精品解析：江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试卷

高二10月质量检测卷·数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 2. 过点，，的圆的圆心坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆过，这两个点，利用圆心在线段的垂直平分线上，得到圆心在直线上，此时设圆心的坐标为，利用半径相等，使用两点间距离公式，列出关于的等式，求解即可. 【详解】圆过点，， 圆心在直线上， 设圆心坐标为， 圆过点，， ， ， 圆心坐标为. 故选：B. 3. 过点，的直线l的倾斜角为，则实数m的值为（ ）． A. 或1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式求解. 【详解】由斜率公式可得， 即，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 故选：B 4. 已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与线段相交，则线段的两端点在直线的两侧或在直线上，即可列式求解. 【详解】因为直线与线段相交，所以， 解得. 故选：D. 5. 若直线与圆相交，则点（ ）． A. 与圆O的位置关系不确定 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 在圆O外 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离可得解. 【详解】由可知圆心为，半径， 因为直线与圆相交， 所以，即， 所以点在圆外. 故选：D 6. 四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为底面为平行四边形，所以，所以， 所以 . 故选：A 7. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的顶点坐标，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为，所以其重心为， 因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为， 则，即，解得，， ，故该三角形的欧拉线方程为，即. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）． A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 【答案】AD 【解析】 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 10. 以下四个命题中正确的是（ ）． A. 若为空间的一组基底，则构成空间的另一组基底 B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则平面 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AD，根据基底的概念、空间向量的共面定理及推论判断，对于B，根据空间向量证明线面关系判断，对于C，根据投影向量的计算公式可判断. 【详解】对于A，假设向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以不共面， 故构成空间的另一组基底，正确； 对于B，因为，，所以，即， 所以平面，正确； 对于C，因为向量，可得， 所以在上的投影向量为，错误； 对于D，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C， ， 因为，则P，A，B，C四点共面，正确. 故选：ABD 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）． A. B. 与夹角是 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以、、为基底，表示出、，利用空间向量法判断A、C，连接，根据，即可判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求出夹角的正弦值，即可判断D. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ，即，故A正确； 对于B，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，故B错误； 对于C， ， ，即，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则，即， 取，，，所以， 所以， ， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，，，利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意得， 所以， ， ， 所以. 故答案为： 13. 直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用已知圆心特征和垂直关系，即可求得圆的方程； （2）由弦心距的求解过程，即可得出结果. 【小问1详解】 ∵圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点 设圆心坐标为，则，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距， 故，解得， 所以直线方程为， 故的方程为或. 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知直线与直线，． （1）若，求m的值； （2）当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一般式下两直线平行的条件得到方程，解得的值，再代入检验； （2）求出与的交点，与的交点，从而求出的中点，即可得到为的中点，从而求出直线方程； 【小问1详解】 因为直线与直线且， 所以，解得或， 当时直线，直线，符合题意； 当时直线，直线，两直线重合，故舍去； 综上可得. 【小问2详解】 当时直线，直线， 由，解得，即与的交点为； 又，解得，即与的交点为； 又与的中点为， 不妨设在直线上，在直线上，则，即，故为的中点， 所以直线过点，又直线过点， 所以直线的方程为； 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，．求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）通过题中条件作，可以得到平面，又，得到，从而得到，以为原点建系，写坐标，用空间向量法求出直线与直线所成角的余弦值即可； （2）求出与平面的法向量，用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值即可； （3）假设在棱上存在一点P，设的坐标，求出平面和平面的法向量，利用这两个法向量垂直，列出方程求解即可. 【小问1详解】 作交的延长线于点，连接， 平面平面，平面平面， ，平面，平面， ，， ，，， ， 以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， ，，，， 设直线与直线所成角为，， 直线与直线所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，，，， ，， 设平面的法向量为， ，，取，，，， ，，设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 （3）假设在棱上存在一点P，使得平面平面， 设，在棱上存在一点P，， ，， ，， ，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则有，即，取，解得，，则， 平面平面，平面的法向量为， ， ， ， ，成立，假设成立， 在棱上存在一点P，使得平面平面. 19. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线上，且经过点，． （1）当时， （ⅰ）求圆C的方程； （ⅱ）若点圆C，求的最小值； （2）若直线上存在点M使得，求实数取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）设圆心坐标为，半径为，表示出方程，再由圆过、两点，代入方程，求出、，即可得解；（ⅱ）求出圆心坐标与半径，再求出圆心到原点的距离，即可得解； （2）设，根据求出点的轨迹方程，从而将问题转化为直线与圆有交点问题. 【小问1详解】 当时直线； （ⅰ）设圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为， 又，在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为； （ⅱ）由（ⅰ）可知圆心，半径，又， 所以； 【小问2详解】 设点，因为， 所以，即 整理得， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点M使得， 所以直线与圆有公共点， 所以，解得， 即实数取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月质量检测卷·数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 过点，，的圆的圆心坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 过点，的直线l的倾斜角为，则实数m的值为（ ）． A. 或1 B. 1 C. D. 4. 已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 5. 若直线与圆相交，则点（ ）． A. 与圆O的位置关系不确定 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 在圆O外 6. 四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，若，，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）． A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 10. 以下四个命题中正确的是（ ）． A. 若为空间的一组基底，则构成空间的另一组基底 B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则平面 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）． A. B. 与夹角是 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 13. 直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知直线与直线，． （1）若，求m的值； （2）当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，．求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线上，且经过点，． （1）当时， （ⅰ）求圆C的方程； （ⅱ）若点圆C，求的最小值； （2）若直线上存在点M使得，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $