3.1.2 椭圆的简单几何性质（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1 椭圆的几何性质 1．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（多选）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 3．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 4．（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 知识点2 求椭圆的离心率 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 . 9．已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为 . 知识点3 点与椭圆的位置关系 10．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点4 直线与椭圆的位置关系 12．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 14．直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 15．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 知识点5 椭圆的弦长问题 16．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为 ． 18．若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 19．已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 20．已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 知识点6 椭圆的中点弦问题 21．已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为 ． 22．已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 23．已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 24．设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 知识点7 椭圆的实际应用 25．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 26．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示） 27．在大西北的荒漠上，，两地相距2，正准备在荒漠上围成一片以为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8． (1)农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点，且与成角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长? 28．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）． 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 4．已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 6．已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 7．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 8．在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 1．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 2．已知点都在椭圆上，分别过两个焦点，当时，有成立．当时，设，．则的值为 ． 3．（多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 4．已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1 椭圆的几何性质 1．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 2．（多选）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 【答案】AB 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 3．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为. 故答案为：. 4．（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 知识点2 求椭圆的离心率 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接、，是的内心， 则、分别是和的角平分线，为的角平分线，    可得， 由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：A． 6．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 7．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 8．已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【详解】    如图，由，得， 由知P，，Q三点共线. 设，则，所以. 由椭圆的对称性知，， 由椭圆的定义知，. 因为，所以， 整理得，解得或（舍去）， 则，，所以. 在中，， 即， 则，所以. 故答案为： 9．已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设焦点在轴上，故，的坐标分别为，， 因为三角形是等边三角形，所以两点关于轴对称，所以， 因为三角形的重心为，所以，所以， 又，所以， 所以，所以，， 所以，所以. 故答案为：. 知识点3 点与椭圆的位置关系 10．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 11．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 知识点4 直线与椭圆的位置关系 12．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 13．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 14．直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个. 故选：C. 15．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 知识点5 椭圆的弦长问题 16．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 17．已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为 ． 【答案】/ 【详解】由消去，得，解得， 所以. 故答案为： 18．若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】 【详解】直线与椭圆交于，两点，， 则，点在椭圆上可得，即得， 所以的离心率为. 故答案为：. 19．已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设且，则，故， 所以. （2）联立直线与椭圆，可得，显然， 所以，，故， 而到的距离， 所以的面积为. 20．已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 知识点6 椭圆的中点弦问题 21．已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得， 设直线的参数方程为（为参数），由中点的坐标为，所以， 代入椭圆方程整理得． 根据题意可得，即． 又，所以椭圆的方程为． 故答案为：. 22．已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，且椭圆的上顶点为，则椭圆的方程为 【答案】 【详解】 如图设，则， 由整理可得，（*）， 因为弦的中点，且直线的斜率为， 则， 则由（*）可得，，即， 由题意，，则，故椭圆的方程为. 故答案为：. 23．已知、为椭圆上的两个点，且直线的方程为，则中点与原点连线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】设点，，中点， 则，， 又点、为椭圆上的两个点， 则， 两式做差可得， 即， 代入，，则， 即， 又直线的方程为， 即， 所以， 故答案为：. 24．设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    知识点7 椭圆的实际应用 25．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 26．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示） 【答案】 【详解】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故， 所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为. 故答案为： 27．在大西北的荒漠上，，两地相距2，正准备在荒漠上围成一片以为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8． (1)农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点，且与成角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长? 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意知平行四边形相邻两边长之和为4，另两个端点，在以，为焦点的椭圆上． 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为()． 因为(点在短轴端点)， 所以农艺园的最大面积为2 ． （2）由题可知，直线型水沟的方程是=+1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长． 把直线方程代入椭圆方程，得． 设两交点的坐标为，则 所以弦长为． 所以暂时不加固的部分长为． 28．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以，，， 于是椭圆的方程为． （2）易知，． 因为，， 所以，． 设，则，解得 所以点的坐标为或． 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 2．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 3．灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 【答案】B 【详解】设轴截面椭圆的方程为，由题意可知，，则． 记在距离最大横截面6cm处的横截面圆的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得， 所以该灯笼的高为． 故选：B. 4．已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的中点坐标为，直线的垂直平分线为直线， ①当时，，符合题意； ②当时，因为，而，则， 所以，即， 因为点在直线上，故，可得， 又因为点在椭圆内，故，解得且； 综上，. 故选：B 5．（多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 6．已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【答案】 【详解】由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点， 显然点在椭圆的蒙日圆上，因此， 所以椭圆的蒙日圆方程为． 故答案为： 7．在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以. 故答案为： 8．在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 1．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 2．已知点都在椭圆上，分别过两个焦点，当时，有成立．当时，设，．则的值为 ． 【答案】6 【详解】当时，，可得． 由椭圆定义，得，即，． 在中，． 则椭圆方程化为，即． 焦点，，当时，设，，． 则直线的方程为， 代入椭圆方程得， 即，则，所以． 同理可得，所以． 故答案为：6 3．（多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得， 即，故A正确； 对于B，由题意可得，，，， 所以椭圆方程为，故B错误； 对于C，设直线， 联立，可得，从而， 则，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则， 联立，可得，所以，，，则， 由，可得，， 联立，解得，所以当直线的斜率时，点落在轴上，故D正确. 故选：ACD.    4．已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由离心率，得，所以C的方程化为：， 将点代入C的方程得，解得，所以C的方程为． （2）由（1）得，则的方程为， 设，，AB的中点为， 联立消去得， 则，所以， 所以， 因为ON与AB互相平分，则四边形OANB为平行四边形，有， 所以，又N在C上，所以，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $