第1章 专题一 相似三角形的性质与判定-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

1.3相似三角形的性质（答案3） 通基础 7.如图所示，已知在△ABC中，D,E分别是AB >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>3 和AC的中点，BE,CD相交于点O,若 知识点1相似三角形的性质 S△DoE=2,则S△BOc= 1.如图所示，已知△ABCp△EDC,AC:EC= 2:3,若AB的长度为6，则DE的长度 为() A.4 B.9 C.12 D.13.5 8.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D是AC 上一点，DE⊥AB于点E,若AB=10, B AC=8,DE=3,求四边形DEBC的面积. A 第1题图 第2题图 2.几何直观》如图所示，在正方形网格图中， △ABC,△EDF的顶，点都在正方形网格图的 格点上，△ABC∽△EDF,则∠ABC+∠ACB 的度数为( A.30° B.45° C.60° D.75 3.如果把两条直角边长分别为5,10的直角三角 形按相似比进行箱小，得到的直角三角形的 通能力》>2>>>2>>> 面积是 知识点2相似三角形的周长比和面积比 9.如图所示，△ABCD△ADE,SAABC: 4.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个 S四边形BDEc=1：3,BC=√2，则DE的长 三角形对应边的比是() 为( ) A.1:2 B.1:4 A.6 B.2√2 C.32 D.4√2 C.1:8 D.1:16 5.已知△FHBC∽△EAD,它们的面积分别为60 和15，且FH=6,则EA的长为() A.1.5 B.3 C.12 D.24 第9题图 第10题图 6.(2023·聊城莘县月考)两个相似五边形，一组 10.如图所示，灯泡P在横杆AB的正上方，AB 对应边的长分别为4cm和6cm,若它们的面 在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m, 积之和为260cm2,则较大五边形的面积 CD=5m,点P到CD的距离是3m,则点P 是() 到AB的距离是() A.100cm2 B.180cm2 6 10 C.75 cm2 D.30 cm2 D. -m 一九年级：上册·数学·Q0 16 11.运算能力》如图所示，将△ABC沿BC边上 通素养》》99 的中线AD平移到△A'B'C'的位置.已知 △ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积 14.推理能力》如图所示，已知BE,CF分别是 为9.若AA'=1,则A'D等于() △ABC的边AC,AB上的高，高BE,CF所 3 在的直线相交于点D,连接EF, A.2 B.3 C.4 D.2 (1)当∠BAC是锐角时，求证：△ABC △AEF. (2)当∠BAC是钝角时，(1)中的结论还成立 14 2 吗？直接写出结论，无须说明理由. u山md 第11题图 第12题图 (3)如果∠BAC=60,求△AE的值. S△ABC 12.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，直尺 的一边与BC重合，另一边分别交AB,AC于 点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为15， 12,01,直尺宽BD的长为2.则AB的长 13.应用意识》如图所示，有一块三角形余料 ABC,它的边BC=18cm,高AD=12cm,现 在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零 件EFGH,要求一条长边在BC上，其余两个 顶点分别在AB,AC上，求矩形EFGH的 周长. 17 优学案·课时通解得AB-12m, AB=AD, 即小河的宽度为12m. ∠BAF=∠DAG, 11.解：由题意，得FCDE, AF=AG, .BC FC :△BFCD△BED,BD-DE' .△ABF≌△ADG(SAS)..BF=DG .'.FD+DG=FD+BF=BD 即mBC=1.5 BC+43.5,解得BC=3m. 1.3相似三角形的性质 1.B2.B3.94.B5.B6.B7.8 AC=5.4m,.AB=5.4-3=2.4(m). 8.解：在Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.BC=6 ,光在镜面反射中的反射角等于人射角， .∠C=∠DEA=90°，∠A=∠A, ∴.∠FBC=∠GBA. ∴.△ADEp△ABC. 又，∠FCB=∠GAB '.△BGA△BFC, DE=3=1.SAADE 1 BC=62SAADC4 治品9号 .AG1.5 1 SAAMC-2X8X6-24,.SAADE=6, 解得AG=1.2m, ∴.四边形DEBC的面积为24一6=18. 即灯泡到地面的高度AG为1.2m. 9.B10.C11.B12.√3 阶段检测一（1.1~1.2) 13.解：在矩形EFGH中，EH∥FG,EH=GF, 1.D2.C3.C4.C5.C6.B .△AEHC∽△ABC 7.100°8.4或99.①②④ 又.AD⊥BC,..AM⊥EH, 10.解：(1)证明：.AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴.BD=CD,AD⊥BC,∠B=∠C 泄 DE⊥AB,.∠DEB=∠ADC, 矩形EFGH的长与宽的比为3：2， .△BDEn△CAD. .设EH=3xcm,则MD=EF=2xcm,AM= (2).AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC (12-2x)cm, 在R△ADB中，：AB=1B,BD=2BC=5, 话1222幅得=3， .AD=12. ∴.EH=9cm,EF=6cm, :AD·BD=·AB,DE, 1 ∴.矩形EFGH的周长为2X(9+6)=30(cm). 14.解：(1)证明：，CF⊥AB,BE⊥AC, DE- ∴∠AEB=∠AFC=90°. ∠A=∠A,.△ABEn△ACF 11.解：(1)△ABC与△ADE相似.理由：BC⊥AC, AE-AB、AEAF DE⊥AC,∴.DE∥BC, AF-ACABAC .△ABCn△ADE, 又：∠A=∠A,△ABC∽△AEF. (2),△ABC∽△ADE, (2)(1)中的结论还成立. 能-能即0 (3)在Rt△ABE中，：∠BAC=60°， BC20+2' 解得BC=19.8米， ∠ABE=0铝-方 即信号发射塔的高度为19.8米。 .SAAEE1 12.解：(1)证明：由题意可得∠B=∠D=∠CFE.由 ·SAABC 4 F是BD的中点可知BF=DF.在△DFG中， 专题一相似三角形的性质与判定 ∠D+∠DFG+∠DGF=180°，而∠DFG+ 1.D ∠CFE+∠BFH=180°， 2.解：(1)△APC∽△PBD ∴.∠BFH=∠DGF. 理由如下：PC=PD=CD, 又∠B=∠D,.△BFH∽△DGF」 ∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， 丽肥 ∴.∠ACP=∠BDP=120°. '∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD= ,BF=DF,.BF2=BH·DG, ∠APB-∠CPD=120°-60°=60°， 即BH·GD=BF2. .∠A=∠BPD, (2)BD .△APC∽△PBD 证明：，AG∥CE, (2)90 ∴.∠FAG=∠FCE,∠FGA=∠E. (3)2∠APB-∠CPD=180°. ,∠CFE=∠E,.∠CFE=∠FGA. 理由如下：PC=PD, ∴.AF=AG ∠PCD=∠PDC, 根据题意可知∠BAD=∠FCE, .∠PCA=∠PDB. '.∠BAD=∠FAG 当AC一PD ∴.∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG. PC-DB时，则有△APC△PBD, ∴.∠BAF=∠DAG. ∴.∠A=∠DPB. 在△ABF与△ADG中， ,∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD, ∴.∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB-∠CPD, 在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴.∠APB-∠CPD+∠APB-∠CPD+∠CPD=180°，9.B10.B 即2∠APB-∠CPD=180°. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3.D ∴.∠A=∠C,AB∥CD 4.证明：在△ABC和△AED中， .∠ABF=∠CEB 是2品号=2 .△ABFp△CEB. (2)四边形ABCD是平行四边形， .AB AC .AD∥BC,AB∥CD且AB=CD. AEAD' ∴.△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 又∠A=∠A,.△ABC∽△AED. ∴.∠ABC=∠AED. DE-TCD, 5.解：(1)如图所示，点D是所求作的点. .DE-1.DEDE 1 CE3'ABCD2 1)21 B D 3 =9 (2)证明：AB=√/1+2=√5，BC=5,BD=1, SADEF- ,BD1W5AB√5 SAABF 小AB5行·BC=5' SADEF=2,.S△CEB=18,S△ABF=8. BD AB ,SI边形BCDr=S△BCE一SADEF=16. ABBC 故SBABCD=Sm边形BCDF+S△ABr=16+8=24. 1.4图形的位似 ∠DBA=∠ABC,.△ABDD△CBA. 第1课时位似图形 6.C 7解，0证明：8能-， 1.B2.D3.B4.D5.4:9 6.解：(1)△ABC与△A'B'C'是位似图形，OB: ∴.△ABC∽△ADE, OB'=3:6=1:2, ..∠BAC=∠DAE, △ABC∽△ABC,且相似比为号 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (2)由(1)知△ABC△ADE,.∠E=∠C, 0A'C=2' 又，∠AFE=∠BFC, .A'C=10. .△AFE∽△BFC, (2)根据题意，得SAc AC 7 S△A'B'C CF, 5 4S△4gC=7X4=28. 1 7.解：如图所示，△A'BC'和△A"B"C”即为所要画的 CAFC 2 图形. .C△BFC=5. 即△BFC的周长为5. 8.证明：(1).AF2=FG·FE. .AFEF FGAF· ,∠AFG=∠EFA,∴.△FAG∽△FEA, ∴.∠FAG=∠E. .AEBC,.∠E=∠EBC, .∠EBC=∠FAG. 8.ABC9.C10.1:311.1 ,∠ACD=∠BCG 12.解：(1)如图所示，△A'BC'即为所求， .△CADp△CBG. (2),△CADn△CBG, -{-- -- 0-0品 -- '∠DCG=∠ACB,∴.△CDGn△CAB, 880 B mo c ic .AE∥BC, (2)如图所示.AA'=2,A'C'=√22+2=2√2， AE AG CC=2,AC=√4+4=4√2，∴.四边形AA'CC的 BC-GC' 周长为2+2√2+2+4√2=6√2+4. .AG GC …AEBC 18解：是位似图形，位似中心是点0，相似比为号 e 点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ,.DG·AE=AB·AG EF∥AB,且EF=GAB,EH∥AD,且EH=