B 9. 如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理等知识，由正形的性质和面积得，，再由小正形中的，再由同角的余角相等得，证明， 其性质得，求得，在中，由勾股定理得，即求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵ ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，相似三角形判定与性质等知识．添加合适辅助线，构造平行线是解题的关键． 如图：作，交于N，交于M.设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 又 是的中位线， ， ． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．） 11. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 12. 已知：，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入到所求式子的分子中即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，由题意得，则与的相似比为，进而可得点的横坐标为，纵坐标为．解题的关键是掌握位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．． 【详解】解：∵，与关于点位似， ∴， ∴与的相似比为， 即与的相似比为， ∵点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5##5或2 【解析】 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．） 16. 已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 【答案】18 【解析】 【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值． 【详解】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y-z=18， ∴4k+9k-4k=18， ∴k=2， ∴x=4，y=6，z=8， ∴x+y+z=4+6+8=18． 【点睛】本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值． 17. 如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． 【小问3详解】 摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． 【小问4详解】 当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 【答案】（1）4，3 （2）点E的坐标为（，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出OA、OB的长； （2）设点E的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：方程x2-7x+12=0， 分解因式得：（x-3）（x-4）=0， 可得：x-3=0，x-4=0， 解得：x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3； 故答案为：4，3； 【小问2详解】 解：设点E的坐标为（m，0）， 则OE=|m|， ∵△AOE∽△DAO， ∴， ∴， ∴|m|=， ∴m=±， ∴点E的坐标为：（，0）或（-，0）． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． 21. 如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 22. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 23. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 24. 中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 25. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南外国语学校2025-2026学年度第一学期 初三数学学科小练习 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目的要求） 1. 若，则下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 2. 如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（ ） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 8∶27 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 5. 某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 5 7. 如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（ ） ①与的相似比为；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在中，点、分别在、边上，，若 ， 则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．） 11. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 12. 已知：，若，则________． 13. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．） 16. 已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值． 17. 如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 21. 如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 22. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 23. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $