精品解析：湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 4. 用配方法解方在，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值是（ ） A. 3或 B. 或2 C. 3 D. 10. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：① ；②；③；④当（）时，；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的方程有一个根为，则该方程的另一个根为___________． 12. 若抛物线经过和两点，则______． 13. 若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________． 14. 某中学计划在一个长为，宽为 的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为 ，则根据题意可列方程为_____． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则 _________． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用合适的方法解一元二次方程 （1）； （2） （3）． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 18. 如图，抛物线和直线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象，写出当x取何值时，． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的一边长 ，另两边、 恰好是这个方程的两个根，求的值． 20. 已知为二次函数； （1）求值； （2）当为何值时，图像顶点在轴上． 21. 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员乙站在距离球门 处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？ 22. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断 是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接 ，点D是线段 上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意； C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意； D．该函数的对称轴为直线 ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 4. 用配方法解方在，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 根据配方法解题步骤：先移项、把二次项系数化为1，然后利用完全平方公式配方，即可作出判断． 【详解】解：， 方程移项得， 配方得，即． 故选：D． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．二次函数图象的平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 6. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数的图像即可求出、的取值范围，进而可大致判断二次函数的图象，即可解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，，， 二次函数的开口向下，顶点坐标在轴的负半轴上， 故选：B． 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴和关于对称轴对称 ∴ 时，y随x增大而减小， ∵ ∴ 故选：D． 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每月的增长率为，依题意得： ， 故选：D． 9. 已知，则的值是（ ） A. 3或 B. 或2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意． 10. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：① ；②；③；④当（）时，；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得， ，，根据函数图象可知，对称轴，可得 ，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得 ， ，得到，进行判断，即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴ ，， ∵对称轴在轴和直线 之间， ∴， ∴， ∴ ，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当 时， ，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线 之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的方程有一个根为，则该方程的另一个根为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设另一个根的值为a， 根据根与系数的关系得：， 解得 ， 即方程的另一个根为1． 故答案为：1． 12. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线 ，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 13. 若二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和x轴交点问题，解决此题的关键是把二次函数转化成一元二次方程，并注意二次项系数不能为0． 【详解】解：令，可得 ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且 解得：且． 故答案为：且． 14. 某中学计划在一个长为，宽为 的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为 ，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据平移的性质可得种植花草的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线 ， 当时，在内， 当 时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当 时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用合适的方法解一元二次方程 （1）； （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用直接开平方的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得， ． ， ． 18. 如图，抛物线和直线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】（1）A的坐标是，点B的坐标是 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； 【小问2详解】 解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的一边长 ，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）当腰长为4时，则是关于的方程的一个实数根，当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∴无论取何值，这个方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当腰长为4时，则是关于的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴此时原方程为， 解得或， ∴此时等腰三角形的三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴此时原方程为， 解得， ∴此时等腰三角形的三边长分别为4，2，2， ∵ ， ∴此时不能构成三角形，不符合题意 综上所述，． 20. 已知为二次函数； （1）求值； （2）当为何值时，图像顶点在轴上． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图像与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求可得函数解析式为，利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，再根据在x轴上的点的纵坐标为0建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵为二次函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， ∴顶点的纵坐标为， ∵图像顶点在轴上， ∴， 解得． 21. 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员乙站在距离球门 处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？ 【答案】（1） （2）足球能射进球门 （3）他至少后退，才能阻止球员甲的射门 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用． （1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是，利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求出当时，抛物线的函数值，与进行比较即可判断，即可得出答案； （3）求出当时抛物线的函数值，与进行比较即可判断，即可判断守门员乙的阻止情况；当时，求出对应自变量值，求出此时守门员甲站立位置，再用2减去即可． 【小问1详解】 抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把代入，得， 解得， 则抛物线解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 故：能射进球门； 答：足球能射进球门． 【小问3详解】 当时，， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门， 当时，， 解得：（舍去）， ∴， 答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门． 22. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，直接写出销售单价的取值范围． 【答案】（1）， （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据题意得到，再利用图象法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 即； ∵， ∴ ， ∴自变量的取值范围； 【小问2详解】 解：对于函数 ∵， 当 时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 【小问3详解】 解：， 解方程 得：，． 当时，． ∵ 当时，． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断 是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】（1）是“3倍根方程” （2）50或 （3）17或 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程 ，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【小问1详解】 解（1）∵ ， ∴解得． ∵， ∴ 是“3倍根方程”． 【小问2详解】 ∵， 解得 ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． 【小问3详解】 ∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为 ，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为 ， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $