专项突破提升(三)　轴对称与等腰三角形的应用2025-2026学年人教版八年级数学上册

专项突破提升(三)　 轴对称与等腰三角形的应用 (时间：90分钟　满分：124分) 类型一　轴对称 1．(4分)下列剪纸作品中，属于轴对称图形的是(　　) 2．(4分)下列图案中，是轴对称图形且对称轴有且只有两条的是(　　) A．等腰梯形 B．等边三角形 C．长方形 D．直角三角形 3．(4分)下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．其中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二　关于坐标轴对称的点的坐标 4．(4分)在平面直角坐标系内，P(2x－6，5－x)关于x轴的对称点在第三象限，则x的取值范围为(　　) A．3＜x＜5 B．x＜3 C．x＞5 D．－5＜x＜3 5．(4分)平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 ． 6．(10分)如图，在平面直角坐标系中有三个点A(2，3)，B(1，1)，C(4，2)，连接A，B，C三点． (1)请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出各对称点的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)若M(x，y)是△ABC内部任意一点，请直接写出点M在△A′B′C′内部的对应点M1的坐标． 类型三　等腰三角形 7．(4分)若等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　　) A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．(4分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成2个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 10．(4分)若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 ． 类型四　等腰三角形的应用 11．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ADB的度数为(　　) A．30° B．40° C．60° D．25° 12．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是(　　) A．∠BAC＝60° B．∠DOC＝85° C．BC＝CD D．AC＝AB 13．(4分)如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′ 在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 cm. 14．(8分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上，且AB＝AC，AE＝AF.求证：∠BAF＝∠CAE. 15．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，P为BC上的任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F. (1)PE，PF，CD三条线段有何数量关系？(写出推理过程) (2)若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间的上述数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出新的数量关系并说明理由． 类型五　等腰三角形的存在性问题 16．(4分)线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 17．(10分)如图，已知A(3，1)， (1)若点B在坐标轴上，则使得△OAB是以OA为底的等腰三角形的点B有 个； (2)若点B在x轴上，则使得△OAB是以OA为腰的等腰三角形的点B有 个； (3)若点B在坐标轴上，使得△ABO是等腰三角形，则满足条件的点B共有 个． 类型六　利用平行线构造等腰三角形 18．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AEF的周长为 ．图中共有 个等腰三角形，分别是 ；EF与BE，CF之间的关系是 ． (2)如图(2)，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明． 　 (1) (2) 第18题图 类型七　利用截长补短法构造等腰三角形 19．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD. 类型八　依据角平分线及垂线构造等腰三角形 20．(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD. 专项突破提升(三)　 轴对称与等腰三角形的应用 (时间：90分钟　满分：124分) 类型一　轴对称 1．(4分)下列剪纸作品中，属于轴对称图形的是(　A　) 2．(4分)下列图案中，是轴对称图形且对称轴有且只有两条的是(　C　) A．等腰梯形 B．等边三角形 C．长方形 D．直角三角形 3．(4分)下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁．其中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二　关于坐标轴对称的点的坐标 4．(4分)在平面直角坐标系内，P(2x－6，5－x)关于x轴的对称点在第三象限，则x的取值范围为(　B　) A．3＜x＜5 B．x＜3 C．x＞5 D．－5＜x＜3 5．(4分)平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 0<m<2 ． 6．(10分)如图，在平面直角坐标系中有三个点A(2，3)，B(1，1)，C(4，2)，连接A，B，C三点． (1)请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并直接写出各对称点的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)若M(x，y)是△ABC内部任意一点，请直接写出点M在△A′B′C′内部的对应点M1的坐标． 解：(1)作图略． A′(2，－3)，B′(1，－1)，C′(4，－2)． (2)S△ABC＝3×2－×1×2－×1×3－×1×2＝2.5. (3)M1(x，－y)． 类型三　等腰三角形 7．(4分)若等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为(　C　) A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有(　D　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．(4分)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成2个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画(　C　) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 10．(4分)若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为 70°或40° ． 类型四　等腰三角形的应用 11．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，则∠ADB的度数为(　C　) A．30° B．40° C．60° D．25° 12．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是(　B　) A．∠BAC＝60° B．∠DOC＝85° C．BC＝CD D．AC＝AB 13．(4分)如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′ 在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm. 14．(8分)如图，点B，C，E，F在同一条直线上，且AB＝AC，AE＝AF.求证：∠BAF＝∠CAE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵AE＝AF，∴∠AFB＝∠AEC. 在△ABF和△ACE中， ∴△ABF≌△ACE(AAS)． ∴∠BAF＝∠CAE. 15．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，P为BC上的任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F. (1)PE，PF，CD三条线段有何数量关系？(写出推理过程) (2)若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间的上述数量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出新的数量关系并说明理由． 解：(1)CD＝PE＋PF.理由如下： 如图(1)，连接PA. ∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， ∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF. 又∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC， ∴AB·CD＝AB·PE＋AC·PF. ∵AB＝AC，∴CD＝PE＋PF. (2)关系：CD＝PE＋PF或CD＝PF－PE或CD＝PE－PF.理由如下： 如图(1)，当点P在线段BC上时，CD＝PE＋PF. 如图(2)，当点P在线段CB的延长线上时，连接PA. ∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， ∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF. 又∵S△ABC＝S△PAC－S△PAB， ∴AB·CD＝AC·PF－AB·PE. ∵AB＝AC，∴CD＝PF－PE. 如图(3)，当点P在线段BC的延长线上时，连接PA. ∵CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， ∴S△ABC＝AB·CD，S△PAB＝AB·PE，S△PAC＝AC·PF. 又∵S△ABC＝S△PAB－S△PAC， ∴AB·CD＝AB·PE－AC·PF. ∵AB＝AC，∴CD＝PE－PF. 　 (1) (2) (3) 第15题解图 类型五　等腰三角形的存在性问题 16．(4分)线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 17．(10分)如图，已知A(3，1)， (1)若点B在坐标轴上，则使得△OAB是以OA为底的等腰三角形的点B有 2 个； (2)若点B在x轴上，则使得△OAB是以OA为腰的等腰三角形的点B有 3 个； (3)若点B在坐标轴上，使得△ABO是等腰三角形，则满足条件的点B共有 8 个． 类型六　利用平行线构造等腰三角形 18．(12分)(1)如图(1)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AEF的周长为 30 ．图中共有 2 个等腰三角形，分别是 △BDE，△CFD ；EF与BE，CF之间的关系是 EF＝BE＋CF ． (2)如图(2)，AB＞AC，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明． 　 (1) (2) 第18题图 解：(2)BE－CF＝EF.证明如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠DCG. ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG. ∴BE＝DE，CF＝DF. 又∵DE－DF＝EF， ∴BE－CF＝EF. 类型七　利用截长补短法构造等腰三角形 19．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD. 证明：(方法1：截长法)如图(1)，在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD. 在△ABD和△EBD中， ∴△ABD≌△EBD(SAS)． ∴∠BED＝∠BAC＝108°. ∴∠DEC＝72°. ∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠C＝∠ABC＝36°. ∴∠CDE＝72°. ∴∠CDE＝∠CED. ∴CD＝CE. ∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 　　 (1) (2) 第19题解图 (方法2：补短法)如图(2)，延长BA至点E，使BE＝BC，连接DE. 易证得△EBD≌△CBD(SAS)．同理可证EA＝ED.∴CD＝DE＝AE. ∴BC＝BE＝AB＋AE＝AB＋CD. 类型八　依据角平分线及垂线构造等腰三角形 20．(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD. 证明：如图，延长CD交BA的延长线于点T. ∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠ACT. 在△BAF和△CAT中， ∴△BAF≌△CAT(ASA)． ∴BF＝CT. ∵BD平分∠CBT， ∴∠CBD＝∠TBD. ∵∠CBD＋∠BCD＝90°，∠TBD＋∠T＝90°， ∴∠BCT＝∠T. ∴BC＝BT. ∴CD＝TD. ∴BF＝CT＝2CD. 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $