专题02 图形的相似（压轴题专项训练）数学苏科版九年级下册

专题02 图形的相似 目录 典例详解 类型一、相似中的最值 类型二、相似中的辅助线 类型三、相似中的比值 类型四、相似中的特殊三角形 类型五、相似中的特殊四边形 类型六、相似中的圆 类型七、相似中的二次函数 类型八、相似中的动点求t 类型九、相似中的无刻度尺作图 类型十、相似中的新定义 类型一 、相似中的最值 一、核心知识点 （一）相似三角形判定与性质 八字模型（A型、X型）：通过角相等或边成比例证明相似，对应边成比例是转化线段关系的关键。例如，大正方形边长8与小正方形边长3的滑动问题中，通过八字型相似将三角形面积转化为关于滑动距离x的函数。 一线三等角模型：当出现三个角相等时，可构造相似三角形。如正方形动点问题中，利用垂直关系证明三角形相似，进而建立线段比例式。 旋转相似模型：通过旋转将非相似三角形转化为相似关系，常见于等腰直角三角形或含特殊角的三角形。例如，含30°角的直角三角形旋转后形成相似三角形，第三边夹角符合旋转“8字”规律。 （二）最值问题分类与解法 线段最值：利用相似将动态线段转化为函数表达式，通过二次函数顶点式或几何性质求解。例如，抛物线上动点到直线的距离最值问题，可通过平移法构造唯一交点求解。 面积最值：将面积表达式转化为关于动态变量的函数，结合自变量取值范围求解。如两个正方形滑动问题中，三角形面积被拆分为两个小三角形面积之和，再通过相似关系建立函数模型。 比例最值：利用相似三角形对应边成比例的性质，将比例问题转化为线段最值问题。例如，面积比S1:S2+S2:S3的最值问题，通过相似三角形将比例转化为定线段（OB）与动线段（PD）的比值，最终归结为PD的最大值求解。 二、典型方法 （一）函数建模法 步骤： 1、设动态变量（如滑动距离x、动点坐标等）； 2、利用相似关系建立目标量（面积、线段长度等）关于变量的函数表达式； 3、结合自变量取值范围（如小正方形滑动范围0≤x≤5），通过二次函数性质或配方法求最值。 示例：正方形边长为4的动点问题中，通过一线三等角模型证明三角形相似，建立y关于x的二次函数，配方后得出最大值。 （二）几何构造法 步骤： 1、通过平移、旋转或对称构造辅助图形； 2、利用相似三角形或全等三角形转化线段关系； 3、结合几何性质（如垂线段最短、两点间线段最短）直接求解最值。 示例：矩形ABCD中，通过延长BA至点M使AM=AB，构造M、E、H共线，利用圆的性质确定点H轨迹，当C、H、A共线时CH取最小值。 （三）数形结合法 步骤： 1、绘制动态图形，观察变量变化趋势； 2、结合函数图像（如抛物线开口方向）判断最值存在性； 3、通过几何性质验证代数结果。 示例：抛物线上的动点到直线距离最值问题中，通过平移直线与抛物线相切的条件确定最值点，再结合几何图形验证结果。 例1．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 变式1-1．如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 变式1-2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 变式1-3.如图，矩形中，，，点在边上且，点是矩形内一动点，满足，连接，将绕点逆时针旋转并延长至，使，连接，则的最小值为 ． 类型二、相似中的辅助线 一、核心知识点 相似三角形的判定条件：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）。 辅助线的作用：构造相似三角形、转移比例关系、集中已知条件、补全图形结构。 经典相似模型：A型（公共角）、X型（对顶角）、一线三垂直（K型）、旋转相似、半角模型。 二、辅助线类型与方法 平行线构造法 适用场景：已知中点、比例线段、平行关系。 操作要点： 过中点作平行线构造A型相似（例：过BC中点D作DE平行AC，则△BDE∽△BAC）。 过比例分点作平行线转移比例（例：BD:DC=2:1时，过D作DE平行AC，则BE:EF=5:1）。 利用平行线性质（同位角、内错角）转移角度。 角平分线构造法 适用场景：已知角平分线或需证明角相等。 操作要点： 过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形（例：AD平分∠BAC，过D作DE平行AB，则AE=DE）。 结合角平分线性质（到两边距离相等）构造全等或相似。 中线倍长法 适用场景：已知中线或需构造全等三角形。 操作要点： 倍长中线构造全等（例：延长AD至E使DE=AD，则△ADC≌△EDB）。 取两腰中点构造中位线（例：EF为△ABC中位线，则△AEF∽△ABC，相似比1:2）。 旋转构造法 适用场景：夹角相等且夹边成比例。 操作要点： 旋转一个三角形使对应边重合，构造旋转相似（例：△ABC绕点A旋转至△ADE，若∠BAC=∠DAE且AB:AD=AC:AE，则△ABC∽△ADE）。 一线三垂直（K型）构造法 适用场景：构造直角三角形相似。 操作要点： 作高线或垂直线形成三个直角三角形（例：在△ABC中作AD⊥BC，则△ABD∽△CAD∽△CBA）。 半角模型构造法 适用场景：存在半角关系（如∠EAF=∠BAD/2）。 操作要点： 通过点叉标注等角数量关系，结合旋转或对称构造相似（例：在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD中点，则△AEF∽△ABF）。 补形法 适用场景：图形残缺或不完整。 操作要点： 延长梯形两腰交于一点补成三角形（例：梯形ABCD中AD∥BC，延长BA、CD交于O，则△OAD∽△OBC）。 利用对称性补全图形（例：将等腰三角形沿高翻折构造全等）。 例2．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 变式2-1．如图，在中，，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2-2.在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 变式2-3.如图，已知是的中线，，则 ． 类型三、相似中的比值 一、核心知识点 （一）相似图形基本性质 1、定义特征：相似图形需满足对应角相等、对应边成比例。相似比k为对应边长度比值，当k=1时图形全等。 2、几何量关系： （1）周长比等于相似比k （2）面积比等于k² （3）对应高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径等线段比均等于k 3、位似图形特性： （1）对应点连线交于位似中心O （2）对应边平行或共线 （3）距离比满足OP'/OP=k（P'为P的对应点） （4）可作两个关于O对称的位似图形 （二）相似三角形判定体系 1、基础判定： （1）两角对应相等（AA） （2）两边成比例且夹角相等（SAS） （3）三边成比例（SSS） 2、特殊判定： （1）平行线截取：平行于三角形一边的直线构成的三角形与原三角形相似 （2）直角三角形：斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 3、动态判定： （1）旋转相似：通过旋转构造相似图形 （2）黄金分割：当AC/AB=BC/AC=(√5-1)/2时构成黄金分割 二、关键解题方法 （一）比值计算策略 1、直接比例法： （1）设相似比k=AB/A'B' （2）根据线段关系建立方程：如AD/AB=AE/AC=k （3）结合已知条件求解：当AD=2cm，AB=5cm时，k=0.4 2、桥梁纽带法： （1）构造中间量：通过中位线、平行线等建立比例关系 （2）比例转换：如EF/BC=AE/AB=AD/AC （3）等比传递：利用相似三角形对应边比例相等特性 （二）典型模型应用 1、A字型模型： （1）特征：两条平行线被斜线所截 （2）比例关系：AE/AD=AF/AB=EF/DB （3）应用场景：测量不可达物体高度 2、8字型模型： （1）特征：相交直线构成对顶角 （2）比例关系：AE/CE=BE/DE （3）应用场景：杠杆原理、光学反射 3、子母型模型： （1）特征：大三角形包含相似小三角形 （2）比例关系：DE/BC=AD/AB=AE/AC （3）应用场景：地图比例尺换算 例3．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 变式3-1．如图，在中，在上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2.如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ． 变式3-3.如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 类型四、相似中的特殊三角形 一、特殊三角形与相似性的关联 （一）等腰三角形 性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角），顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一。 判定定理：两角相等或两边相等可判定为等腰三角形。 相似应用：等腰三角形通过旋转、翻折产生相似结构，需构造辅助线证明。例如将△ABC绕点A旋转α度后得到△ADE，若旋转中心角相等，则△ABD∽△ACE。 （二）等边三角形 性质：各角均为60°，三边相等。 判定：三边相等、三角相等或有一个角为60°的等腰三角形可判定为等边三角形。 相似应用：底角72°的等腰三角形中，底边与腰长比为黄金分割比（(√5-1)/2），其相似性可用于艺术构图分析。 （三）直角三角形 性质：两锐角互余，斜边中线等于斜边一半，30°角所对直角边等于斜边一半。 判定：勾股定理及其逆定理、HL定理（斜边与直角边对应成比例）。 相似应用： 1、斜边高线分割：Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ACD∽△ABC∽△CBD。 2、HL相似判定：斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 3、射影定理：CD²=AD×BD，用于测量不可达距离。 二、相似三角形的核心判定方法 （一）基础判定定理 1、AA（角角）：两角对应相等即相似。 2、SAS（边角边）：两边对应成比例且夹角相等即相似。 3、SSS（边边边）：三边对应成比例即相似。 （二）特殊判定方法 1、平行线截取：DE∥BC时，△ADE∽△ABC（A型或X型）。 2、位似变换：对应点连线交于位似中心，位似比等于相似比。 3、一线三等角：共顶点的三个等角分布在直线两侧时形成相似三角形。 三、相似三角形的高频解题模型 （一）平行线型模型 A型：同侧平行线截取相似三角形，如DE∥BC时△ADE∽△ABC。 X型：交叉平行线截取相似三角形，需注意对应顶点顺序。 （二）旋转型模型 通过旋转构造相似三角形，需证明旋转中心角相等或对应边成比例。 （三）双垂直型模型 直角三角形斜边高线分割出两个与原三角形相似的小三角形。 （四）位似型模型 位似变换产生的相似图形，对应点连线交于位似中心，常用于地图缩放、光学成像等问题。 （五）一线三等角模型 共顶点的三个等角分布在直线两侧时形成相似三角形，需注意角度顺序与边的对应关系。 四、相似三角形的关键解题技巧 （一）三点定形法 通过比例式中的三个端点确定相似三角形，横找竖找定相似。 （二）等量过渡法 当三点定形法无法解决时，用等线段代换或等比代换构造相似三角形。 （三）面积法 利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。 （四）辅助线构造 1、作平行线：构造A型或X型相似三角形。 2、作延长线：延长线段构造相似三角形。 3、作高线：利用直角三角形性质构造相似三角形。 （五）比例式与等积式转化 遇等积化比例，横找竖找定相似；不相似时用等线等比代替。 五、特殊三角形的综合应用 （一）等腰三角形中的相似问题 利用旋转、翻折构造相似三角形，结合三线合一性质求解。 （二）等边三角形中的黄金分割 底角72°的等腰三角形中，底边与腰长比为黄金分割比，可用于艺术构图分析。 （三）直角三角形中的测量问题 利用射影定理（CD²=AD×BD）或HL相似判定测量不可达距离。 （四）动态相似问题 通过引入动点或函数关系，考察相似比的变化规律。例如抛物线上的动点P使△PAB始终与△PCD相似，需建立比例方程求解。 例4．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2.如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 变式4-3.如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 类型五、相似中的特殊四边形 一、特殊四边形的基本判定条件 平行四边形判定需满足一组对边平行且相等，或对角线互相平分；矩形需在平行四边形基础上增加一个直角或对角线相等的条件；菱形需满足邻边相等或对角线垂直；正方形需同时满足四边相等、四角为直角，或通过矩形叠加邻边相等条件推导。等腰梯形判定需满足两腰相等且底角相等。 二、特殊四边形相似的判定方法 （一）一般判定原则 两个四边形相似的核心条件为对应角相等且对应边成比例。对于一般四边形，需验证四个角分别相等，且四组对应边比例一致。特殊情况下，若三个角对应相等且有一组邻边成比例，或四条边成比例且有一个角对应相等，也可判定相似。 （二）特殊四边形的简化判定 平行四边形：邻边比例相等且夹角相等即可判定相似。例如，两个平行四边形若对应边AB/A'B'=BC/B'C'，且∠A=∠A'，则相似。 矩形：所有角均为直角，只需验证邻边比例相等即可。例如，矩形ABCD与A'B'C'D'中，AB/A'B'=BC/B'C'，则两矩形相似。 菱形：四条边相等，只需验证一个角对应相等即可。例如，菱形ABCD与A'B'C'D'中，∠A=∠A'，则两菱形相似。 正方形：兼具矩形与菱形的特性，四边相等且四角为直角，只需验证边长比例相等即可。 三、相似四边形的构造方法 （一）对角线分割法 任意四边形可被一条对角线分割为两个三角形。若两四边形对应分割后的三角形均相似，则原四边形相似。例如，四边形ABCD与A'B'C'D'中，△ABC∽△A'B'C'且△ACD∽△A'C'D'，则ABCD∽A'B'C'D'。 （二）中点四边形法 任意四边形的中点四边形为平行四边形。若原四边形为菱形，则中点四边形为矩形；若原四边形为正方形，则中点四边形仍为正方形。此性质可用于反向推导原四边形的相似性。 （三）几何模型辅助法 对角互补模型：若四边形中一对对角互补（和为180°），可通过构造垂线或延长边形成全等三角形，进而推导相似性。例如，过互补对角顶点作垂线后，可能形成相似三角形比例关系。 十字架模型：正方形内部若存在两条垂直连线（如顶点到对边某点），则由此构成的直角三角形全等，并可能生成相似四边形。例如，正方形ABCD内连线AE与BF垂直，则四边形AEBF与另一相似四边形比例一致。 四、相似四边形的实际应用 （一）比例作图法 给定已知四边形与目标边长，可逐次构造相似三角形实现缩放。例如，先作△A'B'C'∽△ABC使A'B'=目标边长a，再依据对应比例完成剩余点D'，最终生成相似四边形A'B'C'D'。 （二）圆的切线构造法 两圆外切于点P时，由切点及公切线构成的四边形可通过证明对应三角形相似（如△PAB∽△PA'B'），推导对应边比例相等与对应角相等，最终得到四边形相似。 （三）中点四边形性质应用 通过分析原四边形与中点四边形的边角关系，可快速判断相似性。例如，若原四边形为矩形，则中点四边形为菱形；若原四边形为正方形，则中点四边形仍为正方形，且边长比例为1:2。 例5．平行四边形的对角线和交于O点，点E在的延长线上，连接交于F点，若，，，则（    ）． A．10 B．12 C． D．15 变式5-1．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2.如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则 ． 变式5-3.数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 类型六、相似中的圆 一、核心知识点 （一）相似图形基础 形状相同的图形称为相似图形，对应角相等且对应边成比例。例如等边三角形因三内角均为60度且边长比例恒定，故所有等边三角形均相似。比例线段满足交叉相乘相等（ad=bc），相似比是对应边长度的比值。 （二）相似三角形判定 判定条件包含：两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。相似三角形对应高、中线、角平分线的比值均等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （三）圆的几何性质 圆是到定点距离等于定长的点的集合，具有轴对称性（任意直径为对称轴）、中心对称性（圆心为对称中心）和旋转不变性。垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦及所对弧，推论表明平分非直径弦的直径必垂直于该弦。 （四）圆中角的关系 同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，半圆所对的圆周角为直角。在同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等弧和弦，相等的弦对应相等圆心角和弧。 （五）圆与直线的位置关系 根据圆心到直线的距离d与半径r的关系判定：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。切线判定定理要求直线过半径外端且垂直于该半径。 二、典型解题方法 （一）构造相似三角形 利用直径所对圆周角为直角的性质，构造直角三角形相似。例如直径AB与弦CD垂直时，可证明△ACD∽△CBD，得到AC²=AD·AB等比例关系。 （二）应用圆幂定理 通过切割线定理（AC²=AD·AB）和相交弦定理（AD·DB=CD·DE）建立线段乘积关系。例如已知弦长和切割线段时，可直接套用定理求解。 （三）位似变换应用 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比。通过确定位似中心和比例，可实现图形的放大缩小，常用于几何证明中的比例转换。 （四）正多边形与圆的关系 将圆n等分连接分点得到内接正n边形，其边长a=2Rsin，面积S=1/2·n·a·r（r为边心距）。例如正六边形边长等于外接圆半径。 （五）综合题型策略 圆中相似问题常结合直角三角形性质，通过"两组角相等"或"边角比例"证明相似。解题步骤为：1.标记已知角和线段；2.寻找相等角或比例边；3.构造相似三角形；4.应用比例关系求解。 例6．如图，已知 是的外接圆上一点，于点，交圆于点，于点，与的延长线交于点，． (1)求证：； (2)连接，若是弧的中点，，，求线段， 的长． 变式6-1．已知如图，四边形，，以为直径的圆O交于点E，与相切于点C，连接． (1)求证； (2)若，，求． 变式6-2.如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 变式6-3.如图，四边形内接于圆，其中平分，交于点，为上一点，且平分，连接． (1)求证：． (2)若，设，，用含的代数式表示β． (3)若圆的半径为，，请直接写出四边形面积的最大值． 类型七、相似中的二次函数 一、核心知识点 （一）二次函数基础 二次函数一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），其图像为抛物线。关键性质包括： 开口方向由a决定（a>0开口向上，a<0开口向下） 对称轴为直线x=-b/(2a) 顶点坐标为 与x轴交点由方程ax²+bx+c=0的根确定，判别式Δ=b²-4ac决定交点数量 （二）相似三角形判定 主要判定方法： AA（两角对应相等） SAS（两边成比例且夹角相等） 特殊场景：直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个相似三角形 二、典型问题解决方法 （一）动点产生相似三角形 四步解题法： 设坐标：设动点M(x,y)，用函数式表示坐标 找等角：识别公共角、平行线对应角或特殊角（如45°、90°） 列比例：根据SAS或AA列出边长比例式，注意分类讨论对应边关系 解方程：联立二次函数方程与比例式求解 （二）几何构造策略 特殊模型应用： "A"型与"反A"型相似结构 直角三角形斜边高分割模型 参数化处理： 设动点坐标为参数 用距离公式表示边长（如PM=|at²+bt+c|） 利用三角函数或斜率确定角度关系 三、综合应用技巧 （一）数形结合 通过抛物线对称性简化计算： 对称点坐标关系（如M(x,y)与M'关于x=h对称） 利用顶点坐标优化计算过程 （二）分类讨论要点 角度对应关系： 已知角与动点角的位置关系（左侧/右侧） 特殊角度（如钝角135°与锐角45°的匹配） 边长比例方向： 注意线段长度的绝对值处理 验证解的有效性（如交点是否在定义域内） 例7．若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； (3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 变式7-1．已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 变式7-2.如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 变式7-3.已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的一个动点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点． (1)若、两点的横坐标分别为、4，求直线的函数关系式； (2)若，为的中点，且点，，求的值； (3)连接、，若，的面积为1，求点的坐标． 类型八、相似中的动点求t 知识点与方法： 一、核心知识点 （一）相似三角形判定定理 AA型：两角对应相等（例：∠A=∠D且∠B=∠E，则△ABC∽△DEF） SAS型：两边成比例且夹角相等（例：AB/DE=AC/DF且∠A=∠D） SSS型：三边成比例（例：AB/DE=BC/EF=AC/DF） 特殊判定：直角三角形中，一组锐角相等或斜边直角边成比例 （二）动点运动模型 匀速直线运动：路程=速度×时间（s=vt） 平行线分线段成比例：若DE∥BC，则AD/AB=AE/AC 角平分线性质：角平分线分对边成比例（例：∠BAC平分线交BC于D，则AB/AC=BD/DC） 二、解题方法体系 （一）分类讨论法 步骤： 1、分析动点运动轨迹（直线/折线/圆周） 2、确定相似符号"∽"的对应关系 3、分两种情况列比例方程： 情况一：对应顶点顺序一致（△ABC∽△DEF） 情况二：对应顶点顺序颠倒（△ABC∽△FED） 典型案例： 在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从A以2cm/s向B运动，动点Q从B以4cm/s向C运动。求当△PBQ∽△ABC时t的值。 解： BP=8-2t，BQ=4t 分两种情况： ① △PBQ∽△BAC → (8-2t)/8=4t/16 → t=2 ② △PBQ∽△BCA → (8-2t)/16=4t/8 → t=0.8 （二）参数方程法 步骤： 1、设运动时间为t 2、用含t的代数式表示线段长度（例：AP=2t，BQ=4t） 3、根据相似条件建立比例方程 4、解方程并检验解的合理性 关键技巧： 时间范围限制：确定动点运动的有效时间区间（例：0<t<4） 多解验证：检查方程解是否符合几何图形实际 （三）几何构造法 常用构造方式： 1、作平行线构造A型或8字型相似 2、作垂线构造直角三角形相似 3、利用角平分线构造等腰三角形 典型构造示例： 在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，动点E从A以1cm/s向B运动，动点F从B以3cm/s向C运动。求当△EBF与△FCG相似时t的值。 解： 构造思路： ① 过F作FG∥AB交CD于G ② 证明△EBF∽△FCG ③ 建立比例关系：EB/FG=BF/CG ④ 代入EB=10-t，BF=3t，FG=12，CG=12-3t ⑤ 解得t=2.8或t=1.2 三、易错点警示 （一）对应关系错误 常见错误： 1、误将非对应边列入比例 2、忽略相似符号的顺序性 3、在多解情况下遗漏解 防范措施： 1、标出对应顶点（如△ABC∽△DEF中A对D，B对E） 2、画辅助线明确对应关系 3、分类讨论时使用不同颜色标记 （二）时间范围错误 典型错误： 1、未考虑动点到达终点的时间限制 2、计算出的t值超出运动区间 检验方法： 1、计算动点到达终点的时间（t_max=路程/速度） 2、验证解是否满足0<t<t_max 四、实战训练建议 （一）基础训练 1、在△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，动点P从A以1cm/s向B运动，动点Q从B以2cm/s向C运动。求当△APQ与△ABC相似时t的值。 （二）进阶训练 2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，AB=5，动点E从A以1cm/s向D运动，动点F从B以2cm/s向C运动。过E作EG∥AB交BC于G，求当△EFG与△ABC相似时t的值。 （三）综合应用 3、在直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)，动点P从A沿y轴负方向以1单位/s运动，动点Q从B沿x轴正方向以2单位/s运动。求当△OPQ与△OAB相似时t的值，并求此时P、Q的坐标。 例8．如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (3)伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 变式8-1．如图，A，B两点的坐标分别是，，点P由点B出发沿方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题： (1)当时，求点P的坐标； (2)当与点A，Q，P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； (3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 变式8-2.如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当 t为何值时，？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻t，使得P、E、C三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)连接，是否存在时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式8-3.如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 类型九、相似中的无刻度尺作图 一、核心知识点 相似三角形的判定与性质是核心基础。相似三角形需满足对应角相等、对应边成比例，判定方法包括两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例，以及直角三角形斜边直角边成比例。其性质涵盖对应线段比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 无刻度直尺作图依赖几何公理与定理，如平行线分线段成比例定理指出两条直线被一组平行线所截时对应线段成比例；平行线传递性可通过已知线段与点的位置关系推导平行线方向；相似三角形性质能将长度关系转换为交点位置。特殊点定位需通过垂直平分线、角平分线等辅助线实现，例如利用平行四边形对角线互相平分或构造中位线确定中点。 二、基本构造方法 过格点作垂线可通过构造全等直角三角形实现：若线段AB为斜边，构造与AB边长相同的直角三角形，利用直角三角形全等性质使斜边垂直。例如已知AB为2和3的直角三角形斜边，过点P构造同样边长的直角三角形，连接对应点即可得垂线。 平行线构造需利用平行四边形性质：通过构造对边平行且相等的四边形，使指定线段与目标线段平行。例如过点P作AB平行线时，构造平行四边形PABQ即可实现。 线段等分包含中点与任意等分点构造。中点可通过平行四边形对角线平分或构造中位线确定；任意等分点则利用平行线截取成比例线段，或通过A形相似构造等分比例。例如作线段1/3处等分点时，通过平行线与原线段交点确定比例。 对称点构造需结合垂直与中位线性质：先作目标线段的垂线，再利用中位线截取等长线段确定对称点。例如过点P作AB对称点时，先作AB垂线，通过延长与中点构造实现对称。 角平分线构造可通过等腰三角形三线合一或构造菱形实现：若三角形ABD为等腰三角形，连接顶点与底边中点即可得角平分线。 三、灵活运用技巧 网格比值法适用于分割线段：将目标比例转换为网格单位，通过网格线交点确定分割点。例如作AP:BP=2:5时，将总长度分为7份，利用网格线定位2份与5份的交点。 面积比与线段比转换可解决面积平分问题：通过等高三角形面积比等于底边比的性质，将面积问题转化为线段比例问题。例如平分三角形面积时，找到中线交点即可实现。 位似图形构造需确定位似中心与比例：若两个图形对应点连线交于一点且对应边平行，则通过位似中心与比例可实现图形缩放。例如将三角形ABC按比例缩放至DEF时，确定位似中心后按比例连接对应点。 例9．图①、图②、图③均是正方形网格，△的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①网格中画出一个△，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图②的网格中作出与△相似的最小格点． (3)在图③中的边上找到一点，使． 变式9-1．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，经过的格点请加重加粗描画，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： (1)在图1中作的高，则_______． (2)在图2中作点E，使点E在边上，且； (3)在图3中，作点M，使点M、点C关于对称． 变式9-2.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，在上画点，使； (3)在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 变式9-3.如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中的值为___________； (2)在图2中作出边上的点E，使得； (3)在图3中作出边上的点不与点B重合,使得 类型十、相似中的新定义 一、相似图形的基本定义 相似图形的核心特征是形状相同但大小不一定相同，全等图形是相似图形的特殊情况。相似多边形的判定需满足两个条件：对应角相等且对应边的比相等，该比值称为相似比。相似比为1时，两个多边形全等。相似图形的性质包括对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的判定方法 判定方法一：平行线截取定理。平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定方法二：三边成比例定理。若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。 判定方法三：两边成比例且夹角相等定理。若两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。 判定方法四：两角相等定理。若两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似。 三、相似三角形的性质与应用 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径的比值均等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 应用场景包括测量物体高度、计算地图距离等实际问题。解题时需建立几何模型，将已知条件转化为几何关系，灵活运用判定方法和性质进行求解。 四、位似图形的定义与性质 位似图形是相似图形的特殊形式，需满足两个条件：每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行。位似中心是对应点连线的交点，位似比等于相似比。 位似图形的性质包括：对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应边平行或共线；位似变换可实现图形的放大或缩小；位似中心可任意选取，但位似图形会随位似中心的位置变化而变化；根据一个位似中心可作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，分别位于位似中心的两侧且关于位似中心对称。 五、相似图形的解题方法与策略 判定相似三角形时，需充分利用公共角、对顶角、公共边等隐含条件。寻找相似三角形的常用方法包括：通过作平行线构造相似三角形或成比例线段；利用图形特征（如公共边、公共角）寻找相似三角形；依据基本图形对图形进行分解或组合；通过作辅助线构造相似三角形。 解题时需灵活运用判定方法，根据题目条件选择合适的策略。例如，当题目给出两个角相等时，优先考虑两角相等定理；当题目给出两边及其夹角时，考虑两边成比例且夹角相等定理；当题目给出三边时，考虑三边成比例定理。 六、相似图形的常考模型 A字型模型：两个三角形共享一个顶点，形成类似字母“A”的图形。 8字型模型：两个三角形通过一对对顶角相连，形成类似数字“8”的图形。 三等角模型：三个角相等的三角形构成相似关系，常见于等腰三角形或直角三角形。 子母型模型：一个大三角形包含一个小三角形，且两者通过平行线或中点相连。 例10．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． (1)①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 (2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 变式10-1．新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 变式10-2.【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若， 则称点D是中边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是中边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3，是的内接三角形，点H在上，连接并延长交于点D．点H是中边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 变式10-3.如图1和图2，在单位长度为1的7×7的网格中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此四边形定义为“唯美四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“唯美角”． (1)请在图3中确定点D，使得四边形为不同于图1，图2的“唯美四边形”； (2)如图4，四边形为“唯美四边形”，；且为“唯美角”，连接．求证：平分； (3)如图5，四边形为“唯美四边形”，，且为“唯美角”，连接相交于点P．若．，求的长． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形的相似 目录 典例详解 类型一、相似中的最值 类型二、相似中的辅助线 类型三、相似中的比值 类型四、相似中的特殊三角形 类型五、相似中的特殊四边形 类型六、相似中的圆 类型七、相似中的二次函数 类型八、相似中的动点求t 类型九、相似中的无刻度尺作图 类型十、相似中的新定义 类型一 、相似中的最值 一、核心知识点 （一）相似三角形判定与性质 八字模型（A型、X型）：通过角相等或边成比例证明相似，对应边成比例是转化线段关系的关键。例如，大正方形边长8与小正方形边长3的滑动问题中，通过八字型相似将三角形面积转化为关于滑动距离x的函数。 一线三等角模型：当出现三个角相等时，可构造相似三角形。如正方形动点问题中，利用垂直关系证明三角形相似，进而建立线段比例式。 旋转相似模型：通过旋转将非相似三角形转化为相似关系，常见于等腰直角三角形或含特殊角的三角形。例如，含30°角的直角三角形旋转后形成相似三角形，第三边夹角符合旋转“8字”规律。 （二）最值问题分类与解法 线段最值：利用相似将动态线段转化为函数表达式，通过二次函数顶点式或几何性质求解。例如，抛物线上动点到直线的距离最值问题，可通过平移法构造唯一交点求解。 面积最值：将面积表达式转化为关于动态变量的函数，结合自变量取值范围求解。如两个正方形滑动问题中，三角形面积被拆分为两个小三角形面积之和，再通过相似关系建立函数模型。 比例最值：利用相似三角形对应边成比例的性质，将比例问题转化为线段最值问题。例如，面积比S1:S2+S2:S3的最值问题，通过相似三角形将比例转化为定线段（OB）与动线段（PD）的比值，最终归结为PD的最大值求解。 二、典型方法 （一）函数建模法 步骤： 1、设动态变量（如滑动距离x、动点坐标等）； 2、利用相似关系建立目标量（面积、线段长度等）关于变量的函数表达式； 3、结合自变量取值范围（如小正方形滑动范围0≤x≤5），通过二次函数性质或配方法求最值。 示例：正方形边长为4的动点问题中，通过一线三等角模型证明三角形相似，建立y关于x的二次函数，配方后得出最大值。 （二）几何构造法 步骤： 1、通过平移、旋转或对称构造辅助图形； 2、利用相似三角形或全等三角形转化线段关系； 3、结合几何性质（如垂线段最短、两点间线段最短）直接求解最值。 示例：矩形ABCD中，通过延长BA至点M使AM=AB，构造M、E、H共线，利用圆的性质确定点H轨迹，当C、H、A共线时CH取最小值。 （三）数形结合法 步骤： 1、绘制动态图形，观察变量变化趋势； 2、结合函数图像（如抛物线开口方向）判断最值存在性； 3、通过几何性质验证代数结果。 示例：抛物线上的动点到直线距离最值问题中，通过平移直线与抛物线相切的条件确定最值点，再结合几何图形验证结果。 例1．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 变式1-1．如图，在矩形中，，是边上任意一点，连接，F为中点，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，连接，则周长的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，证明以及四边形为正方形，并证明，易得即，即为等腰直角三角形，可知点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上；作点关于直线的对称点，连接，当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值，此时周长取最小值，然后证明，，利用勾股定理可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长，交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点的运动轨迹在过点且与夹角为的直线上， 如下图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 当点在同一直线上时，可有取最小值，即取最小值， 此时周长取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，确定点的运动轨迹是解题关键． 变式1-2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， 则点， ∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 变式1-3.如图，矩形中，，，点在边上且，点是矩形内一动点，满足，连接，将绕点逆时针旋转并延长至，使，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点O，在矩形内部过点O作，且，连接，，则，则，故点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动，可证明，再证明，则，而在中，由勾股定理得，因此，所以，那么点F在以K为圆心，为半径的圆弧上，由，得到当点位于延长线上时，最小，延长交于点，可得四边形为矩形，则，，在中，由勾股定理得，故最小值为． 【详解】解：取中点O，在矩形内部过点O作，且，连接，，如图： ∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以O为圆心，3为半径的圆弧上运动， 由旋转得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点F在以K为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， ∴当点位于延长线上时，最小，延长交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的定义，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，难度较大，需要确定动点的轨迹是解题的关键． 类型二、相似中的辅助线 一、核心知识点 相似三角形的判定条件：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）。 辅助线的作用：构造相似三角形、转移比例关系、集中已知条件、补全图形结构。 经典相似模型：A型（公共角）、X型（对顶角）、一线三垂直（K型）、旋转相似、半角模型。 二、辅助线类型与方法 平行线构造法 适用场景：已知中点、比例线段、平行关系。 操作要点： 过中点作平行线构造A型相似（例：过BC中点D作DE平行AC，则△BDE∽△BAC）。 过比例分点作平行线转移比例（例：BD:DC=2:1时，过D作DE平行AC，则BE:EF=5:1）。 利用平行线性质（同位角、内错角）转移角度。 角平分线构造法 适用场景：已知角平分线或需证明角相等。 操作要点： 过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形（例：AD平分∠BAC，过D作DE平行AB，则AE=DE）。 结合角平分线性质（到两边距离相等）构造全等或相似。 中线倍长法 适用场景：已知中线或需构造全等三角形。 操作要点： 倍长中线构造全等（例：延长AD至E使DE=AD，则△ADC≌△EDB）。 取两腰中点构造中位线（例：EF为△ABC中位线，则△AEF∽△ABC，相似比1:2）。 旋转构造法 适用场景：夹角相等且夹边成比例。 操作要点： 旋转一个三角形使对应边重合，构造旋转相似（例：△ABC绕点A旋转至△ADE，若∠BAC=∠DAE且AB:AD=AC:AE，则△ABC∽△ADE）。 一线三垂直（K型）构造法 适用场景：构造直角三角形相似。 操作要点： 作高线或垂直线形成三个直角三角形（例：在△ABC中作AD⊥BC，则△ABD∽△CAD∽△CBA）。 半角模型构造法 适用场景：存在半角关系（如∠EAF=∠BAD/2）。 操作要点： 通过点叉标注等角数量关系，结合旋转或对称构造相似（例：在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD中点，则△AEF∽△ABF）。 补形法 适用场景：图形残缺或不完整。 操作要点： 延长梯形两腰交于一点补成三角形（例：梯形ABCD中AD∥BC，延长BA、CD交于O，则△OAD∽△OBC）。 利用对称性补全图形（例：将等腰三角形沿高翻折构造全等）。 例2．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 变式2-1．如图，在中，，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是构造相似三角形．过点作交延长线于点， 得到，由平分，，等量代换可得，得到，由平行可得，从而可得的值． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 故选：A ． 变式2-2.在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ， 又， ， ， ∴ ， ， 故答案为：2 ． 变式2-3.如图，已知是的中线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，作交于H，可得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：作交于H，如图， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴ 又， ∴ ∴， 故答案为：． 类型三、相似中的比值 一、核心知识点 （一）相似图形基本性质 1、定义特征：相似图形需满足对应角相等、对应边成比例。相似比k为对应边长度比值，当k=1时图形全等。 2、几何量关系： （1）周长比等于相似比k （2）面积比等于k² （3）对应高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径等线段比均等于k 3、位似图形特性： （1）对应点连线交于位似中心O （2）对应边平行或共线 （3）距离比满足OP'/OP=k（P'为P的对应点） （4）可作两个关于O对称的位似图形 （二）相似三角形判定体系 1、基础判定： （1）两角对应相等（AA） （2）两边成比例且夹角相等（SAS） （3）三边成比例（SSS） 2、特殊判定： （1）平行线截取：平行于三角形一边的直线构成的三角形与原三角形相似 （2）直角三角形：斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 3、动态判定： （1）旋转相似：通过旋转构造相似图形 （2）黄金分割：当AC/AB=BC/AC=(√5-1)/2时构成黄金分割 二、关键解题方法 （一）比值计算策略 1、直接比例法： （1）设相似比k=AB/A'B' （2）根据线段关系建立方程：如AD/AB=AE/AC=k （3）结合已知条件求解：当AD=2cm，AB=5cm时，k=0.4 2、桥梁纽带法： （1）构造中间量：通过中位线、平行线等建立比例关系 （2）比例转换：如EF/BC=AE/AB=AD/AC （3）等比传递：利用相似三角形对应边比例相等特性 （二）典型模型应用 1、A字型模型： （1）特征：两条平行线被斜线所截 （2）比例关系：AE/AD=AF/AB=EF/DB （3）应用场景：测量不可达物体高度 2、8字型模型： （1）特征：相交直线构成对顶角 （2）比例关系：AE/CE=BE/DE （3）应用场景：杠杆原理、光学反射 3、子母型模型： （1）特征：大三角形包含相似小三角形 （2）比例关系：DE/BC=AD/AB=AE/AC （3）应用场景：地图比例尺换算 例3．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键，根据平行四边形的对边平行，结合平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 不能得到 综上：A，B，C选项正确，D选项错误； 故选D． 变式3-1．如图，在中，在上，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 先证明，∽，设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 同理可证， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 变式3-2.如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 变式3-3.如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 类型四、相似中的特殊三角形 一、特殊三角形与相似性的关联 （一）等腰三角形 性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角），顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一。 判定定理：两角相等或两边相等可判定为等腰三角形。 相似应用：等腰三角形通过旋转、翻折产生相似结构，需构造辅助线证明。例如将△ABC绕点A旋转α度后得到△ADE，若旋转中心角相等，则△ABD∽△ACE。 （二）等边三角形 性质：各角均为60°，三边相等。 判定：三边相等、三角相等或有一个角为60°的等腰三角形可判定为等边三角形。 相似应用：底角72°的等腰三角形中，底边与腰长比为黄金分割比（(√5-1)/2），其相似性可用于艺术构图分析。 （三）直角三角形 性质：两锐角互余，斜边中线等于斜边一半，30°角所对直角边等于斜边一半。 判定：勾股定理及其逆定理、HL定理（斜边与直角边对应成比例）。 相似应用： 1、斜边高线分割：Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ACD∽△ABC∽△CBD。 2、HL相似判定：斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 3、射影定理：CD²=AD×BD，用于测量不可达距离。 二、相似三角形的核心判定方法 （一）基础判定定理 1、AA（角角）：两角对应相等即相似。 2、SAS（边角边）：两边对应成比例且夹角相等即相似。 3、SSS（边边边）：三边对应成比例即相似。 （二）特殊判定方法 1、平行线截取：DE∥BC时，△ADE∽△ABC（A型或X型）。 2、位似变换：对应点连线交于位似中心，位似比等于相似比。 3、一线三等角：共顶点的三个等角分布在直线两侧时形成相似三角形。 三、相似三角形的高频解题模型 （一）平行线型模型 A型：同侧平行线截取相似三角形，如DE∥BC时△ADE∽△ABC。 X型：交叉平行线截取相似三角形，需注意对应顶点顺序。 （二）旋转型模型 通过旋转构造相似三角形，需证明旋转中心角相等或对应边成比例。 （三）双垂直型模型 直角三角形斜边高线分割出两个与原三角形相似的小三角形。 （四）位似型模型 位似变换产生的相似图形，对应点连线交于位似中心，常用于地图缩放、光学成像等问题。 （五）一线三等角模型 共顶点的三个等角分布在直线两侧时形成相似三角形，需注意角度顺序与边的对应关系。 四、相似三角形的关键解题技巧 （一）三点定形法 通过比例式中的三个端点确定相似三角形，横找竖找定相似。 （二）等量过渡法 当三点定形法无法解决时，用等线段代换或等比代换构造相似三角形。 （三）面积法 利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。 （四）辅助线构造 1、作平行线：构造A型或X型相似三角形。 2、作延长线：延长线段构造相似三角形。 3、作高线：利用直角三角形性质构造相似三角形。 （五）比例式与等积式转化 遇等积化比例，横找竖找定相似；不相似时用等线等比代替。 五、特殊三角形的综合应用 （一）等腰三角形中的相似问题 利用旋转、翻折构造相似三角形，结合三线合一性质求解。 （二）等边三角形中的黄金分割 底角72°的等腰三角形中，底边与腰长比为黄金分割比，可用于艺术构图分析。 （三）直角三角形中的测量问题 利用射影定理（CD²=AD×BD）或HL相似判定测量不可达距离。 （四）动态相似问题 通过引入动点或函数关系，考察相似比的变化规律。例如抛物线上的动点P使△PAB始终与△PCD相似，需建立比例方程求解。 例4．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由等腰三角形的性质得，即得，再由得，即得，得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选： 变式4-1．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式4-2.如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 变式4-3.如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）由勾股定理求得，根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理求得，由翻折的性质得，，求得，再由勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：中，，，， ， 是边上的中线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， 将沿翻折得到， ，， ， 是的中位线， ， ， 设，则， 在中，， ， 即当点是边的中点时，的长为； （2）解：由（1）知， ， 将沿翻折得到， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， （经检验是原方程的根） ； （3）解：①如图，当时， ，， ， ， ， 作于， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，存在点，使得为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 类型五、相似中的特殊四边形 一、特殊四边形的基本判定条件 平行四边形判定需满足一组对边平行且相等，或对角线互相平分；矩形需在平行四边形基础上增加一个直角或对角线相等的条件；菱形需满足邻边相等或对角线垂直；正方形需同时满足四边相等、四角为直角，或通过矩形叠加邻边相等条件推导。等腰梯形判定需满足两腰相等且底角相等。 二、特殊四边形相似的判定方法 （一）一般判定原则 两个四边形相似的核心条件为对应角相等且对应边成比例。对于一般四边形，需验证四个角分别相等，且四组对应边比例一致。特殊情况下，若三个角对应相等且有一组邻边成比例，或四条边成比例且有一个角对应相等，也可判定相似。 （二）特殊四边形的简化判定 平行四边形：邻边比例相等且夹角相等即可判定相似。例如，两个平行四边形若对应边AB/A'B'=BC/B'C'，且∠A=∠A'，则相似。 矩形：所有角均为直角，只需验证邻边比例相等即可。例如，矩形ABCD与A'B'C'D'中，AB/A'B'=BC/B'C'，则两矩形相似。 菱形：四条边相等，只需验证一个角对应相等即可。例如，菱形ABCD与A'B'C'D'中，∠A=∠A'，则两菱形相似。 正方形：兼具矩形与菱形的特性，四边相等且四角为直角，只需验证边长比例相等即可。 三、相似四边形的构造方法 （一）对角线分割法 任意四边形可被一条对角线分割为两个三角形。若两四边形对应分割后的三角形均相似，则原四边形相似。例如，四边形ABCD与A'B'C'D'中，△ABC∽△A'B'C'且△ACD∽△A'C'D'，则ABCD∽A'B'C'D'。 （二）中点四边形法 任意四边形的中点四边形为平行四边形。若原四边形为菱形，则中点四边形为矩形；若原四边形为正方形，则中点四边形仍为正方形。此性质可用于反向推导原四边形的相似性。 （三）几何模型辅助法 对角互补模型：若四边形中一对对角互补（和为180°），可通过构造垂线或延长边形成全等三角形，进而推导相似性。例如，过互补对角顶点作垂线后，可能形成相似三角形比例关系。 十字架模型：正方形内部若存在两条垂直连线（如顶点到对边某点），则由此构成的直角三角形全等，并可能生成相似四边形。例如，正方形ABCD内连线AE与BF垂直，则四边形AEBF与另一相似四边形比例一致。 四、相似四边形的实际应用 （一）比例作图法 给定已知四边形与目标边长，可逐次构造相似三角形实现缩放。例如，先作△A'B'C'∽△ABC使A'B'=目标边长a，再依据对应比例完成剩余点D'，最终生成相似四边形A'B'C'D'。 （二）圆的切线构造法 两圆外切于点P时，由切点及公切线构成的四边形可通过证明对应三角形相似（如△PAB∽△PA'B'），推导对应边比例相等与对应角相等，最终得到四边形相似。 （三）中点四边形性质应用 通过分析原四边形与中点四边形的边角关系，可快速判断相似性。例如，若原四边形为矩形，则中点四边形为菱形；若原四边形为正方形，则中点四边形仍为正方形，且边长比例为1:2。 例5．平行四边形的对角线和交于O点，点E在的延长线上，连接交于F点，若，，，则（    ）． A．10 B．12 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点O作，交于点H，根据相似三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的性质及平行四边形的性质代入求解即可． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∴， ∵平行四边形的对角线和交于O点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 变式5-1．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 变式5-2.如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，    ∵四边形是菱形，， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 变式5-3.数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 类型六、相似中的圆 一、核心知识点 （一）相似图形基础 形状相同的图形称为相似图形，对应角相等且对应边成比例。例如等边三角形因三内角均为60度且边长比例恒定，故所有等边三角形均相似。比例线段满足交叉相乘相等（ad=bc），相似比是对应边长度的比值。 （二）相似三角形判定 判定条件包含：两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。相似三角形对应高、中线、角平分线的比值均等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （三）圆的几何性质 圆是到定点距离等于定长的点的集合，具有轴对称性（任意直径为对称轴）、中心对称性（圆心为对称中心）和旋转不变性。垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦及所对弧，推论表明平分非直径弦的直径必垂直于该弦。 （四）圆中角的关系 同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，半圆所对的圆周角为直角。在同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等弧和弦，相等的弦对应相等圆心角和弧。 （五）圆与直线的位置关系 根据圆心到直线的距离d与半径r的关系判定：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。切线判定定理要求直线过半径外端且垂直于该半径。 二、典型解题方法 （一）构造相似三角形 利用直径所对圆周角为直角的性质，构造直角三角形相似。例如直径AB与弦CD垂直时，可证明△ACD∽△CBD，得到AC²=AD·AB等比例关系。 （二）应用圆幂定理 通过切割线定理（AC²=AD·AB）和相交弦定理（AD·DB=CD·DE）建立线段乘积关系。例如已知弦长和切割线段时，可直接套用定理求解。 （三）位似变换应用 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比。通过确定位似中心和比例，可实现图形的放大缩小，常用于几何证明中的比例转换。 （四）正多边形与圆的关系 将圆n等分连接分点得到内接正n边形，其边长a=2Rsin，面积S=1/2·n·a·r（r为边心距）。例如正六边形边长等于外接圆半径。 （五）综合题型策略 圆中相似问题常结合直角三角形性质，通过"两组角相等"或"边角比例"证明相似。解题步骤为：1.标记已知角和线段；2.寻找相等角或比例边；3.构造相似三角形；4.应用比例关系求解。 例6．如图，已知 是的外接圆上一点，于点，交圆于点，于点，与的延长线交于点，． (1)求证：； (2)连接，若是弧的中点，，，求线段， 的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，根据可得，由四边形是圆的内接四边形和平角的定义推出，进而推出是圆的直径，得到，即可得证； （2）由点是弧的中点，得到，由题意可得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，进而求出，根据圆周角定理得，设，则，，，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ； （2）连接， 点是弧的中点， ， ，， 是等边三角形， ，， 由（1）可知，在中，根据勾股定理得， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 变式6-1．已知如图，四边形，，以为直径的圆O交于点E，与相切于点C，连接． (1)求证； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据切线的性质得出，证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明，得出答案即可； （2）连接，，证明，得出，在中，，设，则，得出，求出或，根据中，，，再进行验证即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，设，则， ∴， 即， 解得：或， ∵中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，，， ∵， ∴此时符合题意； ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 变式6-2.如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定； （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证； （2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明； （3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴ 又． ∴． （3）①∵点，关于对称，，， ∴， 又∵． ∴ ∴ ∵ ∴ 即，解得：， ∵ ∴ ∴即 解得：； ②由①可得， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴即 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 变式6-3.如图，四边形内接于圆，其中平分，交于点，为上一点，且平分，连接． (1)求证：． (2)若，设，，用含的代数式表示β． (3)若圆的半径为，，请直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】根据平分，平分，可知点是的内心，从而可证平分，所以可证，根据圆周角定理可证，从而可得、，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； 根据圆周角定理可知，根据三角形内角和定理可得：，整理可得：； 由可知，根据等腰三角形的性质可得：，用三角函数可得，从而可得的最大值是． 【详解】（1）证明：平分，平分， 点是的内心，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， 由可知， 在中，， ， ； （3）解：四边形面积的最大值为，理由如下： 平分， ， ， 由知， ． ， ， 如图，连接，， ． ， 是等边三角形， ， ， ，，三点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示， ， 当时，最大， ，， ，， ， ， ， 即四边形面积的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边 三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是利用圆周角定理找相等的角，根据角之间的关系确定边之间的关系． 类型七、相似中的二次函数 一、核心知识点 （一）二次函数基础 二次函数一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），其图像为抛物线。关键性质包括： 开口方向由a决定（a>0开口向上，a<0开口向下） 对称轴为直线x=-b/(2a) 顶点坐标为 与x轴交点由方程ax²+bx+c=0的根确定，判别式Δ=b²-4ac决定交点数量 （二）相似三角形判定 主要判定方法： AA（两角对应相等） SAS（两边成比例且夹角相等） 特殊场景：直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个相似三角形 二、典型问题解决方法 （一）动点产生相似三角形 四步解题法： 设坐标：设动点M(x,y)，用函数式表示坐标 找等角：识别公共角、平行线对应角或特殊角（如45°、90°） 列比例：根据SAS或AA列出边长比例式，注意分类讨论对应边关系 解方程：联立二次函数方程与比例式求解 （二）几何构造策略 特殊模型应用： "A"型与"反A"型相似结构 直角三角形斜边高分割模型 参数化处理： 设动点坐标为参数 用距离公式表示边长（如PM=|at²+bt+c|） 利用三角函数或斜率确定角度关系 三、综合应用技巧 （一）数形结合 通过抛物线对称性简化计算： 对称点坐标关系（如M(x,y)与M'关于x=h对称） 利用顶点坐标优化计算过程 （二）分类讨论要点 角度对应关系： 已知角与动点角的位置关系（左侧/右侧） 特殊角度（如钝角135°与锐角45°的匹配） 边长比例方向： 注意线段长度的绝对值处理 验证解的有效性（如交点是否在定义域内） 例7．若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式； (3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)m的最大值为 【分析】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）证明，解得：，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则， 解得：，， 故抛物线的表达式为：； （2）解：如图，设直线交y轴于点M， ∵ ∴抛物线的对称轴为， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， 由点B、C的坐标知，直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为：， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：； （3）解：过点P作轴交于点N， 则， 则， 而． 则， 解得：， 设点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则， 即， 故m的最大值为． 变式7-1．已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入，求出，然后将，的坐标代入求解即可； （2）假设存在符合条件的P点，连接、，过C作轴于F，若，则，可设出点P的坐标，分别表示出、的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，可得， ∴， 将，的坐标代入， 得：， 解得， ∴解析式为：； （2）解：设符合条件的点P存在，令， 如图所示，当P为直角顶点时，连接、，过C作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得或， ∴所求的点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合，待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 变式7-2.如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的横坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，从而得出，利用二次函数的性质求最值即可； ②当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得到，结合已知条件，得出，设点，则点的坐标可表示为，再结合在上，求出的值，得到点P的坐标；当在轴下方时，同理①可求出点的横坐标为或，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 二次函数的表达式为． （2）解：①如图，过点作轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时， ②解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴ ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， 由①可知，直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或． 变式7-3.已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的一个动点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点． (1)若、两点的横坐标分别为、4，求直线的函数关系式； (2)若，为的中点，且点，，求的值； (3)连接、，若，的面积为1，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，，利用待定系数法进行解答即可； （2）过作轴于，过作轴于，证明，得到，则，，设，则，得到，，由即可得到答案； （3）过作轴于，过作轴于，设，，利用相似三角形的判定和性质等知识，得到，即可得到答案 【详解】（1）解：由、两点的横坐标分别为、4，代入得到，或， ∴，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； （2）过作轴于，过作轴于，如图 轴，轴， ， ， ， ， ，， 设，则， 、两点在二次函数的图象上， ，， ，， ， 而， ，， ， 为的中点， ，， 又， ， ； （3）过作轴于，过作轴于，如图 设，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 令得， ， ， 的面积为1， ， ①， ， ， 又， ， ，即， ②， 把②代入①得：， ③， 把③代入②得： ， 解得， ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、解方程组等知识，综合性较强，数形结合是关键． 类型八、相似中的动点求t 知识点与方法： 一、核心知识点 （一）相似三角形判定定理 AA型：两角对应相等（例：∠A=∠D且∠B=∠E，则△ABC∽△DEF） SAS型：两边成比例且夹角相等（例：AB/DE=AC/DF且∠A=∠D） SSS型：三边成比例（例：AB/DE=BC/EF=AC/DF） 特殊判定：直角三角形中，一组锐角相等或斜边直角边成比例 （二）动点运动模型 匀速直线运动：路程=速度×时间（s=vt） 平行线分线段成比例：若DE∥BC，则AD/AB=AE/AC 角平分线性质：角平分线分对边成比例（例：∠BAC平分线交BC于D，则AB/AC=BD/DC） 二、解题方法体系 （一）分类讨论法 步骤： 1、分析动点运动轨迹（直线/折线/圆周） 2、确定相似符号"∽"的对应关系 3、分两种情况列比例方程： 情况一：对应顶点顺序一致（△ABC∽△DEF） 情况二：对应顶点顺序颠倒（△ABC∽△FED） 典型案例： 在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从A以2cm/s向B运动，动点Q从B以4cm/s向C运动。求当△PBQ∽△ABC时t的值。 解： BP=8-2t，BQ=4t 分两种情况： ① △PBQ∽△BAC → (8-2t)/8=4t/16 → t=2 ② △PBQ∽△BCA → (8-2t)/16=4t/8 → t=0.8 （二）参数方程法 步骤： 1、设运动时间为t 2、用含t的代数式表示线段长度（例：AP=2t，BQ=4t） 3、根据相似条件建立比例方程 4、解方程并检验解的合理性 关键技巧： 时间范围限制：确定动点运动的有效时间区间（例：0<t<4） 多解验证：检查方程解是否符合几何图形实际 （三）几何构造法 常用构造方式： 1、作平行线构造A型或8字型相似 2、作垂线构造直角三角形相似 3、利用角平分线构造等腰三角形 典型构造示例： 在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，动点E从A以1cm/s向B运动，动点F从B以3cm/s向C运动。求当△EBF与△FCG相似时t的值。 解： 构造思路： ① 过F作FG∥AB交CD于G ② 证明△EBF∽△FCG ③ 建立比例关系：EB/FG=BF/CG ④ 代入EB=10-t，BF=3t，FG=12，CG=12-3t ⑤ 解得t=2.8或t=1.2 三、易错点警示 （一）对应关系错误 常见错误： 1、误将非对应边列入比例 2、忽略相似符号的顺序性 3、在多解情况下遗漏解 防范措施： 1、标出对应顶点（如△ABC∽△DEF中A对D，B对E） 2、画辅助线明确对应关系 3、分类讨论时使用不同颜色标记 （二）时间范围错误 典型错误： 1、未考虑动点到达终点的时间限制 2、计算出的t值超出运动区间 检验方法： 1、计算动点到达终点的时间（t_max=路程/速度） 2、验证解是否满足0<t<t_max 四、实战训练建议 （一）基础训练 1、在△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，动点P从A以1cm/s向B运动，动点Q从B以2cm/s向C运动。求当△APQ与△ABC相似时t的值。 （二）进阶训练 2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，AB=5，动点E从A以1cm/s向D运动，动点F从B以2cm/s向C运动。过E作EG∥AB交BC于G，求当△EFG与△ABC相似时t的值。 （三）综合应用 3、在直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)，动点P从A沿y轴负方向以1单位/s运动，动点Q从B沿x轴正方向以2单位/s运动。求当△OPQ与△OAB相似时t的值，并求此时P、Q的坐标。 例8．如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (3)伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)的值为和 【分析】（1）由题意得，则，先勾股定理求出，再由平行线分线段成比例定理列出比例式，求方程即可求出的值； （2）根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质求出，最后用勾股定理求解即可； （3）分由向运动和由向运动两种情况讨论，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图，，则， 在中，由勾股定理可得， ， ，即，解得，， 当时，； （2）解：存在，如图，由题意可知， 又， 要使与全等，只有这一种情况， 此时，， ， ，即，解得，， 则， 在中，由勾股定理可得； （3）解：①当由向运动时，， ， ， ， ，即，解得； ②如图，当由向运动时，过作交于点， ，， 则，即， 解得，， 同理可求得， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， 综上可知满足条件的的值为和． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，涉及到的知识点有：勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，线段垂直平分线的性质等．解题的关键是在综合运用所学知识点进行解题的基础上，利用好数形结合和分类讨论的思想进行解题． 变式8-1．如图，A，B两点的坐标分别是，，点P由点B出发沿方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q由A出发沿（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，连接，若设运动时间为秒．解答如下问题： (1)当时，求点P的坐标； (2)当与点A，Q，P三点构成的三角形相似时，求点Q的坐标； (3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键， （1）根据题意可得时，，即P在中点处即可求解； （2）分和两种情况进行讨论，结合相似的性质即可求解； （3）根据面积公式即可求解． 【详解】（1）由题知， 时，， 所以此时P在中点处， 又A、B两点的坐标分别是， 所以点P的坐标为； （2）设时间后，与点A、Q、P三点构成的三角形相似， 则，， 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 当时， ，即， 解得，此时， 所以点Q的坐标为； 综上，当点Q的坐标为或． （3）∵，， ∴. 变式8-2.如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当 t为何值时，？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻t，使得P、E、C三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)连接，是否存在时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查菱形的性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由四边形是菱形，，，得，，，由题意，，，根据列方程求解即可； （2）由平移得，，，而，所以，分两种情况讨论，一是，则，所以，求得；二是，则，所以，求得． （3）当P、E、C三点共线时，，可证，则，利用此列方程求解即可； （4）根据题意，可证明，则可得的长，再证明，则，得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，， 由平移知， 由题意，，， ∵， ∴， ， ∴当 t为时，； （2）解：存在， 由平移得，，， ， ， ， 当或时，与相似， 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得， 故存在或时，与相似； （3）解：当P、E、C三点共线时， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍）， ∴存在时刻，使得P、E、C三点共线； （4）解：作于M，设交于点H， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 设交于点N， ∵， ， 又， ， 又， ， ， ， 解得． ∴存在时刻，使得． 变式8-3.如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： (1)当为何值时，的面积等于？ (2)当为何值时，是直角三角形？ (3)是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，的面积等于 (2)当或或时，是直角三角形 (3)存在，当时，的面积最小，为 【分析】本题考查解一元二次方程，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； （1）由题知，，，根据的面积等于，列方程求解即可； （2）当时，易得是直角三角形；当时，易得，均为锐角，当时， 证明，推出，代入可得关于的一元二次方程，解方程即可，综合可得的值； （3）利用割补法表示出的面积，转化为关于的式子，根据二次函数的性质，求得当时，的面积最小，为． 【详解】（1）由题知，， ， 由得，， 解得，， 当或时，的面积等于． （2）四边形是矩形， ，，， ， 当时，点P与点A重合，点Q与点B重合，，是直角三角形； 当时，易得，均为锐角，当时，是直角三角形， 此时， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，， 当时，点P与点B重合，点Q与点C重合，符合题意； 综上可知，当或或时，是直角三角形． （3）存在，当时，的面积最小，为，理由如下： ， ， ， 由解得， 当时，的面积最小，为． 类型九、相似中的无刻度尺作图 一、核心知识点 相似三角形的判定与性质是核心基础。相似三角形需满足对应角相等、对应边成比例，判定方法包括两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例，以及直角三角形斜边直角边成比例。其性质涵盖对应线段比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 无刻度直尺作图依赖几何公理与定理，如平行线分线段成比例定理指出两条直线被一组平行线所截时对应线段成比例；平行线传递性可通过已知线段与点的位置关系推导平行线方向；相似三角形性质能将长度关系转换为交点位置。特殊点定位需通过垂直平分线、角平分线等辅助线实现，例如利用平行四边形对角线互相平分或构造中位线确定中点。 二、基本构造方法 过格点作垂线可通过构造全等直角三角形实现：若线段AB为斜边，构造与AB边长相同的直角三角形，利用直角三角形全等性质使斜边垂直。例如已知AB为2和3的直角三角形斜边，过点P构造同样边长的直角三角形，连接对应点即可得垂线。 平行线构造需利用平行四边形性质：通过构造对边平行且相等的四边形，使指定线段与目标线段平行。例如过点P作AB平行线时，构造平行四边形PABQ即可实现。 线段等分包含中点与任意等分点构造。中点可通过平行四边形对角线平分或构造中位线确定；任意等分点则利用平行线截取成比例线段，或通过A形相似构造等分比例。例如作线段1/3处等分点时，通过平行线与原线段交点确定比例。 对称点构造需结合垂直与中位线性质：先作目标线段的垂线，再利用中位线截取等长线段确定对称点。例如过点P作AB对称点时，先作AB垂线，通过延长与中点构造实现对称。 角平分线构造可通过等腰三角形三线合一或构造菱形实现：若三角形ABD为等腰三角形，连接顶点与底边中点即可得角平分线。 三、灵活运用技巧 网格比值法适用于分割线段：将目标比例转换为网格单位，通过网格线交点确定分割点。例如作AP:BP=2:5时，将总长度分为7份，利用网格线定位2份与5份的交点。 面积比与线段比转换可解决面积平分问题：通过等高三角形面积比等于底边比的性质，将面积问题转化为线段比例问题。例如平分三角形面积时，找到中线交点即可实现。 位似图形构造需确定位似中心与比例：若两个图形对应点连线交于一点且对应边平行，则通过位似中心与比例可实现图形缩放。例如将三角形ABC按比例缩放至DEF时，确定位似中心后按比例连接对应点。 例9．图①、图②、图③均是正方形网格，△的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①网格中画出一个△，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图②的网格中作出与△相似的最小格点． (3)在图③中的边上找到一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． （3）作，且，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ∵， ∴，相似比为， （2）解：如图2，即为所求． ∵ ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，则△相似，且是最小格点三角形， ∴即为所求． （3）解：如图3，点即为所求． ∵ ∴， ∴． 变式9-1．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，经过的格点请加重加粗描画，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： (1)在图1中作的高，则_______． (2)在图2中作点E，使点E在边上，且； (3)在图3中，作点M，使点M、点C关于对称． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，勾股定理，平行线分线段成比例，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，使，连接交于点，则是的高，再利用等积法和勾股定理求解即可； （2）取格点和，使，，连接交于点，点E即为所作； （3）取格点T，连接，则，取格点W，R，连接交于点M，点M即为所求． 【详解】（1）解：的高，如图1所示： ； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点E如图2所示： ； （3）解：点M如图3所示： ． 变式9-2.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，在上画点，使； (3)在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点D即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点E即为所求； （3）首先根据平移的性质画出线段，然后取格点D，连接并延长交于点Q即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求； 由网格得，四边形是矩形，，是矩形的对角线 ∴点D是的中点； （2）如图所示，点即为所求； ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，点即为所求； ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平移作图，格点作图，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 变式9-3.如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中的值为___________； (2)在图2中作出边上的点E，使得； (3)在图3中作出边上的点不与点B重合,使得 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用相似三角形的性质求解； （2）取格点P，Q，连接交于点E，点E即为所求； （3）取格点T，连接交于点F，连接，点F即为所求利用直角三角形斜边中线性质可得结论 本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，， ∽， 故答案为：； （2）解：如图2中，点E即为所求； （3）解：如图3中，点F即为所求． 类型十、相似中的新定义 一、相似图形的基本定义 相似图形的核心特征是形状相同但大小不一定相同，全等图形是相似图形的特殊情况。相似多边形的判定需满足两个条件：对应角相等且对应边的比相等，该比值称为相似比。相似比为1时，两个多边形全等。相似图形的性质包括对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的判定方法 判定方法一：平行线截取定理。平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定方法二：三边成比例定理。若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。 判定方法三：两边成比例且夹角相等定理。若两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。 判定方法四：两角相等定理。若两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似。 三、相似三角形的性质与应用 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径的比值均等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 应用场景包括测量物体高度、计算地图距离等实际问题。解题时需建立几何模型，将已知条件转化为几何关系，灵活运用判定方法和性质进行求解。 四、位似图形的定义与性质 位似图形是相似图形的特殊形式，需满足两个条件：每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行。位似中心是对应点连线的交点，位似比等于相似比。 位似图形的性质包括：对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应边平行或共线；位似变换可实现图形的放大或缩小；位似中心可任意选取，但位似图形会随位似中心的位置变化而变化；根据一个位似中心可作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，分别位于位似中心的两侧且关于位似中心对称。 五、相似图形的解题方法与策略 判定相似三角形时，需充分利用公共角、对顶角、公共边等隐含条件。寻找相似三角形的常用方法包括：通过作平行线构造相似三角形或成比例线段；利用图形特征（如公共边、公共角）寻找相似三角形；依据基本图形对图形进行分解或组合；通过作辅助线构造相似三角形。 解题时需灵活运用判定方法，根据题目条件选择合适的策略。例如，当题目给出两个角相等时，优先考虑两角相等定理；当题目给出两边及其夹角时，考虑两边成比例且夹角相等定理；当题目给出三边时，考虑三边成比例定理。 六、相似图形的常考模型 A字型模型：两个三角形共享一个顶点，形成类似字母“A”的图形。 8字型模型：两个三角形通过一对对顶角相连，形成类似数字“8”的图形。 三等角模型：三个角相等的三角形构成相似关系，常见于等腰三角形或直角三角形。 子母型模型：一个大三角形包含一个小三角形，且两者通过平行线或中点相连。 例10．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． (1)①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 (2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【详解】（1）①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式10-1．新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)．证明见解析 (3)①画图见解析；②的长为或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 变式10-2.【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若， 则称点D是中边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是中边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3，是的内接三角形，点H在上，连接并延长交于点D．点H是中边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①详见解析；②；（3）①详见解析；② 【分析】（）将代入计算即可； （2）①如图，取格点，连接交于，点即为所求； ②利用面积法求出，利用勾股定理求出，然后代入求解即可； （）①证明可得，再根据点是中边上的“射影点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证； ②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． 故答案为：4；   （2）①取格点K，连接交于M，如图，点M即为边上的一个“射影点”．     ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M是边上的一个“射影点”； ②∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H是中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∴， ∴；     ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 变式10-3.如图1和图2，在单位长度为1的7×7的网格中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此四边形定义为“唯美四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“唯美角”． (1)请在图3中确定点D，使得四边形为不同于图1，图2的“唯美四边形”； (2)如图4，四边形为“唯美四边形”，；且为“唯美角”，连接．求证：平分； (3)如图5，四边形为“唯美四边形”，，且为“唯美角”，连接相交于点P．若．，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“唯美四边形”的性质作出图形即可； （2）根据“唯美四边形”的性质求得，推出，再利用平行线的性质得到，据此即可证明结论成立； （3）过点作于点．证明四边形为正方形，求得，在和中，求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点和四边形即为所作． （2）证明：∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵为“唯美角”， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∵为“唯美角”， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，．， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义“唯美四边形”，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $