吉林省长春外国语学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考 数学试卷 出题人：李宁波 审题人：康乐 本试卷共12页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（   ） A．（,4） B． C． D．（-）， 3．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 5．化简（         ） A．1 B． C．2 D． 6．设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，释放出来的能量为，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为，则（    ） A．10 B．4.05 C． D． 8．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B函数为偶函数 C．若，则 D．若，则． 10.已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．在区间上单调递减 C．在区间内有两个极值点 D．将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 11．已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则 ． 13．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 14.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角且，求的值. 17．（15分）已知在△ABC中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 18．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角C的值； (2)求+的最大值； (3)若AB边上的中线CD长为，求△ABC的面积． 19．（17分）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)（i）证明：为单调递增函数； （ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高三年级第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A C C B D B ACD ABD AC 填空题：12.； 13.[2,3); 14.1 15．(1) (2) （1）由题意可知：，则，，， 所以 （2）由题意可知， ∴， ， ∴. 16．(1)单调递增区间为，值域为 (2) （1）依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 17．(1) (2)6 （1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 18．(1)； (2)4； (3). （1）因为，由正弦定理,可得， 整理可得，由余弦定理得，所以,所以. 因为在中，，所以. （2）因为，由正弦定理可得，可得，. 因为,所以. , （3）由题可知，， 由(1)知，即，① 因为为边上的中线，所以， 两边平方得：， 所以，② ②①可得，可得， 所以的面积． 19．(1)1 (2)（i）证明见解析；（ii）. （1）方法一： 为定义在上的奇函数， ，即， ， ，显然有 为奇函数符合题意， 实数的值为1. 方法二： 为定义在上的奇函数， ， ，此时为奇函数，符合题设 （2）（i）任取实数，且， 则 ， ， 又 ，即， 为单调递增函数. （ii）， 令，则，且， 只需不等式恒成立， 即不等式恒成立， ， 为单调递增函数， ，即， 方法一： 不等式（*）即， 欲使不等式成立，则， 解得实数的取值范围为. 方法二： ①若，欲使不等式（*）成立，可为任意非零实数； ②若，则不等式等价于， 欲使恒成立，只需即可，， 综上所述，实数的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $