3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆几何性质的综合应用，通过视频演示a,b值对椭圆形状的影响及光学性质，结合复习第1课时基础性质，搭建从性质认知到综合应用的学习支架。 资料以电影放映灯、桥梁桥塔等实际问题为情境，培养数学建模素养，通过分层例题与练习强化数学运算能力，提炼直接法、代数法等解题策略发展数学抽象思维，为师生提供系统教学资源，提升课堂实效。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册椭圆简单几何性质的第 2 课时，聚焦椭圆几何性质的综合应用.内容包括利用椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质求椭圆标准方程，结合已知条件确定参数 a、b、c 的值与符号；通过实例讲解椭圆离心率的求解方法及取值范围的应用，分析离心率对椭圆形状的影响；还涉及椭圆与直线位置关系的初步判断，运用几何性质解决相关距离、最值等实际问题，帮助学生深化对椭圆性质的理解，提升运用性质解决综合问题的能力，巩固解析几何的基本思想方法. 2.内容解析 本节课作为椭圆简单几何性质的第 2 课时，是对第 1 课时基础性质的深化与应用，承前启后衔接椭圆知识体系与解析几何综合解题能力.内容上以椭圆核心性质的实际运用为核心，一方面聚焦椭圆标准方程的求解，依托范围、对称性、顶点等性质，结合已知条件精准确定参数 a、b、c 的数值与符号，搭建性质与方程的关联桥梁；另一方面重点突破离心率的综合应用，不仅讲解其求解技巧，还深入分析其取值范围对椭圆扁平程度的影响，助力学生理解参数与图形特征的对应关系.此外，课程引入椭圆与直线位置关系的初步判断，通过距离、最值等实际问题，渗透解析几何数形结合的核心思想，既巩固了前期所学的基础性质，又培养了学生将几何问题转化为代数问题的解题思维，为后续学习圆锥曲线的综合应用奠定关键基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握椭圆几何性质的综合应用，能求标准方程、解离心率问题及初步判断与直线位置关系. 1.教学目标 （1）进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养． （2）会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养． （3）能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、切线等问题，培养数学运算的核心素养. 2.目标解析 （1）该目标聚焦椭圆方程与性质的深化应用，是对前序基础内容的巩固与提升.通过实际解题中对椭圆核心性质的灵活调用，帮助学生抽象出椭圆参数关系、图形特征与代数表达式的内在关联，逐步形成数学抽象思维，强化对解析几何本质的理解，落实核心素养培养. （2）此目标针对直线与椭圆位置关系的判断技能，要求学生掌握代数法等核心方法.在联立方程、计算判别式等过程中，锻炼精准运算、步骤规范的能力，将几何位置问题转化为代数运算问题，切实提升数学运算核心素养，为后续复杂问题解决铺垫基础. （3）该目标是前一目标的延伸，聚焦弦长、切线等具体问题的解决.需要学生熟练运用运算公式与技巧，结合直线和椭圆的位置关系原理，通过严谨的代数推理与计算得出结果，进一步深化数学运算核心素养，提升知识应用的实战能力. 学生在第 1 课时已掌握椭圆的标准方程、范围、对称性等基础几何性质，能初步运用性质解决简单问题，但对性质的综合应用能力较弱，参数 a、b、c 的关联转化不够熟练. 预估教学中会遇到三大困难： 一是难以精准结合已知条件，利用性质求椭圆标准方程； 二是对离心率的取值范围及与椭圆形状的关联理解不透彻； 三是联立直线与椭圆方程解决弦长、切线问题时，运算繁琐易出错，数形结合思维不足. 解决方法： 一是通过典型例题分层讲解，强化参数关系训练； 二是借助几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响； 三是整理运算技巧口诀，规范解题步骤，加强针对性练习. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：椭圆性质与方程的综合应用，离心率问题解析及直线与椭圆位置关系的运算求解. 1.视频引入：观看视频，体验a,b值变化对椭圆扁平程度的影响，以及椭圆中的光学性质演示. 2.复习回顾，引入新知 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 师生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 设计意图：通过视频直观呈现参数影响与光学性质，结合复习巩固旧知，激发兴趣，搭建新旧知识桥梁，为新课综合应用学习铺垫. 教学建议：视频播放后预留提问互动时间，复习环节针对性抽查薄弱点，及时纠错补漏，确保学生扎实掌握基础，顺利衔接新知. 例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到） 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为． 在中， 由椭圆的性质知，，所以 所以，所求椭圆的方程为： 方法总结：椭圆有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程； (2) 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 牛刀小试： 练1：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为， 且，所以，所以， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm. 故选：A． 设计意图：通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法.发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养. 例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图3.1-12，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 即 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 方法总结：直接法求轨迹方程 （1）设动点：设所求动点坐标为(x,y) （2）符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来 （3）标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理 牛刀小试： 练2：点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设点到直线l的距离为d，依题意，， 于是，化简得，即. 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图 椭圆第二定义: 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线. 由定义可知： 动点到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即; 动点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即. 例7 如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点? 师生：共同分析，直线与椭圆的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由方程组 消去，得 ① 方程①的根的判别式： 由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点. 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点. 由，得或．此时方程①没有的实数根，直线与椭圆没有公共点. 方法总结：代数法判断直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离 1、联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程； 2、计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值 3、下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△<0 直线与椭圆相离. 牛刀小试： 练3：已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：（1）联立消去y得，， ， 若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点，则， 解得， 即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时，的取值范围为. （2）若直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为. （3）若直线l与椭圆C没有公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C没有公共点时,的取值范围为. 两个重要结论： 1. 过圆上一点的切线方程为； 过圆上一点的切线方程为 2、过椭圆上一点的切线方程为：. 题型一：求共焦点的椭圆方程 例题 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 预设：椭圆可化为，可知椭圆的焦点在y轴上， 焦点坐标为，故可设所求椭圆方程，则， 又，即，所以，所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 题型二：直线与椭圆位置关系的判断 例题 直线与椭圆的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 预设：由消去y并整理得， 显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 题型三：椭圆的切线问题 例题 已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切，则直线l的方程为 ． 预设：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，， 由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程， 整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为： 方法归纳总结：求椭圆切线方程的方法： ① 已知点在椭圆外 令直线方程为 将直线方程与椭圆方程联立，消元的一元二次方程 利用建立关于的方程，解方程得的值，即可得解. ② 已知点在椭圆上 椭圆切线方程为： 题型四：椭圆的实际应用问题 例题 （1） 韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 预设：如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得，所以，所以， 所以． 故选：D． （2） 我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 预设：设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得，此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 1．（高二·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 预设：由化简可得，焦点为在轴上，同时又过点， 设，有，解得， 故选：C 2．（22-23高二上·浙江宁波·期末 改编）已知椭圆，O是坐标原点，P是椭圆Q上的动点，若P的坐标为，则过P的Q的切线方程为________________ 预设：显然过P处切线的斜率存在，设为，则切线方程为， 联立方程，消去y得， 则， 整理得，解得 故过P处切线方程为：，即 3．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为__________ 预设：由已知得，设椭圆方程为，则，，所以该椭圆离心率为. 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为 . 预设：由题意可知，椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 故当两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时，如图： 此时，两切线垂直，交点M在“蒙日圆”上， 由椭圆可知， 故“蒙日圆”的半径为， 故答案为：3 5．（23-24高二上·河南·阶段练习）虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 预设：由已知可得，，即，， 所以离心率，故选：C. 作业1：完成教材：第114页 练习1,2 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第2课时》  3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） 1. 常见四大应用： ① 椭圆与反光镜的设计原理 ② 椭圆与声音探测问题 ③ 椭圆与桥梁问题 ④ 椭圆与星体运行轨道问题 2. 直线与椭圆的位置关系：代数法 3. 切线问题 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课聚焦椭圆几何性质的综合应用，整体达成预设教学目标，但仍有提升空间.教学中通过视频引入和复习回顾，有效调动了学生积极性，帮助其衔接新旧知识.在椭圆方程求解和离心率问题讲解时，借助例题分层教学，多数学生能掌握核心方法.但在直线与椭圆位置关系的运算环节，部分学生因运算繁琐出现错误，且数形结合思维运用不灵活.后续需优化教学，增加针对性运算练习，整理解题技巧手册；同时设计更多互动探究活动，引导学生主动建立几何与代数的联系，关注学困生的课堂反馈，及时调整教学节奏，进一步提升学生知识应用能力和核心素养培养的实效性. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $