2.2.1直线的点斜式方程（2知识点+4题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 求直线的点斜式方程 我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. 知识点2 直线的斜截式方程 1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 思路方法总结 1.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 2.求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 典例·举一反三 题型一 点斜式方程 1．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率， 所以直线方程为，即，故ACD错误. 故选：B. 2．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量求出直线的斜率，再由点斜式写出方程即可. 【详解】根据直线的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线过点， 所以直线的方程为, 故选：A. 3．已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，然后求得直线的斜率，然后利用点斜式即可得解. 【详解】直线的倾斜角为，直线与直线的倾斜角互余，所以直线的倾斜角为 所以． 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 4．过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线垂直，求出所求直线的斜率，然后写出点斜式即可得解. 【详解】直线的斜率为3， 因为所求直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 5．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； （4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 题型二 斜截式方程 6．已知直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方程得出其斜率，由斜率得出倾斜角，再求余角即得. 【详解】：的斜率为，倾斜角为， 直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为. 故选：B. 7．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 8．设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据斜截式直接判断AB，令，求得，即可判断C，求出两截距，利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确． 在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误． 设直线与轴、轴的交点分别为，则，， 直线与坐标轴围成的三角形为． 因为，，所以，故D正确． 故选：ABD． 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 【答案】2 【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果. 【详解】因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距． 因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距， 所以． 故答案为：2. 10．求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，再根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 题型三 直线图象特征 11．直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 12．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 13．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 14．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分和两种情况讨论，即得答案. 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题. 15．已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 题型四 点斜式方程的综合 16．已知的三个顶点分别为、、．求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解； （2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. （3）求出边上的中点D坐标，利用两点的坐标，即可求出直线方程； 【详解】（1）因为、， 故，边AC所在直线的方程为：， 即为：， （2）由（1）知，故 所以AC边上的高所在直线的斜率为， 又，故为：，即； （3）设AC边上的中点为D，则，即， 故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为， 故为：，即. 17．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 18．已知的顶点为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边所在直线的一个方向向量和一个法向量； (3)求过中点，且垂直于方向向量的直线方程． 【答案】(1)； (2)方向向量，法向量为； (3). 【分析】（1）求出线段的中点，再求出直线的斜率，进而求出直线方程作答. （2）根据给定条件，求出直线的方向向量和法向量作答. （3）由（1）的信息，求出以直线的法向量为方向向量的直线方程作答. 【详解】（1）依题意，线段的中点，于是直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）依题意，直线的一个方向向量，显然满足， 所以的一个法向量为. （3）由（2）知，垂直于方向向量的直线的方向向量为，而边的中点， 所以过中点，且垂直于方向向量的直线方程为，即. 19．已知直线l经过点． (1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程； (2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到，解方程即可求出结果； （2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k， 则l的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得或， 所以l的点斜式方程为或． （2）由（1）知，、， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，所以l的斜截式方程为． 20．已知直线． (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）变形可得，根据点斜式方程可得定点； （2）由已知得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）证明：由，得，由直线的点斜式方程可知，直线恒过定点； （2）设， 因为当时，直线上的点都在轴上方，需满足即，解得， 所以实数的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1直线的点斜式方程 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 求直线的点斜式方程 我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. 知识点2 直线的斜截式方程 1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 思路方法总结 1.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 2.求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 典例·举一反三 题型一 点斜式方程 1．经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 3．已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 题型二 斜截式方程 6．已知直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 8．设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 10．求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 题型三 直线图象特征 11．直线可能是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 13．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 14．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 15．已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   题型四 点斜式方程的综合 16．已知的三个顶点分别为、、．求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的中线所在直线的方程． 17．已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 18．已知的顶点为，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边所在直线的一个方向向量和一个法向量； (3)求过中点，且垂直于方向向量的直线方程． 19．已知直线l经过点． (1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程； (2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程． 20．已知直线． (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $