第2章 解直角三角形 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

专题二构造基本图形解决直角三角形的实际问题（答案P12) 类型1构造简单的直角三角形解决实际问题 甜类型2构造形如“☑”和“△”的两个直角三 1.模型观念某数学兴趣小组借助无人机测量 角形解决实际问题 一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行 2.应用意识》2023年5月30日9时31分，“神 的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为 舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心 a,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至 点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名 B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段 航天员送入到中国空间站.如图所示，在发射 AM=24√3米为无人机距地面的铅直高度，点 的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达 M,C,D在同一条直线上，其中tana=2.求河 A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的 流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据： 距离是8km,仰角为30°；10s后飞船到达B 3≈1.7) 处，此时测得仰角为45° (1)求点A离地面的高度AO B 30 (2)求飞船从A处到B处的平均速度.（结果 精确到0.1km/s,参考数据：√3≈1.73) M C B A8 km 0 C -九年级·上册·数学：QD 50 3.应用意识如图所示，某巡逻艇在海上例行巡5.如图所示，学校教学楼上悬挂一块长为3的 逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B 标语牌，即CD=3m.数学活动课上，小明和小 处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南 红要测量标语牌的底部点D到地面的距离.测 偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南 角仪支架高AE=BF=1.2m,小明在E处测 偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇 得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处 的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救 测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB=5m, 援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几 依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点 分钟可以到达事故船A处.（结果精确到0.1. D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若 不能，请说明理由.（图中点A,B,C,D,E,F, 参考数据：5≈1.73，sin53入5，c0s53≈5， 4 3 H在同一平面内，参考数据：tan31°≈0.60， sin31°≈0.52，cos31°≈0.86) tan53≈ E31245 B 类型3瞄构造形如“”和“”的两个直角三 角形解决实际问题 4.模型观念如图所示，CD是一座东西走向的 大桥，一辆汽车在笔直的公路1上由南向北行 驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续 行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东 45方向上.已知大桥CD长300米，求桥头C到 公路1的距离.（结果保留根号） 北 45 430 51 优计学案·课时通一 6.如图所示，为了测量建筑物AB的高度，在D8.如图所示，梯形ABCD是拦水坝的横断面图， 处竖立标杆CD,标杆的高是2m,在DB上选 斜面CD的坡度i=1：√3，∠B=60°，AB=6, 取观测点E,F,从E处测得标杆和建筑物的 AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积. 顶部C,A的仰角分别为58°，45°.从F处测得 (结果保留一位小数，参考数据：3≈1.732， C,A的仰角分别为22°，70°.求建筑物AB的 √2≈1.414) 高度.（结果精确到0.1m,参考数据：tan22°≈ 0.40,tan58°≈1.60，tan70°≈2.75) 58 45220。 70° 类型4在梯形中构造直角三角形解决实际 9.教材P60练习T1变式》如图所示，已知某水库 问题 大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD是 7.应用意识》为了防洪需要，某地决定新建一座 6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎 拦水坝，如图所示，拦水坝的横断面为梯形 水坡CD的坡度为1：2. ABCD,斜面坡度i=3：4是指坡面的铅直高 求：(1)背水坡AB的长度. 度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长 (2)坝底BC的长度. 度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长.（结果 AD 精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31， cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) AD i=3:4 -九年级·上册·数学：QD 527.解：过点D作DE⊥BC,垂足为点E,如图所示. ∠a的对边1 3 AD tan a= ∠a的邻边 2 2 3 i=3:4 ② 2 √3 1 B FE C 2 2 1 2 3 由题意，得AF⊥BC,DE=AF. ∠A+∠B=90°a2+b2=c8 斜面AB的坡度i=3:4,纸= 4 Sin a= ∠a的对边 斜边 c0sa= ∠a的邻边 斜边 tan a ∴.设AF=3.x米，则BF=4x米. ∠a的对边 在Rt△ABF中，AB=√/AF十BF ∠a的邻边 a2+b2=c2 sin a a的对边或 斜边 √(3.x)2+(4x)=5.x(米). ∠a的邻边 ∠a的对边 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米 coS a= 斜边 或tana= ∠a的邻边 ∠A十∠B= .DE=CD·sin18°≈20×0.31=6.2（米）， ∴.AF=DE=6.2米， 90° ∠a的对边 sin a ∠a的邻边或 斜边 或cosa= 斜边 3x=6.2,解得x=5, ∠a的对边 tan a ∠a的邻边 .AB=5.x≈10.3（米）， 【思想方法归纳】 .斜坡AB的长约为10.3米. 【例1】思路分析：延长AB交CE于点H,过，点B作 8.解：过点A作AF⊥BC,垂足为点F,过点D作BG⊥DF,垂足为G,可得BG=HE,CM∥AH,从而 DE⊥BC,垂足为点E.在Rt△ABF中，∠B=60°， ∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，设 AB=6, BH=xcm,则AH=(.x十40)m,分别在直角△ACH A 0i=3 和直角△CBH中求出CH的长，最后利用平角定义可 得∠BDG=21°，从而在Rt△BDG中，求出BG的长， B F E C 再利用线段的和差关系计算即可解答. .AF=ABsin B=6sin60°=3√3， 解：如图所示，延长AB交CE于点H,过点B作 BF=ABcos B=6cos 60=3. BG⊥DF,垂足为点G. .·AD∥BC,AF⊥BC,DE⊥BC, M.30° .四边形AFED是矩形. ..DE=AF=33,FE=AD=4. 在R△CDE中，ig A BH .EC=√3ED=√3X33=9. 由题意，得BG=HE,CM∥AH, .BC=BF+FE+EC=3+4+9=16. ∴.∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH= S#n=2(AD+BC)·DE=24+16)X35≈ ∠MCB=45. BH=x m,AB=40 m,.AH =AB+ 52.0. BH=(x+40)m. 答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0. 9.解：(1)如图所示，分别过点A,D作AM⊥BC, 在Rt△ACH中，CH-AH·tan30°=5( 3(x+ DN⊥BC,垂足分别为点M,N. 40)m. AD 在Rt△CBH中，CH=BH·tan45°=x(m), MN x=5(z+40. 根据题意，可知AM=DN=24米，MN=AD= 3 6米. 解得x=20√3+20， 在Rt△ABM中， ∴.CH=(20√3+20)m. BM=3…BM=72米 AM 1 ∠BDF=159°， ..∠BDG=180°-∠BDF=21° .AB2=AM2+BM2, 在Rt△BDG中，BD=20m, .AB=√242+722=24√/10（米）. ∴.BG=BD·sin21°≈20X0.36=7.2(m), ..BG=EH=7.2m, 答：背水坡AB的长度为24√10米. ∴.CE=CH+HE=20√3+20+7.2≈62(m), (2)在R△DNC中，CN=2' DN 1 ∴.CE的长约为62m. 【变式训练1】 ∴.CN=48米. 解：如图所示，分别过点C,M,作CD⊥AB,ME⊥ ∴.BC=72+6+48=126(米). AB,垂足分别为点D,E. 答：坝底BC的长度为126米. (1)3045 本章综合提升 (2)由(1)知∠A=∠AMB,∴.AB=BM=20海里. 【本章知识归纳】 sina=∠a的对边 ∠a的邻边 在Rt△EBM中，sin∠EBM=EM BM' 斜边 cos a= 斜边 EM=sin∠EBM·BM=sin60X20= 2×20= 13 10√3（海里）. (2)过点C作CF⊥B'E,垂足为点F,先求得∠AB'E= 答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10√3海里. 63°，再得到∠C'B'F=∠ABC'-∠AB'E=60°，再求 (3).CD⊥AB,ME⊥AB,AB,CM都是正北方向， 得B'F=BC'·cos60°=0.3m,从而得出C'到地面 ,.四边形DEMC是矩形. 的距离为2.15-0.3=1.85(m),最后比较即可. .CD=EM=10W3海里，DE=CM. 解：(1)作B'E⊥AD,垂足为点E,如图所示 在Rt△ABE中，.∠BAD=27°，AB=AB= 在Rt△CDB中，'∠DBC=45°， 1m, .∠DBC=∠DCB.∴.DB=DC=10W3海里. 在R△EMB中，cOS∠DBM=BM' EB ·sin27°=B'E AB'' .B'E=AB'sin27°≈1×0.454=0.454(m). :EB=cos∠DBM·BM=cos60°X20=2 X20= ·平行线间的距离处处相等， ∴.B'E+A0=0.454+1.7=2.154≈2.15(m). 10(海里). 答：车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m. ..CM=DE=DB-EB=103-10= B 10(3-1)(海里). 答：港口C与灯塔M的距离为10（√3一1）海里. B ↑北D外 0 (2)没有碰头的危险.理由如下： B 过点C'作C'F⊥B'E,垂足为点F,如图所示 :∠B'AD=27°，∠B'EA=90°， 30 ..∠ABE=63°. .∠AB'C'=∠ABC=123°， A ∴.∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60. 【例2】思路分析：设A1B=x米，在Rt△BA1D1中， 在Rt△B'FC'中，B'C'=BC=0.6m, ∠BD1A1=45°，可得A1B=A1D1=x米，则A,C1= B'F=B'C'·cos60°=0.3m. A1D1+D1C1=(x+20)米，在Rt△BA1C1中， 平行线间的距离处处相等， tan30°= AB .C到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). AC x+14 1.85>1.8, A1B十A1A可得出答案. ∴.没有碰头的危险。 解：由题意，得AA1=DD1=CC1=1.2米，CD= 【变式训练3】 C1D1=14米，∠BD1A1=45°，∠BC1A1=30°. 解：过点B作BH⊥AE于点H,如图所示. 设A1B=x米， 坡度i为1：0.75， 在Rt△BA1D1中，∠BD1A1=45°， .设BH=4xm,AH=3.xm, .A1B=A1D1=x米， ∴.AB=√AH+BH=5.x=10(m), ∴.A1C1=AD1+D1C1=(x十14)米. .x=2, 在Rt△BAC1中， tan30°=A,B=x3 ∴.AH=6m,BH=8m. 过点B作BF⊥CE于点F, A1C1x+143' 则EF=BH=8m,BF=EH. 解得x=7(W3+1), 设DF=am, .AB=A1B+A1A=7(5+1)+1.2≈ a=2635', 20.3(m), DF ∴BF= a ∴.铁塔的高约为20.3米。 an2635≈0.5=2a, 【变式训练2】 ∴.AE=6+2a. 解：由题意，得AB=40×2=80(km),∠CAB= 坡度i为1：0.75， 30°，∠ABC=45°. .CE:AE=(20+a+8):(6+2a)=1:0.75, 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D, ∴.a=12,.DF=12(m), ∴.∠ADC=∠BDC=90°， ∴.DE=DF+EF=12+8=20(m). ..AD=3CD,BD=CD. 答：堤坝高为8米，山高DE为20米。 .'AB=80 km, ∴.W3CD+CD=80, 解得CD=40√3一40≈29.2(km). 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为 29.2km. 【通模拟】 601 1.B2.D3.等边 4.解：FE是过点A南北方向的直线，过点D作DE EF于点E,过点B作BF⊥EF于点F,过点A作 【例3】思路分析：(1)作B'EAD,垂足为，点E,先求 AH⊥BD于点H,如图所示. 出B'E的长，再求出B'E十AO的长即可. .BD∥EF,.四边形AEDH和AHBF是矩形， 14 .DE=AH=BF」 在Rt△PDF中，PF=DF·tan3=(AD+AF)· 设DE=AH=BF=h, tan B, 由题意知，∠BAF=45°，∠CAF=76°，∠DAE= 在Rt△PAF中，PF=AF·tana, 37°，BC=30海里， .(AD+AF)·tan3=AF·tana, 则∠BAH=45°，∠ACH=∠CAF=76°， 即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°， .∠ABH=90°-∠BAH=90°-45°=45°， .(2+AF)×0.6=AF×1.6,解得AF=1.2米. ,.∠ABH=∠BAH,.BH=AH=h. .PF=1.2×1.6≈1.9米， 在Rt△ACH中，CH=BH-BC=h-30, .PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5(米)， tan∠ACH=tan76°-AH_方 ∴.路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米. CHh-30≈4， 【通中考】 ∴.h=40,∴.AH=40海里. 7.558.4.4m 在Rt△ADH中，∠ADH=∠DAH=37°， 9.解：如图所示，过点D作DE⊥AB,垂足为点E. sin37°=AH40 北 AD AD ≈0.6 十东 .AD≈67（海里）. 答：相遇时快艇行驶的距离AD约为67海里. D 口E北 东 H-- 由题意，得∠BAD=15°，∠BAC=60°， ∠BCF=30°，AB∥FG, ∴.∠ACG=∠BAC=60°，∠BCF=∠ABC=30°， B------dF ∴.∠ACB=180°-∠ACG-∠BCF=90 5.解：(1)过点D作DH⊥BC,垂足为点H,如图 ,AB=24千米， 所示. AC=2AB=12千米： BC=√3AC=125千米. 在Rt△ACD中，∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°， .CD=AC·tan45°=12千米， C H ∴.BD=BC一CD=(12W3一12)千米 :i=1:2.4,心…CH-12 DH 5 在Rt△BDE中，∠ABC=30°， 设DH=5x,则CH=12x, DE=号BD=(6v5-6)千米， .CD=√DH2+CH2=√/(5.x)2+(12.x)z=13.x, ∴输油管道的最短长度是(65一6)千米. ,∴.13.x=52,解得x=4, 10.解：如图所示，过点P作PH⊥AB于点H,过点C .CH=48米，DH=20米 作CQ⊥PH于点Q,而CB⊥AB, 答：平台DE到水平面BC的垂直距离为20米. 则四边形CQHB是矩形， (2)延长ED交AB于点G,则EG⊥AB,四边形 .'.QH=BC,BH=CQ. GBHD为矩形. 由题意，得AP=80米，∠PAH=60°，∠PCQ= ∴.GD=BH,DH=GB, 30°，AB=70米， ..GE=GD+DE=BC+CH+DE= 100+48+52=200(米). PH=APsin60°=80xy =403(米)， 2 g∠AEG=19,∴tan/AEG-GE ≈0.34， AH=APcos60°=40米， .AG≈GE·0.34=200×0.34=68(米)， ∴.CQ=BH=70-40=30(米)， .AB=AG+GB=AG+DH=68+20=88(米)， .PQ=CQ·tan30°=10√3米， .桥墩AB的高度为88米. .BC=QH=40√3-105=30√5（米）， 6.解：如图所示，延长DA,交PE于点F,则DF⊥ ∴.大楼的高度BC为30√3米. PE. F βD A N H .AB=DC=1.6米，AB∥DC, 11.解：如图所示，过点P作PE⊥BC于点E,过A作 ∴.四边形ABCD是平行四边形 AD⊥PE于点D, ,AB⊥BC,.四边形ABCD是矩形， 则四边形ADEB是矩形，∴.DE=AB=520m, 同理：四边形CDFE矩形， 设PD=xm,在Rt△APD中， ∴.AD=BC=2米，EF=CD=1.6米. .·∠PAD=68.2°， 15 PD 2x ∴.AD= ∠A,∠AEO=∠AFC,∴.△AEO△AFC, tan68.2≈ 5 m,BE=AD=2 6 m 把梁即g亮0-售cD1B .53 .PE=PD+DE=(x+520)m, CE=5c-BE-(120-)m CD=2CF=48_ =9.6. 5 在Rt△PCE中，tanC=tan56.31°= PE 13.61014.5m CE 15.70或170解析：如图所示，OE⊥CD,OF⊥AB. x+520 ≈1.50，解得x=800, 由题意AB=100cm,CD=240cm, 1200-2 根据垂径定理，得 ∴.PD=800m, DE-CD-120 em,BF-AB-50 em, ∴.PE=PD+DE=800+520=1320(m). 直径为260cm,半径OD=OB=130cm. 答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m. 在Rt△OED中，OE2=OD2-DE2=1302 北 A B 168.29 1202=2500, →东… E ∴.OE=50cm.在Rt△OFB中， D OF2=OB2-BF2=1302-50=14400, 56.319 .OF=120cm. ①当CD在圆心下方时， EF=OF-OE=120-50=70(cm); ②当CD在圆心上方时， 第3章对圆的进一步认识 EF=OF+OE=120+50=170(cm). 3.1圆的对称性 综上所述，水位上升70cm或170cm. 第1课时垂径定理 (课程标准变动内容) 1.C2.D3.B4.B 5.36.26 7证明：OD1AB于点D,AD=号AB, 16.解：(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,如图所示. E是AC的中点，∴OE⊥AC,AE= 2AC, AB-8,AD-BD-7AB-4. ∴.∠ADO=∠AEO=90°. .AB⊥AC,.∠DAE=90°， 在Rt△OBD中，cOS∠ABC= 5 ..四边形ADOE是矩形. 0s/ABC=1-5.⊙0的半径为5. BD 4 AB=AC,∴.AD=AE, ∴.OB= ∴.矩形ADOE是正方形. 8.C解析：过O点作OE⊥AB于点E,交CD于点 F,连接OA,OC,如图所示.'ABCD, (2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图所示. .OF CD,:AE BE=AB =4 cm,CF :0C=20B.0B-5∴BC=80B=7.5 DF= 2CD=3cm.在Rt△OAE中，：OA=5cm, ODLAB..OD/CE AE=4cm,∴.OE=√5-4'=3(cm).在Rt△OCF 中，.OC=5cm,CF=3cm, 号=流BE=6, ∴.AE=AB-BE=8-6=2. .OF=√52-32=4(cm). ①当，点O在AB与CD之间时，如图①所示，EF= 在Rt△BCE中，CE=√BC2-BE= OF+OE=4+3=7(cm); √/7.52-62=4.5. ②当点O不在AB与CD之间时，如图②所示， EF=OF-OE=4-3=1(cm). 在Rt△ACE中，tan∠BAC-CE-4.59 AE2-4' 综上所述，EF的值为1cm或7cm “∠BAC的正切值为？ ①D 9.A10.A11.D 12.A解析：OE⊥AC,AE=EC.AB⊥CD,17.解：如图所示，设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA, ∴.∠AFC=∠AEO=90°.OE=3,OA=OB=5, OA',设半径为x米， .AE=√AO-OE=4,.AC=8..∠A= 则OA=OA'=OP=x米. 16