第1章 图形的相似 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第1章图形的相似 1.2怎样判定三角形相似(1)（答案P41) 1.如图所示，已知AB=AC,∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证：△ABCc∽△BDC. 2.如图所示，在等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°. 求证：△ADC∽△DEB. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.2怎样判定三角形相似(2)（答案P41) 1.几何直观》如图所示，已知AB=3AC,BD=3AE,BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上. 求证：△ABD∽△CAE. 2.如图所示，直线EF分别交△ABC的边AC,AB于点E,F,交边BC的延长线于点D,且 AB·BF=BC·BD.求证：AE·EC=EF·ED. 一九年级·上册·数学QD 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.2怎样判定三角形相似(3)（答案P41) 1.如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，求证：△ABC∽△FDE. B 2.如图所示：BDBE-D,那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？ AB BC CA 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.2怎样判定三角形相似(4)（答案P41) 1.如图所示，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距 离AE为20cm,幻灯片到屏幕的距离EC为40cm,且幻灯片中的图形ED的高度为6cm, 求屏幕上图形BC的高度. B 2.新情境》如图所示，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔 DC,可过了一会儿抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔 的高分别是20m和30m,它们之间的距离为30m,小张身高为1.6m.小张要想看到水塔， 他与教学楼之间的距离至少应有多少米？ (2 优计学案·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.3相似三角形的性质(1)（答案P41) 如图所示，△ABC∽△A'B'C',AB=15cm,A'B'=10cm,AD与A'D'分别是△ABC和 △A'B'C'的角平分线，AD与A'D'的和为15cm,求AD和A'D'的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.3相似三角形的性质(2)（答案P41) 推理能力》如图所示，已知AC∥BD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一 点，SABEF:S△EFC=2:3. (1)求EF的长. (2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积. 一九年级，上册数学QD 3》 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.4图形的位似(1)（答案P42) 1.如图所示，矩形A'B'CD'和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD的周长为12，AD=2, A'D'=4. (1)画出两个矩形的位似中心点P. (2)求矩形A'B'CD'的面积. ☐ 片 2.如图所示，点F在BD上，BC,AD相交于点E,且ABCD∥EF. (1)图中有哪几对位似三角形？ (2)选其中一对加以证明. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.4图形的位似(2)（答案P42) 1.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分 别为A(1,2),B(3,1),C(3,3),D(2,3),以原点O为位似中心， 在第一象限内将四边形ABCD放大为原来的2倍，得到四边形 A1B1C1D1,点A,B,C,D的对应点分别为A1,B1,C1,D1· (1)画出四边形A1B1C1D1. (2)写出点C1的坐标. B -012345.6.789元 2.如图所示，△ABC在方格纸中. (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(3,4),C(7,3), 并求出点B的坐标， (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将 △ABC放大，画出放大后的位似图形△A'B'C' (3)计算△A'B'C的面积S. 优学案·课时强【通中考】 1.2怎样判定三角形相似(3) 18.D19.C 1.证明：'点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， 20.A解析：：这批椽的数量为x株，每株椽的运费 DE,DF,EF是△ABC的中位线， 是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 :DE DE EF 一株椽的价钱，'.一株椽的价钱为3(x一1)文，依 BC-AB-AC-2 题意，得3(x-1)x=6210. ∴.△ABC∽△FDE. 21.A22.D23.B24.C 2.解：相似.理由如下：A二 BC CA 25.a>-426.0.618 BD BE ED' 27.解：：使这个方程有两个不相等的实根， ..△ABC△DBE, ∴.b2-4ac>0,即b2>4c, ∴∠ABC=∠DBE, ∴.②③均可， .∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 选②解方程，则这个方程为x2+3x十1=0， 即∠ABD=∠CBE. x=-6±6-4ac-3±5 AB BC AB BD BD-BE心BC=BE 2a 2· ∴.△ABD∽△CBE. -3+√5 -3-√5 ∴x1= 2x2=2 1.2怎样判定三角形相似(4) 1.解：DE∥BC,.△AEDU△ACB, 选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, .AE DE 3,x,=-3-13 -3+√13 AC BC x1= 2 2 .'AE=20 cm,EC=40 cm,.'.AC=60 cm. 28.解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润 设屏幕上图形BC的高度是xcm, 3640元，由题意，得 则20-6」 60 立，解得x=18. (38-x-2)160+号×120)-3640. ..屏幕上图形BC的高度为18厘米， 整理，得x2-12x+27=0. 2.解：如图所示，设小张与教学楼的距离为xm时，恰 .x1=3,x2=9. 好看不到水塔，连接FD,由题意知，点A在FD上， ,要尽可能让顾客得到实惠， 过点F作FG⊥CD于点G,交AB于点H,则四边 形FEBH,四边形BCGH都是矩形， .x=9,.售价为38-x=38-9=29(元). 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获 得销售利润3640元. 限时训练 第1章图形的相似 E 777777777 1.2怎样判定三角形相似(1) .AB∥CD,.△AFH∽△DFG, 1.证明：AB=AC,∠A=36°， ,∴.AH:DG=FH:FG, ∴.∠ABC=∠C=72° 即(20-1.6)：(30-1.6)=x:(x+30), ,BD是∠ABC的平分线， 解得x=55.2. ∴.∠ABD=∠DBC=36°， 经检验，x=55.2是分式方程的解。 .∠A=∠CBD.又∠C=∠C, 答：小张与教学楼之间的距离至少应有55.2米. ∴.△ABCO△BDC 1.3相似三角形的性质(1) 2.证明：，△ABC是等边三角形， 解：.△ABC∽△A'B'C',且AB=15cm,A'B'=10cm, ∴.∠B=∠C=60°， .∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°. 治是 .∠ADE=60°， .AD与A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分 .∠ADB=∠BDE+60°， 线，△ABCD△A'B'C', .∠CAD=∠BDE, AD 3 .△ADCC∽△DEB D2.AD+A'D'-15 em. 1.2怎样判定三角形相似(2) ..AD=9 cm,A'D'=6 cm. 1.证明：.BD∥AC,.∠EAC=∠ABD. 1.3相似三角形的性质(2) .AB=3AC,BD=3AE, AC A8=8-肥△ABDA△cAE 解：1)ACBD,E=DB .CE_6_3 2.证明：AB·BF=BC·BD, :AC=6,BD=4,心DE=4=2 .AB BC ,△BEF和△CEF同高， ·BDBF 且S△BEF:S△Erc=2:3, 又∠B=∠B,∴.△ABC∽△DBF, .CF-3.CE CF ∴.∠A=∠D. BF=2DE-BFEF∥BD, 又.∠AEF=∠DEC, .EF CF ∴.△AEFC∽△DEC, ·BDBC, .AEEF ED=EC,即AE·EC=EF·ED. 四=8E郡=号 5 (2)AC∥BD,EF∥BD,.EF∥AC, 41 ∴.△BEFp△BAC, SABEF BF\2 BC· 第2章 解直角三角形 .BF2 BF 2 S△BAC 2.1 锐角三角比 :CF=3小BC=行S△E=4, 1.解：sinA= 3 .SAABC=25. 3 1.4图形的位似(1) ∴.设BC=√5k,AB=3k(k>0). 1.解：(1)如图所示，点P即为所求作. 由勾股定理，得 AC=√AB2-BC=√(3k)2-3k)2=√6， B ·cosA=6 3,tanB=√2. 2.解：连接AD,如图所示. .在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,D为BC (2)矩形ABCD的周长为12，且AD=2, ∴.AB=4. 的中点， 又矩形ABCD与矩形A'B'C'D'位似， AD⊥BC,BD= AD 1 Bc-=5, AD=2’ .AD=√AB2-BD2=12, .S矩形ABCD:S矩形A'B'C'D' (0-(- BD 5 tan∠BAD=AD-12 :S矩形ABCD=2X4=8, ,AD⊥BC,DE⊥AB, .S矩形A'B'C'D=8X4=32 ∴.∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°， 2.解：(1).AB/CDEF, ∴∠BDE=∠BAD, ∴.△DFE与△DBA,△BFE与△BDC,△AEB与 5 △DEC都是位似图形，一共有3对位似三角形. ∴.tan∠BDE=tan∠BAD= 12 (2)证明：，AB∥EF, ∴.∠EFD=∠ABD. 又.∠ADB=∠ADB ∴.△DFE∽△DBA. (任选一对证明即可) 1.4图形的位似(2) 1.解：(1)如图所示，四边形A1B1C1D1为所作. 2.230°，45°，60°角的三角比 7 D 1.解：1原式=2，B××1-4×写 6 -r =3-2W3. D: (2)原式=1-(25-3)十4×号-4 A∠1 =1-2√5+3+2√5-4 B =0. -101.23456789x 2.解：snA-号+1-anB=0, (2)点C1的坐标为(6,6) 2.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示 sin A=0 (1-tan B)2-0. .A(3,4),C(7,3), .点B的坐标为(3,2) ÷sinA- 1 (2)如图所示，△A'B'C'即为所作， 2 =0,1-tanB=0, y↑ 六sinA=2,tanB=l, ∴.∠A=30°，∠B=45°， .∠C=180°-30°-45°=105° 2.4解直角三角形(1) 1.解：tanA BC_2W6_3 AC6√23' .∠A=30°， .∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， AB=2BC=4√6. (3)△A'B'C'的面积S=2×4×8=16. 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90,tanA= 3 42