2.2.1 直线的点斜式方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．(数学运算) 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．直线的点斜式和斜截式方程适用的范围是什么？ 问题2．直线的截距是距离吗？ 问题3．直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件是什么？ 探究1　直线的点斜式方程 问题1　在平面内，过一点P0(x0，y0)的直线有无数条，过两点的直线有且只有一条，那么，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？由此得到什么结论？直线上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？ [提示]　一条．结论：平面内一个点和斜率确定一条直线．当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0)．当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P(x，y)均满足：y－y0＝k(x－x0)． [新知生成] 1．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．当k＝0时(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成y＝y0；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成x＝x0． 【教用·微提醒】　经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)． (2)斜率不存在的直线，方程为x＝x0． [典例讲评]　【链接教材P60例1】 1．(源自北师大版教材)求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为；(2)与x轴垂直；(3)与x轴平行． [解]　(1)因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为k＝tan ＝． 因为直线经过点P(－1，2)且斜率为，所以该直线方程的点斜式为y－2＝[x－(－1)]， 化简，得x－y＋＋2＝0(如图(1))． (2)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，所以该直线的方程为x＝－1(如图(2))． (3)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以该直线的方程为y＝2(如图(3))． 【教材原题·P60例1】 例1　直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l． [解]　直线l经过点P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得 y－3＝x＋2． 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图2.2-4所示． 　1．求直线的点斜式方程的思路 2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． [学以致用]　1．已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A＝60°，B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． [解]　(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)，所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1． (2)因为A＝60°， 所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)． 因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)． 探究2　直线的斜截式方程 问题2　你能写出过点P(0，b)，斜率为k的直线方程吗？ [提示]　y－b＝kx，即y＝kx＋b． [新知生成] 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【教用·微提醒】　(1)斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． [典例讲评]　【链接教材P62练习T3】 2．直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． [解]　(1)由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3． (2)在直线y＝3x－3中，令y＝0，得直线l与x轴的交点坐标为(1，0)，则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×|1|×|－3|＝． [母题探究] 1．本例中“在y轴上的截距为－3”改为“与y轴的交点到坐标原点的距离为3”，其余条件不变，求直线l的方程． [解]　因为直线l与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线l在y轴上的截距b＝3或b＝－3．故所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3． 2．本例中“它在y轴上的截距为－3”改为“它与两坐标轴围成的三角形面积为6”，其余条件不变，求直线l的方程． [解]　设直线方程为y＝3x＋b，则x＝0时，y＝b； y＝0时，x＝－b， 由已知可得|b|·＝6， 即b2＝36，∴b＝±6， 故所求直线l的方程为y＝3x＋6或y＝3x－6． 【教材原题·P62练习T3】写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在y轴上的截距是－2； (2)斜率是－2，在y轴上的截距是4． [答案]　(1)y＝x－2；(2)y＝－2x＋4． 　直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程． [学以致用]　2．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D C　[对于A，直线l1方程中的k＜0，b＞0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾； 对于B，直线l1方程中的k＞0，b＜0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾； 对于C，直线l1方程中的k＞0，b＞0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，符合； 对于D，直线l1方程中的k＜0，b＞0，直线l2方程中的k＜0，b＜0，矛盾．] 3．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜率相反且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程为________． y＝2x－2　[由题意知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－2．由斜截式可得直线l的方程为y＝2x－2．] 探究3　利用斜截式方程求直线平 行与垂直的条件 问题3　前面一节课中我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响．设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：(1)l1∥l2？(2)l1，l2重合？(3)l1⊥l2? [提示]　(1)k1＝k2且b1≠b2；(2)k1＝k2且b1＝b2；(3)k1·k2＝－1． [新知生成] 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． [典例讲评]　【链接教材P61例2】 3．已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4．问：m为何值时，l1与l2平行或垂直？ [解]　当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋． 由－＝－，得m＝±；由≠，得m≠且m≠，－＝－1无解． 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直． 【教材原题·P61例2】 例2　已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？(2)l1⊥l2的条件是什么？ [分析]　回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现l1∥l2或l1⊥l2时，k1，k2与b1，b2应满足的关系． [解]　(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2． (2)若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2． 　1．给定两条直线的斜截式方程，说明了已知两条直线的斜率及相应截距，在此基础上判断两条直线的位置关系． 2．当给定两条直线的位置关系求相应字母的取值时，要正确利用k1＝k2或k1k2＝－1等结论． [学以致用]　4．已知直线l1：y＝ax＋2，l2：y＝x－1，根据下列条件分别确定a的值． (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2． [解]　(1)∵l1∥l2，∴a＝． (2)∵l1⊥l2，∴a·＝－1，∴a＝－3． 1．直线y＝的倾斜角为(　　) A．180° B．0° C．90° D．不存在 B　[直线y＝的斜率为0，所以倾斜角为0°．故选B．] 2．(教材P61练习T1(2)改编)已知直线l的倾斜角为60°，且经过点(0，1)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x＋1 D．y＝x＋3 C　[由题意知，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝x＋1． 故选C．] 3．(教材P62练习T3(1)改编)已知直线倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 D　[由题意可得直线方程为y＝xtan 60°－2，即y＝x－2．故选D．] 4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________． －1　[由a×(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，得a＝－1．] 1．知识链： 2．方法链：待定系数法、数形结合、分类讨论． 3．警示牌：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的点斜式方程． [提示]　y－y0＝k(x－x0)． 2．试写出直线的斜截式方程． [提示]　y＝kx＋b． 3．写出斜截式方程两直线平行与垂直的充要条件． [提示]　(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 课时分层作业(十四)　直线的点斜式方程 一、选择题 1．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x－3 C．y＝－x＋3 D．y＝x－3 C　[直线l的倾斜角为120°，即斜率为－， 因为在y轴上的截距是3， 则直线l的方程为y＝－x＋3． 故选C．] 2．已知直线l的倾斜角为60°，且过点(2，)，则l在y轴上的截距为(　　) A．－1 B．－ C．1 D． B　[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝， 因为直线l过点(2，)，所以直线l的点斜式方程为y－＝(x－2)， 当x＝0时，y＝－2＝－，所以直线l在y轴上的截距为－． 故选B．] 3．直线y＋2＝(x－4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　) A．，6 B．，－6 C．，6 D．，－6 B　[根据题意，可得直线y＋2＝(x－4)的斜率k＝， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，且θ∈[0，π)，可得θ＝，即倾斜角为， 当x＝0时，y＋2＝×(－4)＝－4，得y＝－6，所以直线在y轴上的截距为－6． 故选B．] 4．垂直于向量(2，1)，并且经过点A(3，－2)的直线方程为(　　) A．y＋2＝－2(x－3) B．y＋2＝2(x－3) C．y－2＝－2(x＋3) D．y－2＝2(x＋3) A　[∵直线垂直于向量(2，1)，∴直线的斜率为k＝－2，又直线经过点A(3，－2)， ∴直线的方程为y＋2＝－2(x－3)．故选A．] 5．过点(2，1)且与直线y＝－3x＋2平行的直线的方程为(　　) A．y＝－3x＋7 B．y＝－3x＋5 C．y＝x＋ D．y＝3x－5 A　[∵所求直线与直线y＝－3x＋2平行，∴可设所求直线方程为y＝－3x＋m， ∵所求直线过点(2，1)，∴1＝(－3)×2＋m，解得m＝7，故所求直线的方程为y＝－3x＋7．故选A．] 二、填空题 6．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是________． y＝x－6或y＝－x－6　[因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－．又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6．] 7．已知直线l的一个方向向量为a＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的点斜式方程为 ________． y－3＝(x＋4)　[根据直线l的一个方向向量a＝(2，3)， 可得直线l的斜率为，又因为直线l过点A(－4，3)， 所以直线l的点斜式方程为y－3＝(x＋4)．] 8．已知直线y＝x＋1绕其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l在y轴上的截距为________． 7　[直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1， 又点P(3，4)在直线l上， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，当x＝0时，解得y＝7， 故纵截距为7．] 三、解答题 9．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，6)，B(－3，－1)，C(4，2)． (1)若点D是AC边上的中点，求直线BD的点斜式方程； (2)求AB边上的高所在直线的点斜式方程． [解]　(1)因为点D是AC边上的中点，A(－1，6)，C(4，2)， 则D，又B(－3，－1)，所以kBD＝＝， 所以直线BD的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)或y－4＝． (2)因为kAB＝＝， 所以AB边上的高所在的直线的斜率为＝－， 所以AB边上的高所在直线的点斜式方程为y－2＝－(x－4)． 10．(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 BC　[对于A，方程k＝不经过(－1，2)，与方程y－2＝k(x＋1)不表示同一直线，故A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1，故B正确； 对于C，直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1，故C正确． 对于D，不是所有的直线都有点斜式和斜截式方程，只有斜率k存在时成立，故D错误．故选BC．] 11．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A．l的倾斜角等于120° B．l与x轴的交点坐标是 C．l与直线y＝x＋2垂直 D．l与直线y＝－x＋2平行 ABD　[由直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，得k＝－，又直线l经过点(1，－2)，所以y＋2＝－(x－1)，则直线l的方程为y＝－x＋－2，所以直线l的倾斜角为120°，故A正确；当y＝0时，x＝1－，故B正确；－＝－3≠－1，故C错误；因为－＝－，且－2≠2，所以两直线平行，故D正确．] 12．有一根蜡烛点燃6 min后，蜡烛长为17.4 cm；点燃21 min后，蜡烛长为8.4 cm．已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时________min． 35　[根据题意，不妨设直线方程为l＝kt＋b，则解得 所以直线方程为l＝－0.6t＋21． 当l＝0时，即－0.6t＋21＝0，解得t＝35． 所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min．] 13．如图所示，在▱OABC中，C(1，3)，A(3，0)． (1)求直线AB的方程； (2)过点C作CD⊥AB于点D，求直线CD的方程． [解]　(1)易得kOC＝＝3． 因为AB∥OC，所以kAB＝3． 又直线AB过点A(3，0)， 所以直线AB的方程为y＝3(x－3)，即y＝3x－9． (2)由(1)知直线AB的斜率为3，因为CD⊥AB， 所以kCD＝－，又直线CD过点C(1，3)， 所以直线CD的方程为y－3＝－(x－1)， 即y＝－x＋． 14．已知直线l：y＝kx＋k－1． (1)求证：直线l过定点； (2)若当－4＜x＜4时，直线l上的点都在x轴下方，求k的取值范围． [解]　(1)证明：由y＝kx＋k－1，得y＋1＝k(x＋1)， 由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－1，－1)． (2)若当－4＜x＜4时，直线l上的点都在x轴下方， 则解得－≤k≤，所以k的取值范围是． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $$