第4章 代数式（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第4章 代数式（复习讲义） 从生活实例（如用字母表示数量关系、运算律）中抽象出代数式的模型，理解其作为数学语言的一般性和简洁性。通过运算与推理，掌握代数式的书写规范、恒等变形及求值方法，初步建立符号意识与运算能力。 基础题 ：代数式的书写规范、列代数式表示数量关系、直接代入求值、整式的简单混合运算。 中档题 ：整式的化简与求值（整体思想）、探索规律并用代数式表示、因式分解。 压轴题 ：代数式与图形、函数的综合探究性问题，或涉及复杂变换的规律探究。 ✅ 概念零混淆（区分单项式的“系数”与“次数”，“同类项”与“同次项”）； ✅ 运算保规范（去括号看符号，合并同类项看字母与指数）； ✅ 应用重转化（将实际问题或图形规律准确转化为代数关系）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 用字母表示数量关系，规范书写代数式。 2. 求代数式的值（直接代入）。 3. 进行整式的加减运算（合并同类项）。 . “a的2倍与b的平方的差”用代数式表示为 ______。 2. 当 a=2, b=-1 时，求代数式 3a² - 2ab + b² 的值。 3. 计算：(2x² - 3x + 1) - (x² + 2x - 5) 进阶目标 1. 整式的乘除运算（单项式×多项式，乘法公式）。 2. 整式的混合运算与化简求值（整体代入法）。 3. 因式分解（提公因式法、公式法）。 1. 计算：(2a-3b)² 2. 已知 x² - 3x + 1 = 0，求 x² + 1/x² 的值。 3. 因式分解：2x³ - 8x 拓展目标 1. 图形或数字规律的探究与代数式表示。 2. 代数式与新定义、程序运算等问题的结合。 3. 代数式在复杂实际问题中的建模与应用。 1. (规律探究) 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，第n个图形需要多少枚棋子？ 2. (新定义运算) 规定一种新运算：a※b = 2a - b²，求 (3※2)※(-1) 的值。 3. (实际建模) 某商场销售一种商品，成本为每件a元，按成本价提高40%后标价，又以8折出售，用代数式表示每件的实际售价。 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式的定义与书写 1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子。 2. 书写规范： 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号省略。 除法运算写成分数形式。 带单位时，代数式整体加括号。 1. 书写不规范：如将 2×a 写成 a2 或 2a（后者正确）。 2. 省略乘号情境错误：数字与数字相乘，乘号不能省略，如 2×3 不能写成 23。 列代数式 1. 关键：正确理解题目中的数量关系和运算顺序。 2. 常见模型：  a 与 b 的平方和：a² + b² a 与 b 和的平方：(a + b)² 1. 混淆运算顺序：分不清“平方和”与“和的平方”。 2. 单位处理错误：如“涨价a元”与“涨价a%”混淆。 代数式的求值 1. 直接代入法：用数值代替字母，按运算顺序计算。 2. 整体代入法：有时需将已知代数式看作一个整体进行代入。 1. 代入时漏乘：如 x=2 时，3x² 误算为 3×2=6（应为 12）。 2. 代入负数或分数未加括号：导致符号错误或指数运算错误，如 x=-2 时，x² 误算为 -4。 整式的相关概念 1. 单项式：由数与字母的积组成。  系数：数字因数。 次数：所有字母的指数和。 2. 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式。  次数：次数最高项的次数。 3. 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。 1. 概念混淆：误认为所有单项式都是整式，或带分母的字母式是整式。 2. 判断同类项错误：只关心字母，忽略指数必须相同，如 2a²b 与 3ab² 不是同类项。 3. 系数与次数混淆：如将 -2x²y 的次数说成是 -2。 整式的加减 1. 本质：合并同类项。 2. 步骤：去括号 → 找同类项 → 合并。 3. 去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号都改变。 1. 去括号时符号错误：括号前是负号时，只改变第一项的符号。 2. 合并同类项时“假合并”：将非同类项强行合并，如 3a + 2b = 5ab。 3. 漏项：项数较多的多项式合并时漏掉某项。 题型一 用字母表示代数式 【例1】下列选项中，可以用代数式“﹣3x”表示的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 【变式1-1】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 【变式1-2】写出下列各代数式的意义： （1）2a﹣3； （2）2（a﹣3）； （3）x2+y2． 【变式1-3】指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？ （1）2x﹣1 （2）a＝1 （3）S＝πR2 （4）π （5） （6）． 题型二 列代数式 【例2】用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【变式2-1】甲、乙、丙三个数，甲比乙的3倍多3，丙比乙的2倍少5．如果设乙是x，那么甲是 　 　 ，丙是 　 　 ． 【变式2-2】一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是　 　 元． 【变式2-3】某商品的进价为x元，先按进价的1.2倍标价，后又降价50元出售，这件商品现在的售价为　 　 元（用含x的代数式表示）． 题型三 代数式的值 【例3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2（a+b）﹣3cd＝　 　 ． 【变式3-1】当x＝3时，px3+qx+1＝2024，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值是　 　 ． 【变式3-2】已知x2﹣2x＝5，则代数式2x2﹣4x+2021的值是 　 　 ． 【变式3-3】若2x2﹣x﹣3＝0，则代数式5+6x2﹣3x的值为　 　 ． 题型四 单项式 【例4】单项式﹣2x2y的次数是　 　 ． 【变式4-1】请写出一个只含有x、y两个字母，系数是﹣2，次数是5的单项式　 　 ． 【变式4-2】单项式的次数是 　 　 ． 【变式4-3】关于x，y的单项式x2ym的次数为7，则m的值为　 　 ． 题型五 多项式 【例5】多项式6x2y5﹣2x2﹣3y+5的一次项系数是　 　 ． 【变式5-1】已知多项式﹣3x2ym﹣2﹣4x2y+xy﹣6是4次4项式，则m＝　 　 ． 【变式5-2】已知多项式ym+xy3﹣3x4﹣5是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式5xny6﹣m的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【变式5-3】已知多项式﹣x4ym﹣1﹣4mx3﹣3y4﹣2y2+7是关于x，y的六次五项式．求该多项式的三次项． 题型六 整式 【例6】下列代数式：，，﹣π，﹣5x2y3，，，x，其中整式有 　 　 个． 【变式6-1】下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x，（9）y3﹣5y中，整式有 　 　 个． 【变式6-2】下列式子：x2+2，，，1，a2﹣2ab+b2，﹣5x中，整式有 　 　 个． 【变式6-3】在代数式，3，﹣2，，，中，单项式有　 　 个，多项式有　 　 个，整式有　 　 个，代数式有　 　 个． 题型七 同类项 【例7】如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　 　 ． 【变式7-1】若2021a2by与2022ax+yb3是同类项，则x﹣y＝　 　 ． 【变式7-2】已知单项式﹣2a2b与amb是同类项，多项式3x2yn﹣xy2xy是六次三项式，求m﹣n的值． 【变式7-3】根据题意求值： （1）单项式﹣2amb3与单项式的次数相同，求m的值； （2）已知两个单项式，﹣x4yb+6是同类项，求a，b的值． 题型八 合并同类项 【例8】已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则﹣2a+b的值为 　 　 ． 【变式8-1】若多项式3x3﹣2mx2+5x﹣3和2x3+8x2﹣x+1相减后不含二次项，则m的值是　 　 ． 【变式8-2】合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【变式8-3】对于代数式2x2+7xy+3y2+x2﹣kxy+5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，代数式中不含xy项，第二个问题是：在第一问的前提下，如果x＝2，y＝﹣1，代数式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧． （2）在做第二个问题时，马小虎同学把y＝﹣1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 题型九 整式的加减 【例9】已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 【变式9-1】已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【变式9-2】已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【变式9-3】如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 题型十 代数式综合 【例10】若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　 　 ． 【变式10-1】已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【变式10-2】有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b＝﹣4两边乘以2得10a+6b＝﹣8． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知a2﹣2a＝1，则2a2﹣4a+1＝　 　 ． （2）已知m+n＝2，mn＝﹣4，求2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值． 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，求代数式3a2+4ab+4b2的值． 【变式10-3】定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 　 　 是关于1的平衡数，5﹣x与 　 　 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 基础巩固通关测 1．下列说法正确的是（　　） A．的系数是﹣2 B．22a3b的次数是6次 C．多项式6x2﹣3x+1是二次三项式 D．x2+x﹣1的常数项为1 2．若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（　　） A．37 B．25 C．32 D．0 3．下列计算正确的是（　　） A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b B．2c2﹣c2＝2 C．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y D．3a+2b＝5ab 4．小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 5．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： x2+y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 6．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 8．若6x2yn+1与﹣7xm﹣2y3是同类项，则m+n＝ 　 　 ． 9．悦读书店周六早上新进了150套科普书，当天卖了n套，周日比周六多卖了20套，还剩　 　 套．（用含n的代数式表示，结果要求化简） 10．对于有理数a，b，定义a⊙b＝3a+2b，则（x+y）⊙（x﹣y）化简后得 　 　 ． 11．若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　 　 ． 12．当m＝　 　 时，多项式3x2+2xy+y2﹣mx2中不含x2项． 13．先化简，再求值： （1），其中x＝﹣4，y＝5； （2）3（2x2y﹣xy2）﹣（5x2y+2xy2），其中|x+5|＝0，y是﹣2的相反数； （3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2，其中m+n＝mn． 14．已知Amx+4． （1）当2A﹣3B的值与x的取值无关，求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求多项式（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2）的值． 15．（1）已知A＝3x﹣4xy+2y，小明在计算2A﹣B时，误将其按2A+B计算，结果得到7x+4xy﹣y．求多项式B，并计算出2A﹣B的正确结果． （2）已知A＝by2﹣ay﹣1，B＝2y2+3ay﹣10y+3．若多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求a、b的值． 能力提升进阶练 1．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 2．已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 3．下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是﹣2 B．32xy的次数是4 C．2x2﹣3x+5的一次项系数是3 D．﹣3x3y﹣2x2+5是一个四次三项式 5．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2（a+b）﹣3cd＝　 　 ． 6．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则 　 　 ． 7．小马虎在计算一次式﹣3x+1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x﹣3，则正确的答案是 　 　 ． 8．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4．以下结论： ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．其中，正确的是 　 　 （写出序号即可）． 9．已知x+y＝1，则代数式x+（x+y）2+y的值为　 　 ． 10．定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若，则（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为　 　 ． 11．先化简，再求值． （1）2（ab2﹣2a2b）﹣3（ab2﹣a2b）+（2ab2﹣2a2b），其中a＝2，b＝1； （2）已知：A＝4x2﹣4xy+y2，B＝x2+xy﹣5y2，求A﹣2B的值． 12．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 13．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当m＝5，n＝2时，大长方形的面积为 　 　 ； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：　 　 ；阴影A的面积：　 　 ；阴影B的周长 　 　 ； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 14．甲、乙两家商店出售同样牌子和规格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定价300元，每盒羽毛球定价40元，为庆祝五一节，两家商店开展促销活动如下： 甲商店：所有商品9折优惠； 乙商店：每买1副球拍赠送1盒羽毛球． 某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）． （1）按上述的促销方式，该校羽毛球队在甲、乙两家商店各应花费多少元？试用含a、b的代数式表示； （2）当a＝10，b＝20时，试判断分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球，哪家便宜？ （3）当a、b满足什么关系时，到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球的费用相同？ 15．某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同．甲的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费10元，每超过1千米则另外收费1.2元（不足1千米按1千米收费）；乙的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费8元，每超过1千米则另外收费1.7元（不足1千米按1千米收费）．某人到该市出差，需要乘坐的路程为x千米． （1）当x＝5时，请分别求出乘坐甲、乙两种出租车的费用； （2）若某人乘坐的路程大于3千米，试解答下列问题： ①计算此人分别乘坐甲、乙出租车所需要的费用（用含x的式子表示）； ②请帮他规划一下乘坐哪种车较合算？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 代数式（复习讲义） 从生活实例（如用字母表示数量关系、运算律）中抽象出代数式的模型，理解其作为数学语言的一般性和简洁性。通过运算与推理，掌握代数式的书写规范、恒等变形及求值方法，初步建立符号意识与运算能力。 基础题 ：代数式的书写规范、列代数式表示数量关系、直接代入求值、整式的简单混合运算。 中档题 ：整式的化简与求值（整体思想）、探索规律并用代数式表示、因式分解。 压轴题 ：代数式与图形、函数的综合探究性问题，或涉及复杂变换的规律探究。 ✅ 概念零混淆（区分单项式的“系数”与“次数”，“同类项”与“同次项”）； ✅ 运算保规范（去括号看符号，合并同类项看字母与指数）； ✅ 应用重转化（将实际问题或图形规律准确转化为代数关系）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 用字母表示数量关系，规范书写代数式。 2. 求代数式的值（直接代入）。 3. 进行整式的加减运算（合并同类项）。 . “a的2倍与b的平方的差”用代数式表示为 ______。 2. 当 a=2, b=-1 时，求代数式 3a² - 2ab + b² 的值。 3. 计算：(2x² - 3x + 1) - (x² + 2x - 5) 进阶目标 1. 整式的乘除运算（单项式×多项式，乘法公式）。 2. 整式的混合运算与化简求值（整体代入法）。 3. 因式分解（提公因式法、公式法）。 1. 计算：(2a-3b)² 2. 已知 x² - 3x + 1 = 0，求 x² + 1/x² 的值。 3. 因式分解：2x³ - 8x 拓展目标 1. 图形或数字规律的探究与代数式表示。 2. 代数式与新定义、程序运算等问题的结合。 3. 代数式在复杂实际问题中的建模与应用。 1. (规律探究) 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，第n个图形需要多少枚棋子？ 2. (新定义运算) 规定一种新运算：a※b = 2a - b²，求 (3※2)※(-1) 的值。 3. (实际建模) 某商场销售一种商品，成本为每件a元，按成本价提高40%后标价，又以8折出售，用代数式表示每件的实际售价。 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式的定义与书写 1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子。 2. 书写规范： 数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号省略。 除法运算写成分数形式。 带单位时，代数式整体加括号。 1. 书写不规范：如将 2×a 写成 a2 或 2a（后者正确）。 2. 省略乘号情境错误：数字与数字相乘，乘号不能省略，如 2×3 不能写成 23。 列代数式 1. 关键：正确理解题目中的数量关系和运算顺序。 2. 常见模型：  a 与 b 的平方和：a² + b² a 与 b 和的平方：(a + b)² 1. 混淆运算顺序：分不清“平方和”与“和的平方”。 2. 单位处理错误：如“涨价a元”与“涨价a%”混淆。 代数式的求值 1. 直接代入法：用数值代替字母，按运算顺序计算。 2. 整体代入法：有时需将已知代数式看作一个整体进行代入。 1. 代入时漏乘：如 x=2 时，3x² 误算为 3×2=6（应为 12）。 2. 代入负数或分数未加括号：导致符号错误或指数运算错误，如 x=-2 时，x² 误算为 -4。 整式的相关概念 1. 单项式：由数与字母的积组成。  系数：数字因数。 次数：所有字母的指数和。 2. 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式。  次数：次数最高项的次数。 3. 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。 1. 概念混淆：误认为所有单项式都是整式，或带分母的字母式是整式。 2. 判断同类项错误：只关心字母，忽略指数必须相同，如 2a²b 与 3ab² 不是同类项。 3. 系数与次数混淆：如将 -2x²y 的次数说成是 -2。 整式的加减 1. 本质：合并同类项。 2. 步骤：去括号 → 找同类项 → 合并。 3. 去括号法则：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号都改变。 1. 去括号时符号错误：括号前是负号时，只改变第一项的符号。 2. 合并同类项时“假合并”：将非同类项强行合并，如 3a + 2b = 5ab。 3. 漏项：项数较多的多项式合并时漏掉某项。 题型一 用字母表示代数式 【例1】下列选项中，可以用代数式“﹣3x”表示的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 【考点】代数式 【分析】根据代数式的意义即可得到答案． 【解答】解：代数式表示的是﹣3与x的积． 故选：C． 【点评】本题考查代数式意义，理解代数式定义与写法是解决问题的关键． 【变式1-1】我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（　　） A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元 B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数 C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x） D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件 【考点】代数式 【分析】A．根据“剩余金额＝100﹣单价×数量”列代数式即可； B．根据“男生人数＝学生总数﹣女生人数”列代数式即可； C．根据“长方形的另一边长”列代数式即可； D．根据“去年的产量﹣前年的产量”列代数式即可． 【解答】解：用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元， ∴A正确，不符合题意； 在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数， ∴B正确，不符合题意； 周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为， ∴C不正确，符合题意； 某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 【变式1-2】写出下列各代数式的意义： （1）2a﹣3； （2）2（a﹣3）； （3）x2+y2． 【考点】代数式 【分析】根据代数式的实际意义可直接进行求解． 【解答】解：（1）2a﹣3表示的意义为：a的2倍与3的差； （2）2（a﹣3）表示的意义为：a与3的差的2倍； （3）x2+y2表示的意义为：x，y两数的平方和． 【点评】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键． 【变式1-3】指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？ （1）2x﹣1 （2）a＝1 （3）S＝πR2 （4）π （5） （6）． 【考点】代数式 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：（2）（3）（6）是等式不是代数式； （1）（4）（5）是代数式． 【点评】此题考查代数式的辨别，注意掌握代数式的定义． 题型二 列代数式 【例2】用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【考点】列代数式 【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a+3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论． 【解答】解：a的2倍就是：2a， a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 故选：B． 【点评】本题考查了数量之间的和差倍的关系．本题是一道列代数式的文字题，解答时理清关系的运算顺序是解答的关键． 【变式2-1】甲、乙、丙三个数，甲比乙的3倍多3，丙比乙的2倍少5．如果设乙是x，那么甲是 　3x+3　 ，丙是 　2x﹣5　 ． 【考点】列代数式 【分析】根据“甲比乙的3倍多3，丙比乙的2倍少5”列出代数式． 【解答】解：∵设乙是x，甲比乙的3倍多3， ∴甲是3x+3； 又∵丙比乙的2倍少5， ∴丙是2x﹣5． 故答案为：3x+3；2x﹣5． 【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【变式2-2】一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是　　 元． 【考点】列代数式 【分析】每千克苹果的售价＝总售价÷（总质量﹣箱子的质量），把相关数值代入即可求解． 【解答】解：苹果总质量为：m﹣n． ∴每千克苹果的售价元． 【点评】解决本题的关键得到每千克苹果的售价的等量关系． 【变式2-3】 某商品的进价为x元，先按进价的1.2倍标价，后又降价50元出售，这件商品现在的售价为　（1.2x﹣50）　 元（用含x的代数式表示）． 【考点】列代数式 【分析】根据题意表示出现在的售价即可． 【解答】解：由题意可得：现在的售价为（1.2x﹣50）元． 故答案为：（1.2x﹣50）． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解此题的关键． 题型三 代数式的值 【例3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2（a+b）﹣3cd＝　﹣3　 ． 【考点】代数式求值；相反数；倒数 【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b，cd的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1， 则原式＝0﹣3＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【变式3-1】当x＝3时，px3+qx+1＝2024，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值是　﹣2022　 ． 【考点】代数式求值 【分析】先根据题意得出27p+3q＝2023，再将x＝﹣3代入式子得出px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1，整体代入计算即可得解． 【解答】解：由条件可知：27p+3q+1＝2024， ∴27p+3q＝2023， ∴当x＝﹣3时，px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1＝﹣2023+1＝﹣2022， 故答案为：﹣2022． 【点评】本题考查了求代数式的值，整体代入是关键． 【变式3-2】已知x2﹣2x＝5，则代数式2x2﹣4x+2021的值是 　2031　 ． 【考点】代数式求值 【分析】根据题意，结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 2x2﹣4x+2021＝2（x2﹣2x）+2021． 因为x2﹣2x＝5， 则原式＝2×5+2021＝2031． 故答案为：2031． 【点评】本题主要考查了代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 【变式3-3】若2x2﹣x﹣3＝0，则代数式5+6x2﹣3x的值为　14　 ． 【考点】代数式求值 【分析】由题意，得到2x2﹣x＝3，然后化简代数式，利用整体代入法，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：2x2﹣x＝3， ∴原式＝5+3（2x2﹣x） ＝5+3×3 ＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了求代数式的值，解题的关键是熟练运用整体代入法进行解题． 题型四 单项式 【例4】单项式﹣2x2y的次数是　3　 ． 【考点】单项式 【分析】直接利用单项式次数的定义得出答案． 【解答】解：﹣2x2y的次数为：2+1＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式次数的确定方法是解题关键． 【变式4-1】请写出一个只含有x、y两个字母，系数是﹣2，次数是5的单项式　﹣2xy4（答案不唯一）　 ． 【考点】单项式 【分析】根据题意，结合单项式定义即可得到答案． 【解答】解：写出一个只含有x、y两个字母，系数是﹣2的单项式可以是﹣2xy4（答案不唯一）， 故答案为：﹣2xy4（答案不唯一）． 【点评】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【变式4-2】单项式的次数是 　3　 ． 【考点】单项式 【分析】根据单项式的次数填空即可． 【解答】解：单项式的次数是3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的次数是关键． 【变式4-3】关于x，y的单项式x2ym的次数为7，则m的值为　5　 ． 【考点】单项式 【分析】利用单项式次数的定义即可求出m的值． 【解答】解：∵关于x，y的单项式的次数为7， ∴2+m＝7， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查单项式次数的定义．掌握一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数是解题关键． 题型五 多项式 【例5】多项式6x2y5﹣2x2﹣3y+5的一次项系数是　﹣3　 ． 【考点】多项式 【分析】先确定一次项，再确定一次项系数． 【解答】解：多项式一次项系数为﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查多项式的概念，解题的关键是熟练掌握多项式的概念． 【变式5-1】已知多项式﹣3x2ym﹣2﹣4x2y+xy﹣6是4次4项式，则m＝　4　 ． 【考点】多项式 【分析】根据多项式为4次4项式，可得2+m﹣2＝4，求出m的值即可． 【解答】解：∵多项式﹣3x2ym﹣2﹣4x2y+xy﹣6是4次4项式， ∴2+m﹣2＝4， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了多项式，注意多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【变式5-2】已知多项式ym+xy3﹣3x4﹣5是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式5xny6﹣m的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【考点】多项式；单项式 【分析】（1）根据多项式的次数得出m的值； （2）由（1）可知：m＝5，把m＝5代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出n+1＝5，进而可求出n的值． 【解答】解：（1）∵多项式是五次四项式， ∴m＝5； （2）由（1）可知：m＝5， ∴单项式5xny6﹣m为5xny， 由条件可知n+1＝5， ∴n＝4． 【点评】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数，关键是根据多项式的次数和单项式的次数解答． 【变式5-3】已知多项式﹣x4ym﹣1﹣4mx3﹣3y4﹣2y2+7是关于x，y的六次五项式．求该多项式的三次项． 【考点】多项式 【分析】先根据多项式的次数是6求出m的值，进而可求出该多项式的三次项． 【解答】解：由条件可知m﹣1＝2． 解得m＝3． 所以关于x，y的六次五项式为﹣x4y2﹣12x3﹣3y4﹣2y2+7． 所以该多项式的三次项为﹣12x3﹒ 【点评】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 题型六 整式 【例6】下列代数式：，，﹣π，﹣5x2y3，，，x，其中整式有 　5　 个． 【考点】整式 【分析】根据单项式和多项式统称为整式，从而可以解答此题． 【解答】解：下列代数式：，，﹣π，﹣5x2y3，，，x， 属于整式的有：． ，是分式，不是整式． 故答案为：5． 【点评】本题考查整式，解题的关键是明确整式的定义，注意π在数学中指的是圆周率，是一个常数． 【变式6-1】下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x，（9）y3﹣5y中，整式有 　6　 个． 【考点】整式 【分析】利用整式的定义判断得出即可． 【解答】解：（1），（2）m，（3），（5）2m+1，（6），（8）x2+2x都是整式， 故整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）6个． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了整式的定义，正确把握整式的定义是解题关键． 【变式6-2】下列式子：x2+2，，，1，a2﹣2ab+b2，﹣5x中，整式有 　5　 个． 【考点】整式 【分析】“单项式和多项式统称为整式”，据此逐个进行判断即可． 【解答】解：x2+2，，1，a2﹣2ab+b2，﹣5x是整式，符合题意； 不是整式，不符合题意； 综上：整式有5个． 故答案为：5． 【点评】本题考查了整式的定义，掌握“单项式和多项式统称为整式”是解题关键． 【变式6-3】在代数式，3，﹣2，，，中，单项式有　2　 个，多项式有　2　 个，整式有　4　 个，代数式有　6　 个． 【考点】整式 【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 【解答】解：根据整式，单项式，多项式的概念可知，单项式有，﹣2，共2个；多项式有3，，共2个，整式有4个，代数式有6个． 故本题答案为：2；2；4；6． 【点评】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 题型七 同类项 【例7】如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　9　 ． 【考点】同类项 【分析】根据同类项的概念即可求出答案． 【解答】解：∵与﹣2x3yb是同类项， ∴a＝3，b＝2， ∴ab＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类项的定义，要熟记同类项的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式7-1】若2021a2by与2022ax+yb3是同类项，则x﹣y＝　﹣4　 ． 【考点】同类项 【分析】先根据同类项的概念，列出关于x，y的方程组，求出x，y，进而求出答案即可． 【解答】解：∵2021a2by与2022ax+yb3是同类项， ∴， 解得：， ∴x﹣y ＝﹣1﹣3 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了同类项的概念，解题关键是熟练掌握同类项的概念． 【变式7-2】已知单项式﹣2a2b与amb是同类项，多项式3x2yn﹣xy2xy是六次三项式，求m﹣n的值． 【考点】同类项；多项式 【分析】根据题意可得m＝2，2+n＝6，进而得出答案． 【解答】解：由已知可得， m＝2，2+n＝6， 则n＝4， 所以m﹣n＝2﹣4＝﹣2． 【点评】本题主要考查同类项、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式7-3】根据题意求值： （1）单项式﹣2amb3与单项式的次数相同，求m的值； （2）已知两个单项式，﹣x4yb+6是同类项，求a，b的值． 【考点】同类项；单项式 【分析】（1）根据单项式次数的定义，即可解答； （2）根据同类项的定义，即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知m+3＝2+5， 解得：m＝4； （2）由条件可知2a＝4，b+6＝5， 解得：a＝2，b＝﹣1． 【点评】本题考查了单项式的次数和同类项的定义，解题的关键是掌握单项式的次数是所有字母的指数和；同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式． 题型八 合并同类项 【例8】已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则﹣2a+b的值为 　6　 ． 【考点】合并同类项 【分析】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2， 由x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，得 a+5＝0，3﹣7﹣b＝0． 解得a＝﹣5，b＝﹣4． ∴﹣2a+b＝﹣2×（﹣5）+（﹣4）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了合并同类项，利用合并后不含三次项，二次项得出含三次项，二次项的系数为零是解题关键． 【变式8-1】若多项式3x3﹣2mx2+5x﹣3和2x3+8x2﹣x+1相减后不含二次项，则m的值是　﹣4　 ． 【考点】合并同类项；多项式 【分析】先列式，去括号，然后合并同类项，将整式整理为x3﹣（2m+8）x2+6x﹣4，由“多项式3x3﹣2mx2+5x﹣3和2x3+8x2﹣x+1相减后不含二次项”可得2m+8＝0，解方程即可求出m的值． 【解答】解：（3x3﹣2mx2+5x﹣3）﹣（2x3+8x2﹣x+1） ＝3x3﹣2mx2+5x﹣3﹣2x3﹣8x2+x﹣1 ＝x3﹣（2m+8）x2+6x﹣4， ∵多项式3x3﹣2mx2+5x﹣3和2x3+8x2﹣x+1相减后不含二次项， ∴2m+8＝0， 解得：m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程等知识点，由“多项式3x3﹣2mx2+5x﹣3和2x3+8x2﹣x+1相减后不含二次项”得出2m+8＝0是解题的关键． 【变式8-2】合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【考点】合并同类项 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x+y； （2）原式x2yxy+xy﹣2x2y x2yxy． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟记该知识点是解题的关键． 【变式8-3】对于代数式2x2+7xy+3y2+x2﹣kxy+5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，代数式中不含xy项，第二个问题是：在第一问的前提下，如果x＝2，y＝﹣1，代数式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧． （2）在做第二个问题时，马小虎同学把y＝﹣1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 【考点】合并同类项 【分析】（1）代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy项得系数等于0，据此即可求得； （2）把x＝2，y＝﹣1和x＝2，y＝1代入（1）中的代数式求值即可判断． 【解答】解：（1）因为2x2+7xy+3y2+x2﹣kxy+5y2 ＝（2x2+x2）+（3y2+5y2）+（7xy﹣kxy） ＝3x2+8y2+（7﹣k）xy 所以只要7﹣k＝0，这个代数式就不含xy项． 即k＝7时，代数式中不含xy项． （2）因为在第一问的前提下原代数式为：3x2+8y2 当x＝2，y＝﹣1时， 原式＝3x2+8y2＝3×22+8×（﹣1）2＝12+8＝20． 当x＝2，y＝1时， 原式＝3x2+8y2＝3×22+8×12＝12+8＝20． 所以马小虎的最后结果是正确的． 【点评】本题考查了合并同类项，理解不含xy项就是xy项的系数是0是关键． 题型九 整式的加减 【例9】已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 【考点】整式的加减 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）①根据题意，得到n+1＝0，m﹣3＝0，从而得到m＝3，n＝﹣1； ②把m，n的值代入到A中，即可得到结果． 【解答】解：（1）A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn] ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣（2m2﹣4m﹣n2+2mn） ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣2m2+4m+n2﹣2mn ＝n2﹣4mn； （2）①x2+mx+nx2﹣3x+1＝（n+1）x2+（m﹣3）x+1， ∵关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关， ∴n+1＝0，m﹣3＝0， ∴m＝3，n＝﹣1； ②A＝n2﹣4mn＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【变式9-1】已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】（1）将A和B代入A﹣3B根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到x＝﹣1，，然后代入2x2﹣2y+2xy求解即可． 【解答】解：（1）∵A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy ∴A﹣3B ＝﹣（x2+2y）﹣xy﹣3（﹣x2﹣xy） ＝2x2﹣2y+2xy； （2）∵， ∴x＝﹣1，， ∴原式 ＝﹣3． 【点评】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【变式9-2】已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【考点】整式的加减 【分析】（1）把B和A的式子代入3B﹣A，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由3B﹣A的结果与x的取值无关得出3﹣2m＝0，﹣（3n+7）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：（1）3B﹣A ＝3（x2﹣nx+5）﹣（2mx2+7x﹣3） ＝3x2﹣3nx+15﹣2mx2﹣7x+3 ＝（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18； （2）由（1）得：3B﹣A的结果为（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18， ∵3B﹣A的结果与x的取值无关， ∴3﹣2m＝0，﹣（3n+7）＝0， ∴，． 【点评】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． 【变式9-3】如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【考点】整式的加减 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为（a+2b），大长方形的宽为（2b+CD），AB＝a﹣CD，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得AB＝a﹣CD＝6厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6﹣6）＝2（2a+4b﹣12）厘米，图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米，即可求解． 【解答】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图可知：大长方形的长为（a+2b）厘米，宽为（2b+CD）厘米，AB＝a﹣CD， 由条件可知（a+2b）﹣（2b+CD）＝6，大长方形的宽为（a+2b﹣6）厘米， ∴AB＝a﹣CD＝6厘米， ∴阴影部分的周长为2（2a+4b﹣12）厘米， 图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米， ∵2（2a+4b﹣6）﹣2（2a+4b﹣12）＝12厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到AB＝a﹣CD＝6厘米是解题的关键． 题型十 代数式综合 【例10】若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　2028　 ． 【考点】代数式求值 【分析】变形整理等式和代数式，整体代入求值． 【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴2x3+7x2+4x+2025 ＝2x3+4x2+3x2+4x+2025 ＝2x（x2+2x）+3x2+4x+2025 ＝2x+3x2+4x+2025 ＝3x2+6x+2025 ＝3（x2+2x）+2025 ＝3+2025 ＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值法． 【变式10-1】已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x． （1）求A﹣2B； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值． 【考点】整式的加减 【分析】（1）将A、B代入，然后去括号、合并同类项求解； （2）与x的取值无关说明x的系数为0，据此求出y的值． 【解答】解：（1）A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣2（x2﹣xy+x） ＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x ＝5xy+2y﹣2x； （2）5xy+2y﹣2x＝（5y﹣2）x+2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴5y﹣2＝0 解得：y． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 【变式10-2】有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b＝﹣4两边乘以2得10a+6b＝﹣8． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知a2﹣2a＝1，则2a2﹣4a+1＝　3　 ． （2）已知m+n＝2，mn＝﹣4，求2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值． 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，求代数式3a2+4ab+4b2的值． 【考点】整式的加减—化简求值 【分析】（1）根据a2﹣2a＝1，把2a2﹣4a+1化为2（a2﹣2a）+1，整体代入计算； （2）根据m+n＝2，mn＝﹣4，把2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）化为5mn﹣6（m+n），整体代入计算； （3）根据a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，①×3﹣②×2得结果． 【解答】解：（1）当a2﹣2a＝1时， 2a2﹣4a+1 ＝2（a2﹣2a）+1 ＝3； 故答案为：3； （2）当m+n＝2，mn＝﹣4时， 2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn） ＝2mn﹣6m﹣6n+3mn ＝5mn﹣6（m+n） ＝﹣32； （3）∵a2+2ab＝﹣5①， ab﹣2b2＝﹣3②， ①×3﹣②×2得 3a2+6ab﹣（2ab﹣4b2） ＝3a2+4ab+4b2 ＝﹣5×3﹣（﹣3）×2 ＝﹣9． 【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． 【变式10-3】定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 　﹣1　 是关于1的平衡数，5﹣x与 　x﹣3　 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【考点】整式的加减 【分析】（1）由平衡数的定义可求得答案； （2）计算a+b是否等于2即可． 【解答】解： （1）设3的关于1的平衡数为a，则3+a＝2，解得a＝﹣1， ∴3与﹣1是关于1的平衡数， 设5﹣x的关于1的平衡数为b，则5﹣x+b＝2，解得b＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3， ∴5﹣x与x﹣3是关于1的平衡数， 故答案为：﹣1；x﹣3； （2）a与b不是关于1的平衡数，理由如下： ∵a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]， ∴a+b＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6≠2， ∴a与b不是关于1的平衡数． 【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键． 基础巩固通关测 1．下列说法正确的是（　　） A．的系数是﹣2 B．22a3b的次数是6次 C．多项式6x2﹣3x+1是二次三项式 D．x2+x﹣1的常数项为1 【考点】多项式；单项式 【分析】直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、的系数是，故此选项错误； B、22a3b的次数项为4，故此选项错误； C、6x2﹣3x+1是二次三项式，故此选项正确； D、x2+x﹣1的常数项为﹣1，故此选项正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了单项式和多项式，掌握相关定义是解题关键． 2．若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（　　） A．37 B．25 C．32 D．0 【考点】代数式求值 【分析】先求得x2+x＝7，然后利用等式的性质得到4x2+4x＝28，然后整体代入求解即可． 【解答】解：∵x2+x+1＝8， ∴x2+x＝7． ∴4x2+4x＝28． 原式＝28+9＝37． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是求代数式的值，整体求解是解题的关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b B．2c2﹣c2＝2 C．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y D．3a+2b＝5ab 【考点】整式的加减 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【解答】解：∵﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，故选项A错误； ∵2c2﹣c2＝c2，故选项B错误； ∵x2y﹣4yx2＝﹣3x2y，故选项C正确； ∵3a+2b不能合并，故选项D错误； 故选：C． 【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 4．小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 【考点】列代数式 【分析】根据题意可以求得每增加一个水杯增加的高度，然后根据题目中的数据即可求得把n个这样的杯子叠放在一起，高度是多少，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 每增加一个水杯，增加的高度是（13﹣11）÷（5﹣3）＝2÷2＝1cm， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：11+（n﹣3）×1＝11+n﹣3＝（n+8）cm， 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 5．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： x2+y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 【考点】整式的加减 【分析】先计算（﹣x2+5xyy2）﹣（x2+4xyy2），然后对比题干中的式子，即可得到被墨水遮住的一项． 【解答】解：（﹣x2+5xyy2）﹣（x2+4xyy2） ＝﹣x2+5xyy2x2﹣4xyy2 x2+xy+y2， ∴被墨水遮住的一项应是+xy， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键． 6．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】整式 【分析】单项式与多项式统称整式，直接根据整式的概念作答即可． 【解答】解：由整式是多项式与单项式的统称， 故可得整式的有①；②；③；⑥8y2+2x﹣1，共4个； 故选：C． 【点评】本题主要考查整式的概念，熟练掌握整式的概念是解题的关键． 7．按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【考点】单项式 【分析】由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 【解答】解：按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是， 故选：B． 【点评】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数． 8．若6x2yn+1与﹣7xm﹣2y3是同类项，则m+n＝ 　6　 ． 【考点】同类项 【分析】根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵6x2yn+1与﹣7xm﹣2y3是同类项， ∴m﹣2＝2，n+1＝3， 解得m＝4，n＝2， ∴m+n＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查同类项，理解同类项的定义是正确解答的前提． 9．悦读书店周六早上新进了150套科普书，当天卖了n套，周日比周六多卖了20套，还剩　（130﹣2n）　 套．（用含n的代数式表示，结果要求化简） 【考点】列代数式 【分析】根据题意和题目中的数据，可以用含n的代数式表示出还剩多少套书没有卖出． 【解答】解：150﹣（n+n+20） ＝150﹣n﹣n﹣20 ＝（130﹣2n）套， 即还剩（130﹣2n）套， 故答案为：（130﹣2n）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 10．对于有理数a，b，定义a⊙b＝3a+2b，则（x+y）⊙（x﹣y）化简后得 　5x+y　 ． 【考点】整式的加减 【分析】根据题中所给出的式子进行解答即可． 【解答】解：∵a⊙b＝3a+2b， ∴（x+y）⊙（x﹣y） ＝3（x+y）+2（x﹣y） ＝3x+3y+2x﹣2y ＝5x+y， 故答案为5x+y． 【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键． 11．若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　9　 ． 【考点】多项式 【分析】根据题意可得：m+2＝4，n+3＝0，从而可得：m＝2，n＝﹣3，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式， ∴m+2＝4，n+3＝0， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 12．当m＝　3　 时，多项式3x2+2xy+y2﹣mx2中不含x2项． 【考点】多项式 【分析】先将已知多项式合并同类项，得（3﹣m）x2+2xy+y2，由于不含x2项，由此可以得到关于m方程，解方程即可求出m． 【解答】解：将多项式合并同类项得 （3﹣m）x2+2xy+y2， ∵不含x2项， ∴3﹣m＝0， ∴m＝3． 故填空答案：3． 【点评】此题注意解答时必须先合并同类项，否则可误解为m＝0． 13．先化简，再求值： （1），其中x＝﹣4，y＝5； （2）3（2x2y﹣xy2）﹣（5x2y+2xy2），其中|x+5|＝0，y是﹣2的相反数； （3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2，其中m+n＝mn． 【考点】整式的加减—化简求值；相反数；绝对值 【分析】（1）先通过去括号、合并同类项进行代数式的化简，再将x＝﹣4，y＝5代入、计算； （2）先通过去括号、合并同类项进行代数式的化简，再求得x，y的值，最后代入、求解； （1）先通过去括号、合并同类项进行代数式的化简，再将m+n＝mn代入、计算求解． 【解答】（1）∵ ＝2x2+2xy﹣3y﹣x2﹣2xy+1 ＝x2﹣3y+1， ∴当x＝﹣4，y＝5时， 原式＝（﹣4）2﹣3×5+1 ＝16﹣15+1 ＝2； （2）∵|x+5|＝0，y是﹣2的相反数， ∴x+5＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣5，y＝2， ∵3（2x2y﹣xy2）﹣（5x2y+2xy2） ＝6x2y﹣3xy2﹣5x2y﹣2xy2， ＝x2y﹣5xy2， ∴原式＝（﹣5）2×2﹣5×（﹣5）×22 ＝25×2+25×4 ＝50+100 ＝150； （3）∵4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2 ＝4mn+4m﹣8（mn﹣3）﹣6m2+4n+6m2 ＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2 ＝﹣4mn+4（m+n）+24， ∴当m+n＝mn时， 原式＝﹣4mn+4mn+24 ＝24． 【点评】此题考查了代数式的化简、求值能力，关键是能准确理解并运用去括号、合并同类项知识，进行正确地计算． 14．已知Amx+4． （1）当2A﹣3B的值与x的取值无关，求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求多项式（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2）的值． 【考点】整式的加减—化简求值 【分析】（1）先把已知条件中的A，B代入2A﹣3B，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后根据2A﹣3B的值与x的取值无关，列出关于m，n的方程，求出m，n即可； （2）先利用去括号法则和合并同类项法则把所求多项式进行化简，然后再把（1）中所求m，n代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）∵Amx+4， ∴2A﹣3B ＝3nx2﹣4x﹣2﹣9x2+mx﹣12 ＝3nx2﹣9x2+mx﹣4x﹣12﹣2 ＝（3n﹣9）x2+（m﹣4）x﹣14， ∵2A﹣3B的值与x的取值无关， ∴3n﹣9＝0，m﹣4＝0， 解得：m＝4，n＝3； （2）（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2） 2m2﹣3mn+3n2﹣m2+mn﹣2n2 ＝2m2﹣m2+3n2﹣2n2+mn﹣3mn ＝m2+n2﹣2mn， 当m＝4，n＝3时， 原式＝m2+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2 ＝（4﹣3）2 ＝12 ＝1． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 15．（1）已知A＝3x﹣4xy+2y，小明在计算2A﹣B时，误将其按2A+B计算，结果得到7x+4xy﹣y．求多项式B，并计算出2A﹣B的正确结果． （2）已知A＝by2﹣ay﹣1，B＝2y2+3ay﹣10y+3．若多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求a、b的值． 【考点】整式的加减—化简求值 【分析】（1）本题考查整式的加减混合运算，掌握运算法则，即可解题． （2）本题考查整式的加减混合运算，根据运算法则表示出2A﹣B，再根据多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，列式求解即可． 【解答】解：（1）B＝（2A+B）﹣2A ＝7x+4xy﹣y﹣2（3x﹣4xy+2y） ＝7x+4xy﹣y﹣6x+8xy﹣4y ＝x+12xy﹣5y． 2A﹣B ＝2（3x﹣4xy+2y）﹣（x+12xy﹣5y） ＝6x﹣8xy+4y﹣x﹣12xy+5y ＝5x﹣20xy+9y． （2）2A﹣B ＝2（by2﹣ay﹣1）﹣（2y2+3ay﹣10y+3） ＝2by2﹣2ay﹣2﹣2y2﹣3ay+10y﹣3 ＝（2b﹣2）y2+（10﹣5a）y﹣5． ∵多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关， ∴2b﹣2＝0，10﹣5a＝0，解得a＝2，b＝1． 【点评】本题考查整式的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 能力提升进阶练 1．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【考点】代数式求值 【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵2x2+3x的值为5， ∴2x2+3x＝5， ∴原式＝2（2x2+3x）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝10﹣9 ＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 2．已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 【考点】代数式求值 【分析】将x＝7代入ax3+bx+2，得到a与b的关系式，再将x＝﹣7代入ax3+bx﹣5并利用a与b的关系式求值即可． 【解答】解：当x＝7时，73a+7b+2＝14， 解得73a+7b＝12， 则当x＝﹣7时， ax3+bx﹣5 ＝﹣（73a+7b）﹣5 ＝﹣12﹣5 ＝﹣17． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 3．下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【考点】整式 【分析】利用整式的定义解答． 【解答】解：代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9是整式，共计6个，是分式． 故选：B． 【点评】本题考查了整式，解题的关键是掌握整式的定义． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是﹣2 B．32xy的次数是4 C．2x2﹣3x+5的一次项系数是3 D．﹣3x3y﹣2x2+5是一个四次三项式 【考点】多项式；单项式 【分析】根据单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式次数的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A、单项式的系数是，故A选项不符合题意； B、单项式的次数是2，故B选项不符合题意； C、多项式的一次项系数是﹣3，故C选项不符合题意； D、多项式是一个四次三项式，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 5．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2（a+b）﹣3cd＝　﹣3　 ． 【考点】代数式求值；相反数；倒数 【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b，cd的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1， 则原式＝0﹣3＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则 　4　 ． 【考点】代数式求值；数轴；相反数；倒数 【分析】分别求出a和b、c和d的数量关系及m的值并代入代数式求值即可． 【解答】解：∵a和b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c和d互为倒数， ∴cd＝1， ∵M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3， ∴m＝﹣3， ∴（a+b）﹣5cd+m20﹣5×1+（﹣3）2＝﹣5+9＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查代数式求值、数轴、相反数、倒数，掌握相反、倒数的定义是解题的关键． 7．小马虎在计算一次式﹣3x+1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x﹣3，则正确的答案是 　﹣8x+5　 ． 【考点】整式的加减 【分析】设另一个一次式为A，根据题意求得A＝5x﹣4，再计算﹣3x+1与A的差，即可求解． 【解答】解：设另一个一次式为A，则： A＝2x﹣3﹣（﹣3x+1）＝5x﹣4， 正确的答案是： ﹣3x+1﹣（5x﹣4）＝﹣8x+5． 故答案为：﹣8x+5． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． 8．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4．以下结论： ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．其中，正确的是 　①③④　 （写出序号即可）． 【考点】列代数式；整式的加减 【分析】①根据图形判断即可； ②分别表示出阴影A的较短边和阴影B的较短边并求和即可； ③表示出阴影A的较长边和阴影B的较长边之和，再根据阴影A和阴影B的周长和＝2×（阴影A的较长边和阴影B的较长边之和+阴影A的较短边和阴影B的较短边之和）计算即可； ④根据阴影A和阴影B的面积和＝大长方形的面积﹣7个小长方形的面积计算即可． 【解答】解：小长方形的较长边为y﹣4×3＝y﹣12， ∴①正确，符合题意； 阴影A的较短边为x﹣4×2＝x﹣8，阴影B的较短边为x﹣（y﹣12）＝x﹣y+12， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣8+（x﹣y+12）＝2x﹣y+4， ∴②不正确，不符合题意； 阴影A的较长边和阴影B的较长边之和为y， ∴阴影A和阴影B的周长和为2[y+（2x﹣y+4）]＝4x+8， 若x为定值，则4x+8为定值， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值， ∴③正确，符合题意； 当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为xy﹣4（y﹣12）×5＝xy﹣20y+240＝20y﹣20y+240＝240（为定值）， ∴④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查列代数式、整式的加减，根据图形找到边长之间的关系及长方形的周长和面积计算公式是解题的关键． 9．已知x+y＝1，则代数式x+（x+y）2+y的值为　2　 ． 【考点】代数式求值 【分析】先所求式子变形得（x+y）2+（x+y），再将x+y＝1代入即可解答． 【解答】解：∵x+y＝1， ∴x+（x+y）2+y ＝（x+y）2+（x+y） ＝12+1 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体代入是解题的关键． 10．定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若，则（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为　﹣3　 ． 【考点】整式的加减；有理数的混合运算 【分析】先根据规定把整理成，再根据规定将（2a+b）⊕（2a﹣5b）化简整理，然后整体代入即可求出最后的值． 【解答】解：由得： ， ， ∴， ∴（2a+b）⊕（2a﹣5b） ＝3（2a+b）﹣（2a﹣5b） ＝6a+3b﹣2a+5b ＝4（a+2b） ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了定义新运算和运用整体代入法求代数式的值，解题的关键是要理解规定的式子，对号入座，注意整体思想的运用． 11．先化简，再求值． （1）2（ab2﹣2a2b）﹣3（ab2﹣a2b）+（2ab2﹣2a2b），其中a＝2，b＝1； （2）已知：A＝4x2﹣4xy+y2，B＝x2+xy﹣5y2，求A﹣2B的值． 【考点】整式的加减—化简求值 【分析】（1）先去括号，再合并同类项化简，然后将a、b的值代入计算即可； （2）将A、B代入，再去括号、合并同类项即可． 【解答】解：（1）2（ab2﹣2a2b）﹣3（ab2﹣a2b）+（2ab2﹣2a2b） ＝2ab2﹣4a2b﹣3ab2+3a2b+2ab2﹣2a2b ＝2ab2+2ab2﹣3ab2﹣4a2b﹣2a2b+3a2b ＝ab2﹣3a2b， 当a＝2，b＝1时， 原式＝2×12﹣3×22×1 ＝2×1﹣3×4×1 ＝2﹣12 ＝﹣10； （2）A﹣2B ＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2（x2+xy﹣5y2） ＝4x2﹣4xy+y2﹣2x2﹣2xy+10y2 ＝4x2﹣2x2﹣4xy﹣2xy+10y2+y2 ＝2x2﹣6xy+11y2． 【点评】本题主要考查了整式加减的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 12．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【考点】整式的加减 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为（a+2b），大长方形的宽为（2b+CD），AB＝a﹣CD，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得AB＝a﹣CD＝6厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6﹣6）＝2（2a+4b﹣12）厘米，图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米，即可求解． 【解答】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图可知：大长方形的长为（a+2b）厘米，宽为（2b+CD）厘米，AB＝a﹣CD， 由条件可知（a+2b）﹣（2b+CD）＝6，大长方形的宽为（a+2b﹣6）厘米， ∴AB＝a﹣CD＝6厘米， ∴阴影部分的周长为2（2a+4b﹣12）厘米， 图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米， ∵2（2a+4b﹣6）﹣2（2a+4b﹣12）＝12厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到AB＝a﹣CD＝6厘米是解题的关键． 13．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当m＝5，n＝2时，大长方形的面积为 　　 ； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：　　 ；阴影A的面积：　　 ；阴影B的周长 　　 ； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【考点】列代数式；整式的加减 【解答】（1）130； （2）m+4n；10m﹣3mn；20+8n﹣2m； （3）40+2n． 【分析】（1）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可； （2）分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形面积公式得出阴影A的面积，长方形的周长公式阴影B的周长； （3）求出阴影A的周长，再求出阴影A和阴影B的周长和即可． 【详解】（1）解：大长方形的面积为10×（5+2×4）＝130， 故答案为：130； （2）大长方形的长为m+4n， 阴影A的面积为10m﹣3mn， 阴影B的周长4n×2+2（10﹣m）＝8n+20﹣2m， 故答案为：m+4n，10m﹣3mn，8n+20﹣2m； （3）解：阴影A的周长为2m+2（10﹣3n）＝2m+20﹣6n， ∴和为2m+20﹣6n+8n+20﹣2m＝40+2n， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 14．甲、乙两家商店出售同样牌子和规格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定价300元，每盒羽毛球定价40元，为庆祝五一节，两家商店开展促销活动如下： 甲商店：所有商品9折优惠； 乙商店：每买1副球拍赠送1盒羽毛球． 某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）． （1）按上述的促销方式，该校羽毛球队在甲、乙两家商店各应花费多少元？试用含a、b的代数式表示； （2）当a＝10，b＝20时，试判断分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球，哪家便宜？ （3）当a、b满足什么关系时，到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球的费用相同？ 【考点】代数式求值；列代数式 【分析】（1）根据题意可以用代数式分别表示出校羽毛球队在甲、乙两家商店各应花费的钱数； （2）根据（1）中代数式，将a＝10，b＝20代入即可解答本题； （3）根据题意可以得到相应的等式，从而可以得到a、b满足什么条件到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球的费用相同． 【解答】解：（1）由题意可得， 在甲商店购买的费用为：（300a+40b）×0.9＝（270a+36b）（元）， 在乙商店购买的费用为：300a+40（b﹣a）＝（260a+40b）（元）； （2）当a＝10，b＝20时， 在甲商店购买的费用为：270×10+36×20＝3420（元）， 在乙商店购买的费用为：260×10+40×20＝3400（元）， ∵3420＞3400， ∴当a＝10，b＝25时，到乙商店购买球拍和羽毛球便宜； （3）由题意可得：（270a+36b）﹣（260a+40b）＝0， 解得：5a＝2b， 答：当a、b满足5a＝2b关系时，到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球的费用相同． 【点评】本题考查列代数式、代数式求值，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键． 15．某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同．甲的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费10元，每超过1千米则另外收费1.2元（不足1千米按1千米收费）；乙的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费8元，每超过1千米则另外收费1.7元（不足1千米按1千米收费）．某人到该市出差，需要乘坐的路程为x千米． （1）当x＝5时，请分别求出乘坐甲、乙两种出租车的费用； （2）若某人乘坐的路程大于3千米，试解答下列问题： ①计算此人分别乘坐甲、乙出租车所需要的费用（用含x的式子表示）； ②请帮他规划一下乘坐哪种车较合算？ 【考点】代数式求值；列代数式 【分析】（1）分别利用两种计费方式计算得出答案； （2）①根据题意直接得出代数式进而得出答案； ②利用①中代数式得出相等时x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当x＝5时， 乘坐甲出租车的费用＝10+（5﹣3）×1.2＝10+2.4＝12.4（元）， 乘坐乙出租车的费用＝8+（5﹣3）×1.7＝8+3.4＝11.4（元）， 答：乘坐甲、乙两种出租车的费用分别为12.4元，11.4元． （2）①乘坐甲出租车的费用为：10+1.2（x﹣3）， ＝（1.2x+6.4）元， 乘坐乙出租车的费用为：8+1.7（x﹣3） ＝（1.7x+2.9）元； ②∵此人乘坐的路程大于3千米， 若1.2x+6.4＝1.7x+2.9时， ∴x＝7， 则当x＝7时，他乘坐两种出租车所需要的费用一样多； 由（1）知，当他乘坐的路程在大于3千米而小于7千米时，坐乙出租车较为合算； 取x＝8，则乘坐甲出租车所需费用为：1.2×8+6.4＝16（元），乘坐乙出租车所需费用为： 1.7×8+2.9＝16.5（元），当他乘坐的路程大于7千米时，坐甲出租车较为合算． 故当他乘坐的路程在大于3千米而小于7千米时，坐乙出租车较为合算； 当他乘坐的路程为7千米时，坐两种出租车所需要的费用一样多；当他乘坐的路程大于7千米时，坐甲出租车较为合算． 【点评】此题主要考查了代数式求值，正确得出两种计费代数式是解题关键． 27 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $