精品解析：江苏省常州市第二十四中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学10月随堂作业2025．10 一、选择题（共7小题，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系列出不等式，即可求出实数k的取值范围. 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴且. 故选：D. 【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系是解决此题的关键. 4. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 5. 如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A. ，能使与相似，不符合题意； B. ，能使与相似，不符合题意； C. ，不能使与相似，符合题意； D. ，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为，即可求解． 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为， ∴， 故选：D． 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2025 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共7小题，每小题3分） 8. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 9. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 10. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：（舍去）． 则该群一共有10人 故答案为：10． 11. 如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． 12. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 13. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值． 【详解】解：如图所示，过作，交于， 则，即：，， ，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 三、解答题（共7题） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 16. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若等腰的腰长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 无论取什么实数值，， ， 无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）10 【解析】 【分析】（1）先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论； （2）利用求根公式计算出方程的两根，，根据，恰好是这个方程的两个实数根，腰长，得另一腰的长为，底边为，从而得三角形的周长； 本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，， ，恰好是这个方程的两个实数根，腰长， 另一腰的长为，底边为， ，此时三角形的周长； 综上所述，△的周长为10． 17. 镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？ 【答案】54 【解析】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润=2240元列出方程求解即可. 【详解】设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴x=54 答：每千克特产应定价54元. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点F即为所求作． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 19. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）5或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，得到，，即可证明结论； （2）分两种情况：当时；当时；利用相似三角形的性质，结合等腰三角形的性质和矩形的性质分别求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，如图， ∴，， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，由三线合一可得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当为5或2时，能使得与相似． 20. 在矩形中，点P在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交、于点E、F，连接（如图1）． （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求的长； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在整个过程中， ①的值是否发生变化？请说明理由；② 直接写出线段的中点所经过的路线长． 【答案】（1） （2） ①的值不变. 理由如下：如图，作于，则， 同理可证明， ； ②线段的中点所经过的路线长为 【解析】 【分析】（1）勾股定理计算PE,利用计算线段的长； （2）①作于，则，证明即可； ②当点与点重合时，点恰好与点重合时，的中点恰好是的中点M；当点与点A重合时，点恰好与点B重合时，的中点恰好是的中点N，中点运动的路径长恰好是线段的长度即三角形的中位线，计算即可． 【小问1详解】 如图，在中，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ，即， 解得，即； 【小问2详解】 ①略 ②如上图，点为的中点，则，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图，点点与点重合时，点在的中点处； 当点与点重合时，点在线段的中点处， ∵， ∴， 垂直平分， ∴， 而， ∴， 即线段的中点经过的路线长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，线段的中点，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学10月随堂作业2025．10 一、选择题（共7小题，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2025 D. 2028 二、填空题（共7小题，每小题3分） 8. 已知，则的值为________． 9. 若点是线段的黄金分割点，且，，则_____（保留根号） 10. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_________人． 11. 如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是_______． 12. 如图，已知，和相交于，若，则______． 13. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 14. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（共7题） 15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若等腰的腰长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 17. 镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？ 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 19. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 20. 在矩形中，点P在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交、于点E、F，连接（如图1）． （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求的长； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在整个过程中， ①的值是否发生变化？请说明理由；② 直接写出线段的中点所经过的路线长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $