精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

濮阳市一高高一年级（2025级）上学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 3. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再结合韦恩图求解. 【详解】由，得，而， 又全集，则，又图中阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 4. 某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再根据题意逐一列举符合题意的集合即可. 【详解】由题意得，， 则符合题意的集合有，，，共3个. 故选：A 6. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，利用函数的性质，确定中恰含的一个整数为2，所以且，解不等式组即可求解. 【详解】或. 因为函数图象的对称轴为，，， 根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，则这个整数为2， 所以有且，即，即，即. 故选：B. 7. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 8. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简多项式为标准形式，由类似结论直接求解. 【详解】由可得 ， 所以，即， 由题中所给方法知，，， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A.  B. 集合用列举法表示为 C. 方程的解集为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据方程的解组成的集合，可判定B正确；根据集合的表示方法，可判定C错误；根据不等式的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由方程无解，可得集合， 因为“为的真子集”不成立，所以A错误； 对于B，由集合，可得，解得或， 所以，所以B正确； 对于C，由方程组，解得，可得解集为，所以C错误； 对于D，令，此时满足，但，所以D错误. 故选：ACD. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11. 若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ） A. 幸福集合个数为8 B. 含的幸福集合个数为4 C. 不含1的幸福集合个数为4 D. 元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，不符合集合的互异性； 若，则或， 当时，不符合集合的互异性；当时符合题意， 故. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合，或 . 求：（1）； （2）； （3）. 【答案】求：（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)根据交集的概念进行运算可得; (2)根据补集和交集的概念进行运算可得; (3)根据并集和补集的概念进行运算可得. 【详解】或，，或. （1）. （2）. （3）. 【点睛】本题考查了集合的交,并,补集的运算,属于基础题. 16. （1）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知命题有两个不等的负根，无实根，若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据必要不充分条件得到集合包含关系，得到不等式，求出答案； （2）求出、为真命题时的取值范围，分真假和假真两种情况，得到答案. 【详解】（1）设，， 是的必要不充分条件，故是的真子集， 所以或， 解得，故实数的取值范围是； （2）有两个不等的负根，故， 解得； 无实根，，解得， 命题、一真一假，若真假，则与或取交集得； 若假真，则与取交集得； 与取并集得或， 综上，实数的取值范围是或. 17. 已知集合，． （1）若，且，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）0或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出，时，满足要求，再分与两种情况，求出答案； （2），分和，结合根的判别式和韦达定理得到不等式或方程，求出答案. 【小问1详解】 ， ，， 若，则，满足要求； 若，则无解，不合要求； 若，则，解得， 综上，实数的值为0或； 【小问2详解】 ，， 若，则，解得，满足要求； 若，当时，，，满足要求； 当时，，要想满足，需满足， 即是方程的两个根， 由于，求出； 综上，或. 18. 数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． （1）写出与之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利？ （3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）第3年 （3）第一方案 【解析】 【分析】（1）根据盈利额的定义，用总收入减去购买成本和使用支出费用来构建函数关系式； （2）令盈利额大于0，求解不等式，即可得到结果； （3）分别计算两种方案下的总获利，比较大小来判断哪种方案更合理. 【小问1详解】 由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得： . 【小问2详解】 令，即，即， 对于方程，由求根公式可得， 又，则， ， 所以不等式的解为， 且，所以从第3年开始盈利. 【小问3详解】 第一方案：对于，对称轴为， 当时，（万元）， 此时机床剩余价值为， 总获利为（万元）； 第二方案：年平均盈利额为 其中， 当且仅当时，即时，等号成立， 且，则或， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元）， 机床剩余价值为（万元）， 总获利为（万元）， 因为，所以第一方案较为合理. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的实际应用，难度较大，解答本题的关键在于构建函数模型，以及结合基本不等式求取最值，从而求解. 19. 在三角形中，设、、为其三边长，我们用表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”．我们令，，，且，，均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系．有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解． （1）当时，求的值； （2）求的最小值； （3）证明不等式：． 【答案】（1） （2）6 （3） 设，，， 则，，. 则转化成： . 因为，，（当且仅当时取“”） 各式相加得：. 所以成立（当且仅当时取“”）. 【解析】 【分析】（1）设，根据循环求和的定义求值即可. （2）利用换元法，结合基本不等式证明. （3）利用换元法，结合基本不等式证明. 【小问1详解】 设，则，，， 所以. 【小问2详解】 设，，， 则. 因为x，y，z均为正实数，所以，，， 当且仅当时取 “”. 所以. 即最小值为6（当且仅当时取“”）. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高一年级（2025级）上学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A. B. C. D. 4. 某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 6. 设集合，.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若，，为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，.实际上任意实系数次方程都有类似结论.设方程的四个实数根为，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A.  B. 集合用列举法表示为 C. 方程的解集为 D. 若，则 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ） A. 幸福集合个数为8 B. 含的幸福集合个数为4 C. 不含1的幸福集合个数为4 D. 元素个数为3的幸福集合有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知，，则的取值范围为______． 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为，集合，或 . 求：（1）； （2）； （3）. 16. （1）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知命题有两个不等的负根，无实根，若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17. 已知集合，． （1）若，且，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 18. 数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． （1）写出与之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利？ （3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 19. 在三角形中，设、、为其三边长，我们用表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”．我们令，，，且，，均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系．有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解． （1）当时，求的值； （2）求的最小值； （3）证明不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $