精品解析：山东省青岛市城阳第十三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年九年级数学第一次质量检测（问卷） 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若代数式的值是0，则的值为（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 0或2 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A 2 B. C. 8 D. 4. 一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 10或12 D. 以上都不对 5. 关于x一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 6. 如图，在菱形中，，点在上，，则（ ） A. 110 B. 100 C. 120 D. 90 7. 把一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 观察下列表格，一元二次方程一个解所在的范围是（ ） 11 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 9. 如图，菱形面积为，对角线长5，点为的中点，过点作垂直于交的延长线于点，连接，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为______ 11. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场，若共进行了28场比赛，设学校有个队参赛，则列方程为______ 12. 若是一元二次方程的一个根，则______ 13. 如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 14. 如图，在矩形中，，，连接，的平分线交于点，则线段的长为______ 15. 如图，在菱形中，，，为的中点，为上的一个动点，则周长的最小值为______ 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，在直线上有一点，以为顶点构造一个矩形，使、两点在上，对角线长度为 四、解答题 17. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k是最小的整数，求此时方程的根． 19. 某果园有100棵桃树，每棵产桃，若每多种1棵桃树，每棵产量减少，要使总产量达，且每棵桃树的产量不低于，问应多种多少棵桃树？ 20. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？ 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH． （1）求证：△BFH≌△DEG； （2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论． 22. 如图①，等腰直角三角形的腰长为2，面积为2． （1）如图②，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； （2）如图③，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； （3）延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______． 23. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 24. 如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） （1）当t为何值时，是等腰三角形？ （2）当F为边的中点时，求此时的长度． （3）是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级数学第一次质量检测（问卷） 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、，方程化简后二次项系数为0，不一元二次方程，故此选项错误； D、，未知数最高次数是1次，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B． 2. 若代数式的值是0，则的值为（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意得到，利用因式分解法即可解答． 【详解】解：根据题意得，即， 解得或， 则的值为0或2． 故选：D． 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 4. 一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 10或12 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． 利用因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形的三边关系确定第三边的取值，最后求周长即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， 根据三角形的三边关系，第三边长的取值范围为大于，小于， ∴取， ∴三角形的周长为， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 即a的取值范围是且． ∴整数a的最大值为0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键． 6. 如图，在菱形中，，点在上，，则（ ） A. 110 B. 100 C. 120 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形对角相等、对角线平分每组对角及三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．利用菱形的性质得：，，又根据，得，进而求出，再根据菱形的性质得到，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 把一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、二次根式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用配方法把一元二次方程化成的形式，再结合题意可知，，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式， ∴，， ∴． 故选：A． 8. 观察下列表格，一元二次方程的一个解所在的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似解，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值使， ∴一元二次方程的一个解所在的范围是； 故选：B． 9. 如图，菱形的面积为，对角线长5，点为的中点，过点作垂直于交的延长线于点，连接，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，点是的中点， ，， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解方程，正确掌握相一元二次方程的解法是解题的关键．先理解题意，得，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，， 则，， ∴， ∴（舍去）， 故答案为： 11. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场，若共进行了28场比赛，设学校有个队参赛，则列方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住比赛场数问题的等量关系是解题的关键，每一队需要与其余的个队比赛一场，且参赛的每两个队之间只比赛一场，因此有个队参赛，比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设学校有个队参赛，根据题意，可列方程． 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个根，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 14. 如图，在矩形中，，，连接，的平分线交于点，则线段的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作于点F，根据勾股定理求得，由角平分线的性质得，再证明，得，则，设，则，再由勾股定理得，即可求得． 【详解】解：作于点F， 在矩形中，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，为的中点，为上的一个动点，则周长的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理和轴对称-最短路线问题．熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答本题的关键．连接交于点，连接，由菱形的性质，得出B点关于的对称点D，则就是的最小值，再由勾股定理可求出，此时得周长的最小值． 【详解】解：连接交于点，连接， 四边形是菱形， ， 关于直线对称， ， , ， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，即为的长， ， ， ， 等边三角形， 是的中点， ，， , 的周长． 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，在直线上有一点，以为顶点构造一个矩形，使、两点在上，对角线长度为 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，作于点，以为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，再以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接，即可得到矩形． 【详解】解：如图，矩形即为所求； 由作图可知：， ∴四边形是以线段的长为对角线的矩形． 四、解答题 17. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤． （1）首先把二次项系数化为1，再把一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解； （2）首先找出方程中的，，，再利用求根公式代入计算即可； （3）把方程右边化为0，再利用因式分解法把方程左边分解因式，再解即可； （4）先整理方程，再利用因式分解法把方程左边分解因式，再解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，其中， ， 则方程有两个不相等的实数根， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ，即， 或， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k是最小的整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于的一元一次不等式；（2）确定的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键． （1）根据题意得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据的范围可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵原方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：∵是最小的整数，又， ， 当时，原方程为，即， 解得． 因此，原方程的根为． 19. 某果园有100棵桃树，每棵产桃，若每多种1棵桃树，每棵产量减少，要使总产量达，且每棵桃树的产量不低于，问应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种棵桃树 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程和不等式即可，设应多种棵桃树，则每棵产桃，根据总产量达，列出一元二次方程求解，再根据每棵桃树的产量不低于，列出一元一次不等式求解，即可解答． 【详解】解：设应多种棵桃树，则每棵产桃， 根据题意，得， 整理得， 解得或， ∵每棵桃树的产量不低于，即， ∴， ∴， 答：应多种棵桃树． 20. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？ 【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为． 【解析】 【分析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为， 依题意，得： ， 整理，得： ， 解得： ，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH． （1）求证：△BFH≌△DEG； （2）连接DF，若DF＝BF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）四边形EGFH是菱形，见解析. 【解析】 【分析】（1）证∠FBH=∠EDG，DE=BF，BH=DG，由SAS即可得出结论； （2）连接EF交GH于O，由全等三角形的性质得出FH=EG，∠BHF=∠DGE，证出FH∥EG，得出四边形EGFH是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠FBH＝∠EDG， ∵AE＝CF，BG＝DH， ∴DE＝BF，BH＝DG， 在△BFH和△DEG中，， ∴△BFH≌△DEG（SAS）； （2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下： 连接EF交GH于O，如图： 由（1）得：△BFH≌△DEG， ∴FH＝EG，∠BHF＝∠DGE， ∴FH∥EG， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴OG＝OH， ∵BG＝DH， ∴OB＝OD， ∵DF＝BF， ∴EF⊥GH， ∴四边形EGFH是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 22. 如图①，等腰直角三角形的腰长为2，面积为2． （1）如图②，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； （2）如图③，延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______； （3）延长到，使，延长到，使，以和为边长构造矩形，则四边形的面积为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用： （1）利用梯形面积公式求解； （2）利用梯形面积公式求解； （3）用含n的式子表示出梯形的上底、下底、高，利用多项式乘多项式的运算法则求解． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形的腰长为2， ， ，， 四边形是矩形， ，，， 四边形的面积为：， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：由题意得 ，， ，，， 四边形的面积为：， 故答案为：30； 【小问3详解】 解：由题意得 ，， ，， 四边形的面积为：， 故答案为：. 23. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 24. 如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） （1）当t为何值时，是等腰三角形？ （2）当F为边的中点时，求此时的长度． （3）是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， （4）存在， 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意时解题的关键． （1）由矩形的性质可得，根据题意可得，则，当是等腰三角形时，，建立方程求解即可； （2）由题意得当F为边的中点时，，则，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，由（1）知，，则，利用勾股定理得到，当点D在线段的垂直平分线上时，，建立方程求解即可； （4）由（3）知知，，，，，根据的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积，结合的面积是矩形面积的，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， 根据题意可得，则， 当是等腰三角形时，则， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得当F为边的中点时，， 则，解得，, ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，， 在矩形中，，， 由（1）知，，则， ∵， 当点D在线段的垂直平分线上时，，即， ∴，即， 解得或（舍去）； 【小问4详解】 解：存在，， 由（3）知，，，，， ∵的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴，即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $