第1章 图形的相似 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

AD.FrG/c.且PRG=2C.GH/CD.且GH= 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：未指出对应顶点，故分△B'FC0 △ABC和△B'FCC∽△BAC两种情况讨论， 2CD. 20 .∠FEO=∠BAO,∠OEH=∠OAD 又四边形ABCD是矩形， 【变式训练1】 .ABCD,AB=CD,∠BAD=90° (一1,0)或(5，一2) .∴.EFGH,EF=GH,∠FEH=90°. 【例2】思路分析：可设经过的时间为xs,故CQ,CP可 ∴.四边形EFGH是矩形. 用含x的代数式表示出来，由相似三角形对应边成比 又：EE-FCGH-HE1 例构造方程求解」 AB BC CD DA 2 解：在Rt△ABC中，BC=8cm,AC:AB=3:5, ∴.矩形EFGH与矩形ABCD相似，且相似比 易求得AB=10cm,AC=6cm. 设经过xs时，以点P,Q,C为顶点的三角形与 △CBA相似，此时BP=2xcm,CP=(8-2x)cm, 又两个图形的对应顶点所在的直线都经过点O, CQ=xcm.根据相似三角形对应点顺序相同，有两种 ∴这两个图形是位似图形，位似中心是点O,相似比 可能情况. ①若△C0△C8A,则8B-器即8 8 第2课时位似图形的坐标变换 言解得1=2.4 1.A2.4.53.(4,6) 4.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求。 ②若△CPQO△CAB,则贯-器即8。= 6 名解得1 32 11 综上所述，当经过24或号时，以点P,Q,C cBiB'c 为顶点的三角形和△CBA相似. --L1J--LL1J-L-X 【变式训练2】 (2)△A'B'C的各顶点的坐标分别为A'(3,6), 解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x. B'(5,2),C(11,4). 四边形EFGH是正方形， 5.C6.C7.A8.(3,2)9.(-9,-2)或(3,2) ∴.∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC 10.(-30或g） '.△AEF∽△ABC AD是△ABC的高，∴.∠HDN=90°， 11.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求. .四边形EHDN是矩形，.DN=EH=x. 点A1,B1,C1的坐标分别为(3，一2)，(-1，-6)， (5,-6). :△AEF∽△ABC,.AN_EF ADBC· (2)如图所示，△A,B,C2即为所求， BC=12,AD=6,∴.AN=6-x, 点A2,B2,C2的坐标分别为（一3，一3），(1,1)， (-5,1). 。-最解得 ,.AN=6-x=6-4=2 【例3】思路分析：延长CB,DA相交于点F,证出 △FCD是等腰三角形，求出FA=AE=4FD,证明 △FBA-△PCD,得出Saa=GSam=g,中可得 1 出答案」 解：如图所示，延长CB,DA相交于点F.因为CE 平分∠BCD,CE⊥AD,所以△FCD为等腰三角形，点 E为FD的中点， (3)如图所示，△A3B,C3即为所求 点A3,B3,C3的坐标分别为(6,6)，(-2，一2)， (10,一2)或(-6，-6)，(2,2)，（一10,2） 12.A D 本章综合提升 1 1 【本章知识归纳】 因为SAn=1,所以S△n=2FD·CE= 相同相等成比例比相等 2ED·CE=2S△cED=2. 成比例成比例成比例相等夹角 所以S△rCE=S△cED=1. 成比例相似比相似比平方 因为DE=2AE,DE=EF, 互相平行（或共线）同一共线 (ka,kb)(-ka,一kb) 所以EF=2AE,所以FA=AE= FD. 5 又因为ABCD, .∠1=∠2 所以∠FBA=∠FCD,∠FAB=∠D, 又，BE平分∠DBC, 所以△FBA∽△FCD, .∠1=∠6， 所以S△P .∠3=∠6， .∠6+∠5=90°， .∠BFC=90°，即BF⊥AC 所以S△FBA= 76XS公cD三16×2-、1 81 (2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF. 1 理由如下： 所以S四边形ABCE=S△PCE一S△FBA=1一 88 .∠1=∠3，∠EFC=∠OFB, 【变式训练3】 .△ECFn△OBF. 解：甲的加工方法符合要求。 ∠3=∠4， 设图①加工桌面长xm, .∠1=∠4， ,FD∥BC,.Rt△AFDORtA△ACB, 又∠BFA=∠OFB. .∴.AF:AC=FD:CB, ∴.△BAFP△OBF 12 (3)由(2)知，△ECF∽△OBF. 即(4一x):4=x:3,解得x= 7 设图②加工桌面长ym,过点C作CM⊥AB,垂足是 哪证 M,与GF相交于点N,如图所示. :GF∥DE,.△CGFD△CAB, ÷号乐即F=2BF, .'.CN:CM=GF AB, .3(CF+OF)=3CF+9=2BF+9, .(CM-y):CM=y AB. .3OC=2BF+9, M ∴.3OA=2BF+9①. 由(2)知，△BAFC∽△OBF, 由面积相等可求得CM=2.4, 60 部肥 故此可求得y=37 .BF2=OF·AF, 很明显x>y,故x2>y2, .BF2=3(OA+3)②. ∴.甲的加工方法符合要求 联立①②，可得BF=1十√19（负值舍去）， ∴.DE=BE=2+1+√/19=3+√19. 第2章 解直角三角形 2.1锐角三角比 1B2.D3号495.A6.B788B ② 【通模拟】 9.C10.311.C12.C13.C14.5 1.C2.C3.B4.B5.D6.AC 15.①②③④ 7.98.9 9.证明：(1)四边形ABCD为菱形，∴.ABCD, 16.解：.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,tanA= ∴.∠BAE=∠G. BC 1 ,∠BAE=∠DAF,∴.∠G=∠DAF. AC=2· .∠ADG=∠FDA,.△AGD∽△FAD. ..AC=12, (2).四边形ABCD为菱形，∴.ABCD, .AB=√AC2+BC2=√12+6=6W5, .∠ABD=∠GDB,∠BAG=∠G, AH BH △ABHD△GDH,GH-DH' m答是 ∴.AH·DH=BH·GH. 17.解：(1)存在的一般关系：sinA+cos2A=1, 【通中考】 tan A=sin A 10.18.211.1:312.4√2π cosA· 13.证明：.BE=BC,∴.∠C=∠CEB. 理由：sinA-2,cosA=b ,a2+b2=c2, .∠CEB=∠AED,∴.∠C=∠AED :AD⊥BE,.∠D=∠ABC=90°， inAteosAt c2 2=1. .∴.△ADE△ABC c 14.解：(1)证明：如图所示 D 】2 3 Cos4 ,tan A方、 c ∴.tanA= sin A 4 cos A' 在矩形ABCD中，OD=O℃，∠BCD=90°，AB/CD (2)①∠A为锐角，.cosA>0. ∴.∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°. ∴sA=-A=1-(得) 5 .DE=BE, =13 6第2课时 位似图形的坐标变换（答案P5) 通基仙> (2)写出△A'B'C各顶点的坐标. >>》>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点■位似图形的坐标变换 1.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，△OAB 和△OCD是以点O为位似中心的位似图形. 已知A(-4,2),△OAB与△OCD的相似比 为2：1，则点C的坐标为( 易错固考虑不全丢解 5.(2023·聊城东昌府区月考)在平面直角坐标 A.(2,-1) B.（-2,1) 系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2), C.(1,-2) D.（-1,2) B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，作 2.如图所示，在平面直角坐标系中，已知△ABC 与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C, 与△DEF位似，原点0是位似心，8器-若 则顶点C'的坐标是() A.(6,4) AB=1.5,则DE= R(经 C.(6,4)或(-6，-4) OA D n.(81)或(-) 3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 通能力沙>>2> OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0), B(2,3),C(-1,2).若四边形OA'B'C'与四边 6.(2023·潍坊一模)如图所示，将△ABC先向 形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C 左平移4个单位长度，得到△A'B'C,再以原 的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象 点O为位似中心，作△A'B'C'的位似三角形 限内点B的坐标为 △A"BC”,使它与△A'B'C的相似比为1：2 且在同一象限内，则点A'的对应点A"的坐标 是( 4.如图所示，在13×10的网格图中，已知△ABC 和点M(1,2), (1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形 △A'BC',使△A'B'C'与△ABC的相似比 A.(0,0) B.(-2,4) 为2：1. C.(-1,2) D.(1,-2) -九年级·上册·数学：QD 22 7.(2023·泰安肥城期末)如图所示，矩形OABC 格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B 与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心. 的坐标为（一1，一1） 若点B的坐标为(2,3)，点E的横坐标为一1， (1)把△ABC向下平移5格后得到 则点P的坐标为( △A1B1C1,写出点A1,B1,C1的坐标，并画 A.(-2,0) B.(0,-2) 出△A1B1C1 c.(-3.) no,-) (2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180° 后得到△A2B2C2,写出点A2,B2,C2的坐 标，并画出△A2B2C2· (3)把△ABC以点O为位似中心放大得到 △A3B3C3,使放大前后对应线段的比为1：2，写 P FO 出点A3,B3,C3的坐标，并画出△A3B3C3 第7题图 第8题图 8.(2023·菏泽巨野二模)如图所示，在平面直角 坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是 以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 y 点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的 边长为6，则点C的坐标为 9,如图所示，直线y3x十1与x轴y轴分别 交于A,B两点，△BOC与△B'OC'是以点A 12.(2023·烟台中考)如图所示，在平面直角坐 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则 标系中，每个网格小正方形的边长均为1个 点B'的坐标为 单位长度，以点P为位似中心作正方形 PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律 作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中 正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(一3， OB C F 0),A1（-2,1),A2(一1,0)，A3(-2,-1),则 第9题图 第10题图 顶点A1o的坐标为() 10.推理能力》如图所示，在平面直角坐标系中， 正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A 的坐标为(1,2)，正方形EFGH的边FG在x 轴上，且H的坐标为(9,4)，则正方形ABCD 与正方形EFGH的位似中心的坐标 是 11.如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长 A.(31,34) B.(31,-34) 为1的正方形，我们把以格点间连线为边的 C.(32,35) D.(32,0) 三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是 优计学案·课时通